Кіріспе

Топологиялық инвариант математикада
Эйлер сипаттағышы
Математикада, әсіресе алгебралық топология және полиэдрлік комбинаторика салаларында, Эйлер сипаттағышы (немесе Эйлер саны, немесе Эйлер-Пуанкаре сипаттағышы) – топологиялық кеңістіктің пішінін немесе құрылымын, оның қалай иілгеніне қарамастан сипаттайтын топологиялық инвариант. Ол әдетте χ (грек тіліндегі кіші әрпі "хи") арқылы белгіленеді. Эйлер сипаттағышы бастапқыда көпжақтар үшін анықталды және олар туралы түрлі теоремаларды, соның ішінде Платон денелерінің жіктелуін дәлелдеу үшін қолданылды. Ол 1537 жылы Франческо Мауроликоның жарияланбаған қолжазбасында Платон денелері үшін айтылған. Леонхард Эйлер, осы ұғым оның атымен аталған, оны дөңес көпжақтар үшін көбірек жалпылады, бірақ оның инвариант екенін қатаң түрде дәлелдей алмады. Қазіргі заманғы математикада Эйлер сипаттағышы гомологиядан және, одан да абстрактілі түрде, гомологиялық алгебрадан туындайды.

Жазық графиктер

Ойлер сипатын байланысқан жазық графтар үшін көпжақты беттер үшін қолданылатын дәл сол формула арқылы анықтауға болады, мұнда F – графтың беттерінің саны, сыртқы бетті қоса алғанда. Кез келген жазық байланысқан G графының Ойлер сипаты 2-ге тең. Бұл G анықтайтын беттер саны бойынша индукция арқылы оңай дәлелденеді, ал негізгі жағдай ретінде ағаш алынады. Ағаштар үшін және егер G-де C компонент болса (үзіліссіз графтар), F бойынша индукция арқылы алынған дәл сол аргумент осыны көрсетеді. Кошидің графтар теориясы бойынша жазылған бірнеше мақалаларының бірі де осы нәтижені дәлелдейді. Стереографиялық проекция арқылы жазықтық 2 шарға бейнеленеді, сондықтан байланысқан граф шардың көпбұрышты жіктелуіне бейнеленеді, ол Ойлер сипаты 2-ге тең. Бұл көзқарас Кошидің төменде келтірілген Ойлер формуласын дәлелдеуіне тікелей байланысты.

Беттидің нөмірі

Кез келген топологиялық кеңістік үшін, n-ші Бетти саны bn-ді n-ші сингулярлы гомология тобының рангі ретінде анықтауға болады. Эйлер сипаттамасын осылай, алмастыратын қосынды ретінде анықтауға болады.

Бұл шама, егер Бетти сандарының бәрі шекті болса және олар белгілі бір n0 индексінен асып кетсе, жақсы анықталған. Симплициалды кешендер үшін бұл алдыңғы абзацтағы анықтамадан өзгеше, бірақ гомологиялық есептеулер екі анықтама да бірдей мән беретінін көрсетеді.

Қасиеттері

Эйлер сипаттамасы топологиялық кеңістіктердегі көптеген негізгі операцияларға қатысты жақсы қасиеттерге ие, яғни төмендегідей.

Гомотопиялық инварианттылық

Гомология – топологиялық инвариант, және сонымен қатар гомотопиялық инвариант: Гомотопиялық эквивалентті екі топологиялық кеңістіктің гомологиялық топтары изоморфты болады. Осыдан Эйлер сипаттамасы да гомотопиялық инвариант екендігі шығады. Мысалы, кез келген қысылатын кеңістік (яғни, бір нүктеге гомотопиялық эквивалентті кеңістік) тривиалды гомологияға ие, яғни 0-шы Бетти саны 1, ал қалғандары 0-ге тең. Сондықтан оның Эйлер сипаттамасы 1-ге тең. Бұл жағдайға кез келген өлшемдегі Евклид кеңістігі, сондай-ақ кез келген Евклид кеңістігіндегі бірлік шар кіреді – бір өлшемді кесінді, екі өлшемді диск, үш өлшемді шар және т.б. Тағы бір мысал келтірейік, кез келген дөңес көпбұрыш үш өлшемді шарға гомеоморфты, сондықтан оның беті гомеоморфты (демек, гомотопиялық эквивалентті) екі өлшемді сфераға, ал оның Эйлер сипаттамасы 2-ге тең. Осы себепті дөңес көпбұрыштардың Эйлер сипаттамасы 2-ге тең.

Беттері

Ойлер сипатын жалпы беттер үшін беттің көпбұрышпен жабылуын (яғни, CW кешені ретінде сипаттау) тауып, жоғарыдағы анықтамаларды қолдану арқылы оңай есептеуге болады. АтауыСурет χКесінді1Шеңбер0Диск1Сфера2Тор (екі шеңбердің көбейтіндісі)0Қос тор−2Үш тор−4Шын проективті жазықтық1Мёбиус жолағы0Клейн бөтелкесі0Екі сфера (қосылмаған) (Екі сфераның жиынтығы) 2 + 2 = 4Үш сфера (қосылмаған) (Үш сфераның жиынтығы) 2 + 2 + 2 = 6Сфера (қосылмаған) (n сфераның жиынтығы) . .

Футбол добы

Футбол доптарын бесбұрышты және алтыбұрышты бөліктерді тігіп біріктіру арқылы жасау қалыпты, әр төбеде үш бөлік кездеседі (мысалы, Adidas Telstar-ды қараңыз). Егер P бесбұрыш, ал H алтыбұрыш пайдаланылса, онда беттері, төбелері және қабырғалары болады. Ойлер сипаттамасы осылай: сфераның Ойлер сипаттамасы 2-ге тең болғандықтан, осылай жасалған футбол добының әрқашан 12 бесбұрышы болады. Алтыбұрыштардың саны 1-ден басқа кез келген оң немесе нөлдік бүтін сан болуы мүмкін. Бұл нәтиже фуллерен және Голдберг полиэдрлеріне де қолданылады.

Жалпылау

Әрбір комбинаторлық жасуша кешені үшін Эйлер сипаты 0 жасуша саны, минус 1 жасуша саны, плюс 2 жасуша саны, және т.б. деп анықталады, егер бұл кезектестірілген сома шекті болса. Атап айтқанда, шекті жиынның Эйлер сипаты оның кардиналдығымен тең, ал графтың Эйлер сипаты — төбелер саны мен қабырғалар санының айырмасы. (Олаф Пост мұны «жақсы белгілі формула» деп атайды.) Жалпы алғанда, кез келген тізбекті кешеннің Эйлер сипаты тізбекті кешеннің гомологиялық топтарының рангтарының кезектестірілген қосындысы ретінде анықталады, егер барлық рангтар шекті болса. Алгебралық геометрияда қолданылатын Эйлер сипатының бір түрі төмендегідей: X схемасындағы кез келген когерентті шоғыр үшін оның Эйлер сипаты келесідей анықталады:

мұндағы – i-ші шоғырдың кохомологиялық тобының өлшемі. Бұл жағдайда, өлшемдердің барлығы Гротендиктің шектілік теоремасы бойынша шекті. Бұл тізбекті кешеннің Эйлер сипатының мысалы, мұнда тізбекті кешен – ациклді шоғырлардың шекті шешімі. Манифольдтағы Эйлер сипаты тұжырымдамасының тағы бір жалпылауы орбифолдтардан келеді (орбифолдтың Эйлер сипатын қараңыз). Кез келген манифольдта бүтін сан Эйлер сипаты болса, орбифолдта бөлшектік Эйлер сипаты болуы мүмкін. Мысалы, жас тамшысы тәрізді орбифолдтың Эйлер сипаты , мұнда p – конус бұрышына сәйкес келетін жай сан. Шешілген соңғы позитивтің қысқартылған гомологиясының Эйлер сипаты – комбинаторикада маңызды тағы бір жалпылау. Позитив «шешілген» деп аталады, егер ол ең кішкентай және ең үлкен элементтерге ие болса; оларды 0 және 1 деп атайық. Мұндай позитивтің Эйлер сипаты μ(0,1) бүтін саны ретінде анықталады, мұнда μ – сол позитивтің инциденттік алгебрасындағы Мёбиус функциясы. Бұл кейбір шекті санаттар үшін рационалдық Эйлер сипатын анықтау арқылы одан әрі жалпылауға болады, бұл жоғарыда аталған графтардың, орбифолдтардың және позитивтердің Эйлер сипаттарымен үйлесімді ұғым. Бұл жағдайда, шекті топтың немесе моноидтің G Эйлер сипаты , ал шекті группоидтың Эйлер сипаты – , мұнда біз группоидтың әрбір байланысқан компоненті үшін бір өкілдік топ G таңдадық.