Кіріспе

Математикада, әсіресе алгебралық топологияда, Чех кохомологиясы – топологиялық кеңістіктің ашық жабындарының қиылысу қасиеттеріне негізделген кохомология теориясы. Ол математик Эдуард Чехтің есімімен аталады.

Мотивация

X топологиялық кеңістік болсын, және X-тің ашық жабыны болсын. жабынның жүйкесін деп белгілейік. Чех кохомологиясының идеясы мынада: егер ашық жабын жеткілікті кішкентай ашық жиынтардан тұрса, онда алынған симплициалдық кешен X кеңістігі үшін жақсы комбинаторлық модель болуы керек. Мұндай жабын үшін X-тің Чех кохомологиясы жүйкенің симплициалдық кохомологиясы ретінде анықталады. Бұл идеяны «жақсы жабын» ұғымы арқылы формалдауға болады. Дегенмен, көбірек қолданылатын тәсіл – жүйенің кохомологиялық топтарының тікелей лимітін X-тің барлық мүмкін ашық жабындарының жүйесі бойынша, нақтырақ айтқанда, жақсарту ретімен алу болып табылады. Осы тәсіл төменде қолданылады.

Құрылыс

X топологиялық кеңістік болсын, ал X-те абельдік топтардың престегісі болсын. X-тің ашық жабыны болсын.

Кочейн

Қоэффициенттері сақинада жатқан q кошейін – әр q симплексі σ үшін сақинадан элементті тағайындайтын бейнелеу. Сақинадағы коэффициенттері бар барлық q кошейіндер жиыны нүктелік қосу арқылы Абель тобын құрайды.

Кохомология

В мәндеріндегі X-тің Чех кохомологиясы коланша кешенінің кохомологиясы ретінде анықталады. Осылайша, q-шы Чех кохомологиясы келесідей беріледі. X-тің Чех кохомологиясы ашық жабындардың нақтылауын қарастыру арқылы анықталады. Егер жабынның нақтылауы болса, онда кохомологияда бір бейнелеу бар. X-тің ашық жабындары нақтылау бойынша бағытталған жиынды құрайды, сондықтан жоғарыдағы бейнелеу абельдік топтардың тікелей жүйесіне алып келеді. В мәндеріндегі X-тің Чех кохомологиясы осы жүйенің тікелей лиміті ретінде анықталады. Белгілі бір абельдік топ A-дағы коэффициенттері бар X-тің Чех кохомологиясы , деп анықталады, мұнда A арқылы анықталатын X-тегі тұрақты шоғырлама бар. Чех кохомологиясының саналатын Чех кохомологиясы деп аталатын түрі жоғарыда көрсетілгендей анықталады, бірақ қарастырылатын барлық ашық жабындар саналатын болуы керек: яғни, бірлік бөлінісі {ρi} бар, оның әрбір таяу қаптамасы жабынның кейбір элементіне кіреді. Егер X паракомпакт және Хаусдорф болса, онда саналатын Чех кохомологиясы әдеттегі Чех кохомологиясымен сәйкес келеді.

Басқа кохомология теорияларымен байланысы

Егер X гомотопиялық түрде CW кешеніне тең болса, онда Чех кохомологиясы жеке кохомологияға табиғи түрде изоморфты. Егер X дифференциалданатын көптүрлілік болса, онда ол де Рам кохомологиясына да табиғи түрде изоморфты; де Рам кохомологиясы туралы мақала осы изоморфизмге қысқаша шолу ұсынады. Жақсы қасиеттемеленбеген кеңістіктер үшін Чех кохомологиясы жеке кохомологиядан өзгеше болады. Мысалы, егер X жабық топологтың синус қисығы болса, онда , ал .

Егер X дифференциалданатын көптүрлілік болса және X-тің жабыны "жақсы жабын" болса (яғни, барлық Uα жиындары бір нүктеге сығылатын болса, және жабындағы жиындардың барлық шекті қиылыстары бос немесе бір нүктеге сығылатын болса), онда ол де Рам кохомологиясына изоморфты. Егер X компактты Хаусдорф кеңістігі болса, онда Чех кохомологиясы (дискретті топтағы коэффициенттерімен) Александр Спаньер кохомологиясына изоморфты. X-тегі прешеф үшін, оның шефке айналуын белгілейік. Содан кейін, Чех кохомологиясынан шеф кохомологиясына табиғи салыстыру картасы бар:

. Егер X паракомпактты Хаусдорф кеңістігі болса, онда бұл изоморфизм. Көбірек айтқанда, егер X-тегі барлық прешефтердің Чех кохомологиясы нөлдік шефке айналғанда жойылса, онда бұл изоморфизм болады.