Кіріспе
Нүктелерден, сызық сегменттерінен, үшбұрыштардан және олардың n өлшемді аналогтарынан тұратын математикалық жиын. Математикада, симплициалдық кешен – нүктелерден, сызық сегменттерінен, үшбұрыштардан және олардың n өлшемді аналогтарынан тұратын жиын (суретті қараңыз). Симплициалдық кешендерді қазіргі заманғы симплициалдық гомотопия теориясында кездесетін симплициалдық жиынның абстрактілі түсінігімен шатастырмау керек. Симплициалдық кешеннің таза комбинаторлық аналогы – абстрактілі симплициалдық кешен. Симплициалдық кешенді абстрактілі симплициалдық кешеннен ажырату үшін, біріншісін көбінесе геометриялық симплициалдық кешен деп атайды. "Анықтамалар"
Симплициалдық кешен – мынадай шарттарды қанағаттандыратын симплекстер жиыны:
1. Симплекстің кез келген жағы да 2-ге жатады.
2. Кез келген екі симплекстің ортақ бөлігі олардың екеуінің де жағы болып табылады.
Абстрактілі симплициалдық кешеннің анықтамасын да қараңыз, ол, шартты түрде айтқанда, геометриясы жоқ симплициалдық кешен болып табылады. Симплициалдық k-кешен – кез келген симплекстің ең үлкен өлшемі k-ға тең болатын симплициалдық кешен. Мысалы, симплициалдық 2-кешенде кем дегенде бір үшбұрыш болуы керек, ал онда тетраэдрлер немесе одан жоғары өлшемді симплекстер болмауы керек. Таза немесе біртекті симплициалдық k-кешен – k-дан кіші өлшемді әрбір симплекс дәл k өлшемді симплекстің жағы болып табылатын симплициалдық кешен. Формальды түрде, таза 1-кешен сызықтардан, 2-кешен үшбұрыштардан жасалғандай көрінеді, және т.б. Біртекті емес кешеннің мысалы – үшбұрыштың бір төбесіне жалғанған сызық сегменті бар үшбұрыш. Таза симплициалдық кешендерді триангуляциялар деп қарастыруға болады және политоптардың анықтамасын береді. Фасет – максималды симплекс, яғни, кешендегі, бірақ үлкен симплекстің жағы емес кез келген симплекс. (Симплекстің "жағынан" айырмашылығын ескеріңіз). Таза симплициалдық кешенді барлық фасеттері бірдей өлшемді кешен ретінде қарастыруға болады. (Симплициалдық политоптардың шекаралық кешендері) үшін бұл полиэдрлік комбинаторикадан алынған мағынаға сәйкес келеді. Кейде "жас" термині кешеннің симплексін білдіреді, симплекстің жағымен шатастырмау керек. K өлшемді кеңістікте орналасқан симплициалдық кешен үшін k жақтары кейде оның жасушалары деп аталады. "Жасуша" термині кейде симплекске гомеоморфты жиынды белгілеу үшін кең мағынада қолданылады, бұл жасуша кешенінің анықтамасына әкеледі. Негізгі кеңістік, кейде симплициалдық кешеннің тасымалдағышы деп аталады, оның симплекстерінің бірігуі болып табылады. Ол әдетте немесе арқылы белгіленеді.
Қолдау
Барлық симплекстердің салыстырмалы ішкі кеңістіктері оның негізгі кеңістігінің бөлінісін құрайды: әрбір нүкте үшін оның салыстырмалы ішкі кеңістігінде дәл бір симплекс бар. Бұл симплекс x-тің қолдауы деп аталады және деп белгіленеді.
In mathematics, a simplicial complex is a set composed of points, line segments, triangles, and their n dimensional counterparts (see illustration). Simplicial complexes should not be confused with the more abstract notion of a simplicial set appearing in modern simplicial homotopy theory. The purely combinatorial counterpart to a simplicial complex is an abstract simplicial complex. To distinguish a simplicial complex from an abstract simplicial complex, the former is often called a geometric simplicial complex. 'Definitions
A simplicial complex is a set of simplices that satisfies the following conditions:
1. Every face of a simplex from is also in 2. The non empty intersection of any two simplices is a face of both and
See also the definition of an abstract simplicial complex, which loosely speaking is a simplicial complex without an associated geometry. A simplicial k complex is a simplicial complex where the largest dimension of any simplex in equals k. For instance, a simplicial 2 complex must contain at least one triangle, and must not contain any tetrahedra or higher dimensional simplices. A pure or homogeneous simplicial k complex is a simplicial complex where every simplex of dimension less than k is a face of some simplex of dimension exactly k. Informally, a pure 1 complex "looks" like it's made of a bunch of lines, a 2 complex "looks" like it's made of a bunch of triangles, etc. An example of a non homogeneous complex is a triangle with a line segment attached to one of its vertices. Pure simplicial complexes can be thought of as triangulations and provide a definition of polytopes. A facet is a maximal simplex, i. e., any simplex in a complex that is not a face of any larger simplex. (Note the difference from a "face" of a simplex). A pure simplicial complex can be thought of as a complex where all facets have the same dimension. For (boundary complexes of) simplicial polytopes this coincides with the meaning from polyhedral combinatorics. Sometimes the term face is used to refer to a simplex of a complex, not to be confused with a face of a simplex. For a simplicial complex embedded in a k dimensional space, the k faces are sometimes referred to as its cells. The term cell is sometimes used in a broader sense to denote a set homeomorphic to a simplex, leading to the definition of cell complex. The underlying space, sometimes called the carrier of a simplicial complex is the union of its simplices. It is usually denoted by or
Support
The relative interiors of all simplices in form a partition of its underlying space : for each point , there is exactly one simplex in containing in its relative interior. This simplex is called the support of x and denoted .'
Жабылу, жұлдыз және сілтеме
K – симплициалдық кешен, ал S – K-дегі симплекстер жиыны.
S-тің жабылуы (белгіленгені ) – S-дегі әр симплексті қамтитын K-нің ең кіші симплициалдық субкешені. Бұл S-дегі әр симплекстің барлық жақтарын S-ке қайта-қайта қосу арқылы алынады.
S-тің жұлдызы (белгіленгені ) – S-дегі әр симплекстің жұлдыздарының бірігуі. Жеке симплекс s үшін, s жұлдызы – s-ті жақ ретінде қамтитын S-дегі симплекстер жиыны. S жұлдызы әдетте симплициалдық кешен болып табылмайды, сондықтан кейбір авторлар S жұлдызының жабық жұлдызын (белгіленгені ) – S жұлдызының жабылуы деп анықтайды.
S-тің байланысы (белгіленгені ) тең. Бұл S жұлдызының жабық жұлдызынан S-тің барлық жақтарының жұлдыздарын алып тастау арқылы алынады.
Алгебралық топология
Алгебралық топологияда, симплициалдық кешендер нақты есептеулер үшін жиі пайдалы болады. Симплициалдық кешеннің гомологиялық топтарын анықтау үшін, барлық симплекстерге сәйкес бағдар берілсе, тиісті тізбектік кешенді тікелей қарастыруға болады. Гомотопиялық теорияның қажеттіліктері көбірек жалпы кеңістіктерді, CW кешендерін пайдалануға алып келеді. Шегінсіз кешендер алгебралық топологиядағы негізгі техникалық құрал болып табылады. Сондай-ақ, симплициалдық кешендер туралы Евклид кеңістігінің ішкі кеңістіктері ретіндегі талқылауды қараңыз, олардың әрқайсысы симплекс болып табылады. Бұл ұғым Александровқа жатқызылады. Осы жерде сөз болған кез келген шекті симплициалдық кешен, белгілі бір үлкен өлшемдегі көпбұрыш ретінде бекітілуі мүмкін. Алгебралық топологияда, шекті симплициалдық кешеннің геометриялық жүзеге асырылысына гомеоморфты компактты топологиялық кеңістік әдетте полиэдр деп аталады (қараңыз , , ).
Есептеу проблемалары
Симплициалдық кешенді тану мәселесі: берілген шекті симплициалдық кешен үшін, оның белгілі бір геометриялық нысанға гомеоморфты екенін анықтау. Бұл мәселе d ≥ 5 болған кез келген d өлшемді манифольдтар үшін шешілмейді.