Введение

В математике, в частности в алгебраической топологии, когомологии Чеха — это теория когомологий, основанная на свойствах пересечения открытых покрытий топологического пространства. Она названа в честь математика Эдуарда Чеха.

Мотивация

Пусть X — топологическое пространство, и пусть — открытое покрытие X. Пусть обозначает нерв покрытия. Идея когомологии Чеха состоит в том, что для открытого покрытия, состоящего из достаточно малых открытых множеств, полученный симплициальный комплекс должен служить хорошей комбинаторной моделью для пространства X. Для такого покрытия когомологии Чеха пространства X определяются как симплициальные когомологии нерва. Эту идею можно формализовать понятием хорошего покрытия. Однако более общий подход заключается в вычислении прямой границы когомологических групп нерва по системе всех возможных открытых покрытий X, упорядоченных по уточнению. Ниже мы будем придерживаться именно этого подхода.

Строительство

Пусть X — топологическое пространство, и пусть F — предпучок абелевых групп на X. Пусть {Uᵢ} будет открытым покрытием X.

Кочейн

q-коцепь на с коэффициентами в является отображением, которое сопоставляет каждому q-симплексу σ элемент , и мы обозначаем множество всех q-коцепей на с коэффициентами в как . Это абелева группа относительно поточечного сложения.

Кохомология

Чехская кохомология с значениями в определяется как кохомология комплекса коцейн. Таким образом, q-я чехская кохомология задается как .

Чехская кохомология пространства X определяется путем рассмотрения уточнений открытых покрытий. Если является уточнением , то существует отображение в кохомологии . Открытые покрытия X образуют направленное множество относительно уточнения, поэтому указанное выше отображение приводит к прямой системе абелевых групп. Чехская кохомология X с значениями в определяется как прямая граница этой системы. Чехская кохомология X с коэффициентами в фиксированной абелевой группе A, обозначаемая , определяется как , где – постоянный пучок на X, определяемый A. Вариант чехской кохомологии, называемый счетной чехской кохомологией, определяется аналогично, за исключением того, что все рассматриваемые открытые покрытия должны быть счетными: то есть, существует разбиение единицы {ρi} такое, что каждая поддержка содержится в некотором элементе покрытия. Если X является паракомпактным и хаусдорфовым, то счетная чехская кохомология совпадает с обычной чехской кохомологией.

Связь с другими теориями кохомологии

Если X гомотопически эквивалентен CW-комплексу, то кохомологии Чеха естественным образом изоморфны сингулярным кохомологиям. Если X – дифференцируемое многообразие, то они также естественным образом изоморфны кохомологиям де Рама; статья о кохомологиях де Рама содержит краткий обзор этого изоморфизма. Для пространств с менее гладким поведением кохомологии Чеха отличаются от сингулярных кохомологий. Например, если X – замкнутая синусоидальная кривая тополога, то , а если X – дифференцируемое многообразие и покрытие X является "хорошим покрытием" (то есть все множества Uα стягиваются в точку, и все конечные пересечения множеств в либо пусты, либо стягиваются в точку), то они изоморфны кохомологиям де Рама. Если X – компактное хаусдорфово пространство, то кохомологии Чеха (с коэффициентами в дискретной группе) изоморфны кохомологиям Александра-Спанье. Для предпучка на X обозначим его шеафификацией. Тогда у нас есть естественное отображение сравнения

из кохомологий Чеха в кохомологии пучков. Если X – паракомпактное хаусдорфово пространство, то это отображение является изоморфизмом. В более общем случае, это отображение является изоморфизмом всякий раз, когда кохомологии Чеха всех предпучков на X с нулевой шеафификацией обращаются в нуль.