Кіріспе
Шамамен, топологиялық беттегі k өлшемді тесіктердің саны. Алгебралық топологияда Бетти сандары n өлшемді симплициалдық кешендердің байланысына сүйенген топологиялық кеңістіктерді ажырату үшін қолданылады. Ең орынды шекті өлшемді кеңістіктер үшін (мысалы, тығыз көптүрліліктер, шекті симплициалдық кешендер немесе CW кешендері), Бетти сандарының тізбегі белгілі бір нүктеден бастап 0-ге тең болады (Бетти сандары кеңістіктің өлшемінен жоғарырақ мәндерде жоғалады) және олардың барлығы шекті. N-ші Бетти саны N-ші гомология тобының рангін көрсетеді, ол Hn деп белгіленеді, және бұл бетті екі бөлікке немесе 0 циклдарға, 1 циклдарға және т.б. бөлуге болатын кесулердің максималды санын білдіреді. Мысалы, егер , онда , егер , онда , егер , онда , егер , онда және т.б. Тек шексіз топтардың рангілері ғана қарастырылатынын ескеріңіз, мысалы, егер , онда 2 реттік шекті циклдік топ болса, онда гомология топтарының осы шекті компоненттері олардың бұрылу кіші топтары болып табылады және олар бұрылу коэффициенттерімен белгіленеді. "Бетти сандары" терминін Анри Пуанкаре Энрико Беттидің құрметіне енгізген. Қазіргі заманғы тұжырымдама Эмми Нотерге тиесілі. Бетти сандары бүгінде симплициалдық гомология, компьютерлік ғылым және цифрлық кескіндер сияқты салаларда қолданылады.
In algebraic topology, the Betti numbers are used to distinguish topological spaces based on the connectivity of n dimensional simplicial complexes. For the most reasonable finite dimensional spaces (such as compact manifolds, finite simplicial complexes or CW complexes), the sequence of Betti numbers is 0 from some point onward (Betti numbers vanish above the dimension of a space), and they are all finite. The nth Betti number represents the rank of the nth homology group, denoted Hn, which tells us the maximum number of cuts that can be made before separating a surface into two pieces or 0 cycles, 1 cycles, etc. For example, if then , if then , if then , if then , etc. Note that only the ranks of infinite groups are considered, so for example if , where is the finite cyclic group of order 2, then These finite components of the homology groups are their torsion subgroups, and they are denoted by torsion coefficients. The term "Betti numbers" was coined by Henri Poincaré after Enrico Betti. The modern formulation is due to Emmy Noether. Betti numbers are used today in fields such as simplicial homology, computer science and digital images.
Ресми анықтама
k теріс емес бүтін сан үшін, X кеңістігінің k-шы Бетти саны bk(X) – X-тің k-шы гомология тобы Hk(X) абельдік тобының ранкі (сызықтық тәуелсіз генераторлардың саны) ретінде анықталады. K-шы гомология тобы – , мұнда s – симплициалдық кешеннің шекаралық операторлары, ал Hk-нің ранкі – k-шы Бетти саны. Балама ретінде, оны Hk(X; Q) векторлық кеңістігінің өлшемі ретінде анықтауға болады, себебі бұл жағдайда гомология тобы Q үстінен векторлық кеңістік болып табылады. Универсалды коэффициент теоремасы, өте қарапайым бұрылыссыз жағдайда, осы анықтамалардың бірдей екенін көрсетеді. Әрі жалпылай, F өрісі берілгенде, F коэффициенттері бойынша k-шы Бетти саны bk(X, F) – Hk(X, F) векторлық кеңістігінің өлшемі ретінде анықталады.
Поинкаре көптік
Бір беттің Пуанкаре полиномы – оның Бетти сандарының тудыру функциясы деп анықталады. Мысалы, тордың Бетти сандары 1, 2 және 1; демек, оның Пуанкаре полиномы – . Осы анықтама шекті түрде құрылған гомологияға ие кез келген топологиялық кеңістікке де қолданылады. Шектеулі түрде құрылған гомологиясы бар топологиялық кеңістік үшін Пуанкаре полиномы оның Бетти сандарының тудыру функциясы ретінде анықталады, яғни полином арқылы, мұндағы коэффициенті .
Графиктің Бетти сандары
Топологиялық G графигін қарастырайық, онда төбелер жиыны V, қабырғалар жиыны E, ал байланысқан компоненттер жиыны C болып табылады. Граф гомологиясы туралы бетте түсіндірілгендей, оның гомологиялық топтары келесідей беріледі:
Бұл қабырғалар саны бойынша математикалық индукция арқылы тікелей дәлелдеуге болады. Жаңа қабырға 1-циклдар санын арттырады немесе байланысқан компоненттер санын азайтады. Сондықтан, "нөлдік" Бетти саны b0(G) |C| санына тең, яғни байланысқан компоненттердің санына. Бірінші Бетти саны b1(G) |E| + |C| - |V| санына тең. Оны цикломатикалық сан деп те атайды – бұл терминді Гюстав Кирхгоф Бетидің еңбегінен бұрын енгізген. Бағдарламалық жасақтаманы жобалауда қолданылуы үшін цикломатикалық күрделілікке қараңыз. Қалған Бетти сандары 0-ге тең.
Қарапайым кешеннің Бетти сандары
Қарапайым кешенді қарастырайық, онда 0-қарапайымдылар: a, b, c және d, 1-қарапайымдылар: E, F, G, H және I, ал жалғыз 2-қарапайымды J, суреттегі көлеңкелі аймақ. Бұл суретте бір байланысқан компонент бар (b0); бір тесік, көлеңкеленбеген аймақ (b1); және "бос кеңістіктер" немесе "қуыстар" жоқ (b2). Бұл дегеніміз, рангі 1, рангі 1 және рангі 0. Бұл сурет үшін Бетти сандары тізбегі 1, 1, 0, 0, ; Пуанкаре көпмүшесі .
Түрлі коэффициенттер
F өрісіне тәуелділік тек оның сипаттамасы арқылы анықталады. Гомология топтары торсиясыз болса, Бетти сандары F өрісінен тәуелсіз болады. p-торсиясы мен p сипаттамасы үшін Бетти санының байланысы, мұнда p – жай сан, әмбебап коэффициент теоремасымен (Tor функторларына негізделген, бірақ қарапайым жағдайда) толыққанды сипатталады.