Кіріспе
Математикада барицентрлік бөлу – берілген симплексті кішірек симплекстерге бөлудің стандартты тәсілі. Оның симплициалдық кешендерге қолданылуы оларды жақсартудың канондық әдісі болып табылады. Сондықтан барицентрлік бөлу алгебралық топологияда маңызды құрал саналады.
Мотивация
Барицентрлік бөлініс – симплициалдық кешендердегі операция. Алгебралық топологияда бастапқы кеңістіктерді триангуляция арқылы симплициалдық кешендермен алмастыру кейде пайдалы болады: мұндай алмастыру кеңістіктерге Эйлер сипаттамасы сияқты комбинаторлық инварианттарды тағайындауға мүмкіндік береді. Топологиялық кеңістіктерде анықталған үздіксіз функцияларды симплекстерде сызықты және бастапқы бейнелеулерге гомотоптық функциялармен алмастырудың ұқсас жолы бар ма деген сұрақ туындайды (қараңыз, симплициалдық жуықтау). Әдетте, мұндай тағайындау үшін берілген кешенді күрделендіру қажет, яғни үлкен симплекстерді кіші симплекстердің жиынтығымен алмастыру керек. Мұндай күрделендіруді жүзеге асырудың стандартты тәсілі – барицентрлік бөлініс. Бұдан әрі, барицентрлік бөлініс гомологиялық топтарда бейнелеулерді тудырады және есептеу мәселелері үшін көмектеседі, мысалы, Эксизия және Майер-Виетирис тізбегін қараңыз.
Симплекстің барицентрикалық бөлінісі
Нүктелер арқылы құрылған симплекс үшін барицентр — нүкте деп анықталады. Бөлуді анықтау үшін біз симплексті максималды өлшемді бір ғана симплекс, атап айтқанда, өзінің симплексін қамтитын симплициалды кешен ретінде қарастырамыз. Симплекстің барицентрлік бөлінісі оның өлшемі бойынша индуктивті түрде анықталады. Нүктелер үшін, яғни 0 өлшемді симплекстер үшін, барицентрлік бөлініс — өзінің нүктесі ретінде анықталады. Енді, өлшемді симплекс үшін, оның өлшемді беттері бөлінген деп есептейік. Сондықтан, оны жабатын симплекстер бар. Барицентрлік бөлініс — геометриялық симплициалды кешен, оның максималды өлшемді симплекстерінің әрқайсысы үшін бір жұп үшін дөңес қабырша болып табылады, сондықтан оны жабатын симплекстер болады.
One can generalize the subdivision for simplicial complexes whose simplices are not all contained in a single simplex of maximal dimension, i. e. simplicial complexes that do not correspond geometrically to one simplex. This can be done by effectuating the steps described above simultaneously for every simplex of maximal dimension. The induction will then be based on the th skeleton of the simplicial complex. It allows effectuating the subdivision more than once.
Бір симплекстің максималды өлшеміне толығымен кірмейтін симплекстері бар симплициалды кешендер үшін де бөлуді жалпылауға болады, яғни геометриялық тұрғыдан бір симплекске сәйкес келмейтін симплициалды кешендер. Бұл жоғарыда сипатталған қадамдарды әрбір максималды өлшемді симплекс үшін бір мезгілде орындау арқылы жасалуы мүмкін. Индукция содан кейін симплициалды кешеннің th қаңқасына негізделеді. Бұл бөлуді бірнеше рет орындауға мүмкіндік береді.
One can generalize the subdivision for simplicial complexes whose simplices are not all contained in a single simplex of maximal dimension, i. e. simplicial complexes that do not correspond geometrically to one simplex. This can be done by effectuating the steps described above simultaneously for every simplex of maximal dimension. The induction will then be based on the th skeleton of the simplicial complex. It allows effectuating the subdivision more than once.
Иілгіш политоптың барицентрикалық бөлінісі
Барицентрлік бөліну операциясы кез келген өлшемдегі кез келген дөңес политопқа қолданылуы мүмкін, нәтижесінде сол өлшемдегі тағы бір дөңес политоп пайда болады. Барицентрлік бөліністің осы нұсқасында политоптың симплициалдық кешен құруы міндетті емес: оның симплиц емес жақтары болуы мүмкін. Бұл операция омни-уңғылуға (omnitruncation) қарама-қарсы операция болып табылады. Барицентрлік бөліністің төбелері бастапқы политоптың барлық өлшемдердегі жақтарына сәйкес келеді. Барицентрлік бөліністе екі төбе, егер олар төменгі өлшемді жақ жоғары өлшемді жақтың ішіне кіретін екі жаққа сәйкес келсе, жақын орналасқан болады. Барицентрлік бөліністің жақтары бастапқы политоптың туларына (flags) сәйкес келетін симплицтер болып табылады. Мысалы, текше немесе дұрыс октаэдрдің барицентрлік бөлінісі – дисдиякис додекаэдрі. Дисдиякис додекаэдрінің 6, 4 және 8 дәрежелі төбелері тиісінше текшенің төбелеріне, қабырғаларына және төртбұрышты жақтарына сәйкес келеді.
Тор
Симплекс алып, оны анықтайық. Геометриялық, симплекстік кешеннің торларын өлшеудің бір жолы – кешендегі симплекстердің максималды диаметрін алу болып табылады. Барицентрлік бөліністен алынған жабыннан туындаған өлшемді симплекс болсын. Онда, келесі шамалау орындалады: Демек, барицентрлік бөліністі жеткілікті жиі қолдану арқылы ең үлкен қабырғаны қалағандай кішіге дейін азайтуға болады.
Therefore, by applying barycentric subdivision sufficiently often, the largest edge can be made as small as desired.
Гомология
Гомология теориясындағы кейбір тұжырымдар үшін қарапайым кешендерді бөлініске алмастыру қажет болады. Қарапайым гомологиялық топтар деңгейінде бастапқы қарапайым кешеннің гомологиялық тобынан бөлінген кешеннің топтарына бейнелеу қажет. Шындығында, кез келген шекті қарапайым кешеннің бөлінісі үшін гомологиялық топтар арасында бірегей бейнелеулер тізбегі бар екенін көрсетуге болады, яғни әрбір бейнелеу үшін орындалады және бейнелеулер тізбекті кешендердің эндоморфизмдерін тудырады. Сонымен қатар, туындаған бейнелеу изоморфизм болып табылады: бөлініс кешеннің гомологиясын өзгерте алмайды. Бұл теорема алгебралық топологиядағы кейбір тұжырымдар үшін маңызды рөл атқарады, мысалы, Лефшецтің бекітілген нүкте теоремасындағы сияқты, үздіксіз бейнелеулердің қарапайым бейнелеулерге қатысты мінез-құлқысын қарапайымдау үшін.
Лефшецтің тұрақты нүкте теоремасы
Лефшец саны үздіксіз функцияның түрақты нүктелеріне ие болуын анықтау үшін пайдалы құрал болып табылады. Бұл деректер келесідей есептеледі: Егер және - шекті үшбұрыттауға ие болатын топологиялық кеңістіктер болса, онда үздіксіз бейнелеу өрістегі коэффициенттері бар олардың қарапайым гомологиялық топтары арасында гомоморфизмдерді тудырады. Бұл векторлық кеңістіктер арасындағы сызықтық бейнелеулер, сондықтан олардың іздерін анықтауға болады және олардың кезектесетін қосындысы Лефшец саны деп аталады. Егер , онда бұл сан Эйлер сипаттамасы болып табылады. Түрақты нүкте теоремасы былай гласит: егер , онда -ның түрақты нүктесі болады. Дәлелдемеде бұл алдымен қарапайым бейнелеулер үшін көрсетіледі, содан кейін жуықтау теоремасы арқылы кез келген үздіксіз функциялар үшін жалпыланады. Брауэрдің түрақты нүкте теоремасы – бұл мәлімдеменің ерекше жағдайы. Егер - бірлік шардың эндоморфизмі болса, онда оның барлық гомологиялық топтары жоғалады, ал ол әрқашан сәйкестікке тең болады, сондықтан , демек, -ның түрақты нүктесі бар.
is called the Lefschetz number of If , this number is the Euler characteristic of The fixpoint theorem states that whenever , has a fixed point. In the proof this is first shown only for simplicial maps and then generalized for any continuous functions via the approximation theorem. Now, Brouwer's fixpoint theorem is a special case of this statement. Let is an endomorphism of the unit ball. For all its homology groups vanish, and is always the identity, so , so has a fixpoint.
Қалтадан шығару
Қатынас гомологиялық топтарды анықтау үшін эксизия қолданылуы мүмкін. Ол кейбір жағдайларда топологиялық кеңістіктердің гомологиялық топтары үшін кіші жиынтықтарды естен шығаруға және осылайша оларды есептеуді жеңілдетуге мүмкіндік береді:
Топологиялық кеңістік болсын және оның кіші жиынтықтары болсын, мұнда жабық, сонда инклюзия барлық үшін изоморфизмді тудырады.
Тағы да, сингулярлы гомологияда, олардың бейнесі теоремада аталған кіші жиынтықтың құрамына кірмейтін карталар кездесуі мүмкін. Ондай жағдайларда оларды барицентрлік бөлініс арқылы алынған кіші симплекстердің бейнелерінің қосындысы ретінде қарастыруға болады.