Кіріспе
Топологиялық кеңістіктердің инварианттарын есептеуге арналған алгебралық құрал. Математикада, әсіресе алгебралық топология және гомология теориясында, Майер–Виторис тізбегі – топологиялық кеңістіктердің алгебралық инварианттарын, яғни олардың гомология және кохомология топтарын есептеуге көмектесетін алгебралық құрал. Бұл нәтиже австриялық математиктер Вальтер Майер мен Леопольд Виториске тиесілі. Әдіс кеңістікті кіші кеңістіктерге бөлуден тұрады, онда гомология немесе кохомология топтарын есептеу оңайырақ болуы мүмкін. Тізбек кеңістіктің (ко)гомология топтарын кіші кеңістіктердің (ко)гомология топтарымен байланыстырады. Бұл табиғи ұзын дәл тізбек, оның элементтері – бүкіл кеңістіктің (ко)гомология топтары, кіші кеңістіктердің (ко)гомология топтарының тікелей қосындысы және кіші кеңістіктердің қиылысының (ко)гомология топтары. Майер–Виторис тізбегі симплициалдық гомология және сингулярлы кохомологияны қоса алғанда, кохомология мен гомологияның әртүрлі теориялары үшін қолданылады. Жалпы алғанда, тізбек Эйленберг–Стинрод аксиомаларын қанағаттандыратын теориялар үшін жарамды және төмендетілген және салыстырмалы (ко)гомология үшін де өзгерістері бар. Көптеген кеңістіктердің (ко)гомологиясын олардың анықтамаларынан тікелей есептеу мүмкін болмағандықтан, ішінара ақпарат алу үмітімен Майер–Виторис тізбегі сияқты құралдар қолданылады. Топологияда кездесетін көптеген кеңістіктер өте қарапайым бөліктерді біріктіру арқылы құрылады. Екі жабатын кіші кеңістікті мұқият таңдау, олардың қиылысымен бірге, бүкіл кеңістікке қарағанда олардың қарапайым (ко)гомологиясы болуы мүмкін, бұл кеңістіктің (ко)гомологиясын толық анықтауға мүмкіндік береді. Осы тұрғыдан алғанда, Майер–Виторис тізбегі негізгі топ үшін Сейферт–Ван Кампен теоремасына ұқсас және бірінші өлшемді гомология үшін нақты қатынас бар.
In mathematics, particularly algebraic topology and homology theory, the Mayer–Vietoris sequence is an algebraic tool to help compute algebraic invariants of topological spaces, known as their homology and cohomology groups. The result is due to two Austrian mathematicians, Walther Mayer and Leopold Vietoris. The method consists of splitting a space into subspaces, for which the homology or cohomology groups may be easier to compute. The sequence relates the (co)homology groups of the space to the (co)homology groups of the subspaces. It is a natural long exact sequence, whose entries are the (co)homology groups of the whole space, the direct sum of the (co)homology groups of the subspaces, and the (co)homology groups of the intersection of the subspaces. The Mayer–Vietoris sequence holds for a variety of cohomology and homology theories, including simplicial homology and singular cohomology. In general, the sequence holds for those theories satisfying the Eilenberg–Steenrod axioms, and it has variations for both reduced and relative (co)homology. Because the (co)homology of most spaces cannot be computed directly from their definitions, one uses tools such as the Mayer–Vietoris sequence in the hope of obtaining partial information. Many spaces encountered in topology are constructed by piecing together very simple patches. Carefully choosing the two covering subspaces so that, together with their intersection, they have simpler (co)homology than that of the whole space may allow a complete deduction of the (co)homology of the space. In that respect, the Mayer–Vietoris sequence is analogous to the Seifert–van Kampen theorem for the fundamental group, and a precise relation exists for homology of dimension one.
Неге, не себепті және қалай пайда болған
Фундаменталды топқа немесе кеңістіктің жоғары гомотопиялық топтарына ұқсас, гомологиялық топтар маңызды топологиялық инварианттар болып табылады. Кейбір (ко)гомология теориялары сызықтық алгебраның құралдарын пайдалана отырып есептеледі, бірақ көптеген басқа маңызды (ко)гомология теориялары, әсіресе сингулярлық (ко)гомология, тривиальды емес кеңістік үшін олардың анықтамасынан тікелей есептелмейді. Сингулярлық (ко)гомология үшін сингулярлық (ко)тізбектер мен (ко)циклдер топтары көбінесе тікелей басқару үшін тым үлкен. Сондықтан, жасырын және жанама тәсілдер қажет болады. Майер–Виеторис тізбегі – мұндай тәсіл, ол кез келген кеңістіктің (ко)гомологиялық топтары туралы ақпаратты, оның екі ішкі кеңістігінің (ко)гомологиялық топтарымен және олардың қиылысымен байланыстыра отырып, ішінара түрде береді. Бұл байланысты білдірудің ең табиғи және ыңғайлы жолы – нақты тізбектердің алгебралық тұжырымы: объектілер тізбегі (осы жағдайда топтар) және олардың арасындағы морфизмдер (осы жағдайда топтық гомоморфизмдер), мұнда бір морфизмнің бейнесі келесі морфизмнің ядросына тең. Жалпы алғанда, бұл кеңістіктің (ко)гомологиялық топтарын толық есептеуге мүмкіндік бермейді. Дегенмен, топологияда кездесетін көптеген маңызды кеңістіктер – топологиялық көптүрліліктер, симплициалды кешендер немесе CW кешендері болып табылады, олар өте қарапайым бөліктерді біріктіру арқылы құрылады. Сондықтан, Майер мен Виеторис сияқты теорема кең және терең қолданылуы мүмкін. Майерді топологиямен оның әріптесі Виеторис 1926 және 1927 жылдары Венадағы жергілікті университете өткен дәрістерде таныстырды. Оған болжамды нәтиже және оны шешудің жолы туралы айтылды, ал 1929 жылы ол Бетти сандары мәселесін шешті. Ол өз нәтижелерін екі цилиндрдің бірігуі ретінде қарастырылған торға қолданды. Кейіннен Виеторис 1930 жылы гомологиялық топтар үшін толық нәтижені дәлелдеді, бірақ оны нақты тізбек түрінде жазбады. Нақты тізбек тұжырымы алғаш рет 1952 жылы Самуэль Эйленберг пен Норман Стинродтың «Алгебралық топологияның негіздері» кітабында пайда болды, онда Майер мен Виеторис нәтижелері қазіргі заманғы түрінде берілді.
Бірлік хомологияның негізгі нұсқалары
X топологиялық кеңістік болсын, ал A және B – X кеңістігін жабатын екі ішкі кеңістік болсын. (A және B-ның ішкі бөліктері бөлек болмауы мүмкін.) Сингулярлы гомология бойынша (X, A, B) үштігі үшін Майер-Виеторис тізбегі – бұл X, A, B кеңістіктерінің және A∩B қиылысының сингулярлы гомология топтарын (коэффициент тобы бүтін сандар Z-мен) байланыстыратын ұзақ дәл тізбе. Оның қысқартылмаған және қысқартылған нұсқалары бар.
Шекара картасы
Өлшемін төмендететін шекаралық бейнелеулер ∂∗ келесідей анықталуы мүмкін. Hn(X) жиынындағы элемент – n цикл x-тің гомология классы, мысалы, барицентрлік бөлу арқылы, екі n тізбегінің u және v қосындысы ретінде жазылуы мүмкін, олардың бейнелері тиісінше A және B жиындарында толығымен орналасқан. Осылайша, ∂x = ∂(u + v) = ∂u + ∂v. x цикл болғандықтан, ∂x = 0, демек ∂u = −∂v. Бұл екі шекаралық (n - 1) циклдің бейнелері A∩B қиылысында орналасқанын білдіреді. Содан кейін ∂∗([x]) Hn−1(A∩B) жиынындағы ∂u классы ретінде анықталады. x = u′ + v′ басқа жіктелуін таңдау [∂u] класына әсер етпейді, себебі ∂u + ∂v = ∂x = ∂u′ + ∂v′, бұл ∂u − ∂u′ = ∂(v′ − v) екенін білдіреді, сондықтан ∂u және ∂u′ бір гомология класына жатады; сондай-ақ, басқа өкілді x′ таңдау да әсер етпейді, өйткені ∂x′ = ∂x = 0. Mayer–Vietoris тізбегіндегі бейнелеулер A және B жиындарының ретін таңдауға байланысты екенін ескеріңіз. Атап айтқанда, егер A және B жиындары ауыстырылса, шекара бейнелеуінің таңбасы өзгереді.
Қысқаша нұсқасы
Төмендеген гомология үшін Майер-Виторис тізбегі де бар, егер А және В жиындарының қиылысы бос емес болса. Оң өлшемдерде тізбе бірдей және былай аяқталады:
k-сфера
K сфераның гомологиясын толық есептеу үшін X = Sk болсын, A және B – X-тің екі жарты шарлары, олардың қиылысы (k − 1) өлшемді экваториалдық сфераға гомотопиялық түрде тең. k өлшемді жарты шарлар k дискілерге гомеоморфты болғандықтан, олар қысылғыш, сондықтан A және B гомологиялық топтары тривиалды. Азайтылған гомологиялық топтар үшін Майер–Виеторис тізбегі ∂* картасы изоморфизм екенін көрсетеді. 0 сфераның (екі нүкте) азайтылған гомологиясын базалық жағдай ретінде пайдалана отырып, мынаны аламыз:
Exactness immediately implies that the map ∂* is an isomorphism. Using the reduced homology of the 0 sphere (two points) as a base case, it follows
where δ is the Kronecker delta. Such a complete understanding of the homology groups for spheres is in stark contrast with current knowledge of homotopy groups of spheres, especially for the case n > k about which little is known.
δ – Кронекер дельтасы. Сфералардың гомологиялық топтарын толыққанды түсіну, сфералардың гомотопиялық топтары туралы қазіргі біліммен күрт контрастқа түседі, әсіресе n > k жағдайында, оның туралы аз ғана мәлімет бар.
Exactness immediately implies that the map ∂* is an isomorphism. Using the reduced homology of the 0 sphere (two points) as a base case, it follows
where δ is the Kronecker delta. Such a complete understanding of the homology groups for spheres is in stark contrast with current knowledge of homotopy groups of spheres, especially for the case n > k about which little is known.
Клейн бөтелкесі
Майер-Виторис тізбесін қолданудың сәл қиынырақ мысалы – Клейн бөтелкесі X-тің гомологиялық топтарын есептеу. X-ті екі Мёбиус жолағы А және В-ның шекаралық шеңбер бойымен біріктірілуі ретінде қарастырамыз (оң жақтағы суретті қараңыз). Содан кейін A, B және олардың қиылысы A∩B шеңберлерге гомотопиялық түрде тең болады, сондықтан тізбектің тривиалды емес бөлігі келесідей:
ал тривиалды бөлігі 2-ден жоғары өлшемдер үшін гомологияның жоғалуын көрсетеді. Орталық карта α, 1-ді (2, −2) элементіне жібереді, себебі Мёбиус жолағының шекаралық шеңбері өзекті шеңберді екі рет айналып өтеді. Атап айтқанда, α инъективті, сондықтан 2-өлшемді гомология да жоғалады. Соңында, Z2 үшін (1, 0) және (1, −1) негіз ретінде таңдалса, келесісі орындалады:
Қиыршық сомалар
X екі кеңістік K және L-дің кенелік қосындысы болсын, және сонымен қатар анықталған негізгі нүкте U ⊆ K және V ⊆ L ашық маңдарының деформациялық кері тартылуы болсын делік. A = K ∪ V және B = U ∪ L деп белгілейік, онда A ∪ B = X және A ∩ B = U ∪ V, бұл құрылысы бойынша жиырылғыш. Сонда тізбектің қысқартылған түрі (нақтылық бойынша) барлық n өлшемдер үшін келесіні береді. Оң жақтағы суретте X екі 2 сфераның – K және L – қосындысы ретінде көрсетілген. Бұл нақты жағдайда, жоғарыдағы 2 сфералар үшін алынған нәтижені қолдана отырып, мынадай теңдік орындалады.
for all dimensions n. The illustration on the right shows X as the sum of two 2 spheres K and L. For this specific case, using the result from above for 2 spheres, one has
Тоқтатулар
Егер X, Y кеңістігінің SY аспасы болса, онда A және B екі қос конустың жоғарғы және төменгі "төбелерінің" X-тегі толықтырулары болсын. Содан кейін X, A∪B жиыны болады, мұнда A және B жиырылатын. Сондай-ақ, A∩B қиылысы Y-ге гомотопиялық теңдес. Осыдан Mayer–Vietoris тізбегі барлық n үшін келесіні береді. Оң жақтағы сурет 1-сфераны X, 0-сфераның Y аспасы ретінде көрсетеді. Жалпы алғанда, k-сфера (k − 1)-сфераның аспасы екенін ескерсек, k-сфераның гомологиялық топтарын жоғарыда көрсетілгендей индукция арқылы анықтау оңай.
The illustration on the right shows the 1 sphere X as the suspension of the 0 sphere Y. Noting in general that the k sphere is the suspension of the (k − 1) sphere, it is easy to derive the homology groups of the k sphere by induction, as above.
Қарым-қатынас түрі
Майер-Виеторис тізбегінің туыстық түрі де бар. Егер Y, X-тің ішкі жиыны болса және C ⊂ A мен D ⊂ B ішкі кеңістіктерінің бірігі болса, онда дәл тізбек мынадай:
Басқа гомология теориялары
Майер-Виеторис тізбегінің Эйленберг-Стинрод аксиомаларынан шығарылуы өлшем аксиомасын қажет етпейді, сондықтан ол қалыпты кохомология теорияларында ғана емес, ерекше кохомология теорияларында да (мысалы, топологиялық К-теориясы және кобордизм) қолданылады.
Қалпақ кохомологиясы
Шеф-кохомология тұрғысынан алғанда, Майер-Виторис тізбегі Чех-кохомологиясымен байланысты. Атап айтқанда, ол Чех кохомологиясын шабақ кохомологиясына байланыстыратын спектрлік тізбектің (кейде Майер-Виторис спектрлік тізбегі деп аталады) дегенерациясынан туындайды, егер Чех кохомологиясын есептеу үшін қолданылатын ашық жабын екі ашық жиыннан тұрса. Бұл спектрлік тізбек кез келген топоисте бар.