Фрэнсис Лоувер: Американ математигі, категория теориясының қайта жаратушысы

Кіріспе

Америкалық математик (1937–2023)

Фрэнсис Уильям Ловер (/l//ɔː/'/v//ɪər/; 1937 жылдың 9 ақпаны – 2023 жылдың 23 қаңтары) – категориялар теориясы, топос теориясы және математика философиясы саласындағы еңбектерімен танымал американдық математик.

Өмірбаян

Лоувир Клиффорд Трусделлдің студенті ретінде континуум механикасын оқыды. Ол категория теориясын Трусделлдің функционалдық талдау курсын оқытып жүргенде, Джон Л. Келлидің "Жалпы топология" оқулығындағы бір мәселе арқылы білді. Лоувир бұл теорияны Трусделл мен Уолтер Ноллдың физикалық идеялары үшін қарапайым және қатаң аксиомалар құруға мүмкіндік беретін перспективті құрал деп санады. Трусделл 1960 жылы Лоувирдің Колумбия университетінде категория теориясын негіздеуші Сэмюэл Эйленбергпен оқуын жалғастыруға арналған өтінішін қолдады.

Жұмыс

Ловер 1963 жылы Эйленбергпен бірге Колумбия университетінде философия докторы ғылымын қорғады. Оның диссертациясы алгебралық теориялардың семантикасы үшін негіз ретінде Санаттар санатын енгізді. 1964–1967 жылдары Цюрихтегі ЭТХ-дағы математика институтында Санаттар санаты бойынша жұмыс істеді және әсіресе Пьер Габриэльдің Обервольфахтағы семинары Гротендиктің алгебралық геометрияның негіздеріне үлкен әсер етті. Содан кейін ол Чикаго университетінде Мак Лейнмен, ал Нью-Йорк қаласы университетінің (CUNY) Алекс Хеллермен бірге жұмыс істеді. Лоувирдің Чикагодағы категориялық динамика бойынша лекциялары тоpos теориясына қарай жасалған кезекті қадам болды, ал CUNY-дегі гипердоктриналар туралы лекциялары, әсіресе 1963 жылы экзистенциалды және әмбебап кванторларды қосымша функторлардың ерекше жағдайлары ретінде сипаттау мүмкіндігін пайдаланып, жоғары категориялық логиканы дамытуға ықпал етті. 1968–69 жылдары Цюрихке оралғанда ол topos-тар үшін Гротендиктің topos-тарының тұжырымдамасын жалпылайтын элементар (бірінші реттік) аксиомаларды ұсынды (topos теориясының тарихын қараңыз) және алгебралық тополог Майлс Тиернимен бірге жұмыс істеді. Тиерни Гротендиктің «топологияларын» сипаттауда маңызды жеңілдетулерді тапты. Андерс Кок кейіннен topos-ты карта кеңістігі мен субобъект ұғымдары бейнеленетін өнімдер мен теңестірушілермен жабдықталған сана ретінде сипаттауға мүмкіндік беретін қосымша жеңілдетулерді тапты. Ловер Гротендик топологиясын субобъект өкілінің эндоморфизмі ретінде толық сипаттауға болатынын көрсетті, ал Тиерни оның қанағаттандыруы керек шарттардың тек идемпотенция және шекті қиылыстардың сақталуы екенін дәлелдеді. Бұл «топологиялар» алгебралық геометрияда да, модель теориясында да маңызды, өйткені олар бушақ санаттары ретінде субtopos-тарды анықтайды. 1969 жылы Дальхаузи университеті 15 Киллам стипендиясын алған зерттеушілерден тұратын топ құрды, бірақ 1971 жылы бұл топ таратылды. Ловер саяси көзқарастары үшін, мысалы, 1970 жылы Соғыс шараларын қолдануға қарсы болғаны және рұқсатсыз математика тарихын оқытқаны үшін сынға іріккен. Бірақ 1995 жылы Дальхаузиде Ловер мен Сондерс Мак Лейннің қатысуымен категориялар теориясының 50 жылдығы тойланды. Ловер Италияның Перуджа қаласында семинар өткізді (1972–1974) және әртүрлі байытылған категориялармен жұмыс істеді. Мысалы, метрикалық кеңістік байытылған категория ретінде қарастырылуы мүмкін. 1974 жылдан 2000 жылға дейін зейнетке шыққанға дейін Буффало университетінде математика профессоры болды, көбінесе Стивен Шэнуэлмен бірлесіп жұмыс істеді. 1977 жылы ол бес жылға математика профессоры болып сайланды, бұл 1982 жылы «Континуум физикасындағы категориялар» тақырыбында конференция өткізуге мүмкіндік берді. Клиффорд Трусделл осы конференцияға қатысты, сондай-ақ континуум физикасының рационалдық негіздері және Лоувирдің категориялық динамика бағдарламасының кеңістіктік бөлігінен дамыған синтетикалық дифференциалдық геометрия саласындағы басқа да бірнеше зерттеушілер қатысты. Ловер физикалық идеялардың қажетсіз аналитикалық күрделіліктерден арылған, қатаң және икемді негізін табуға арналған 50 жылдық ізденісін жалғастырды. Ол Буффалода математика профессоры және философияның профессоры болды.

Lawvere completed his Ph. D at Columbia in 1963 with Eilenberg. His dissertation introduced the Category of Categories as a framework for the semantics of algebraic theories. During 1964–1967 at the Forschungsinstitut für Mathematik at the ETH in Zürich he worked on the Category of Categories and was especially influenced by Pierre Gabriel's seminars at Oberwolfach on Grothendieck's foundation of algebraic geometry. He then taught at the University of Chicago, working with Mac Lane, and at the City University of New York Graduate Center (CUNY), working with Alex Heller. Lawvere's Chicago lectures on categorical dynamics were a further step toward topos theory and his CUNY lectures on hyperdoctrines advanced categorical logic especially using his 1963 discovery that existential and universal quantifiers can be characterized as special cases of adjoint functors. Back in Zürich for 1968–69 he proposed elementary (first order) axioms for toposes generalizing the concept of the Grothendieck topos (see history of topos theory) and worked with the algebraic topologist Myles Tierney to clarify and apply this theory. Tierney discovered major simplifications in the description of Grothendieck "topologies". Anders Kock later found further simplifications so that a topos can be described as a category with products and equalizers in which the notions of map space and subobject are representable. Lawvere had pointed out that a Grothendieck topology can be entirely described as an endomorphism of the subobject representor, and Tierney showed that the conditions it needs to satisfy are just idempotence and the preservation of finite intersections. These "topologies" are important in both algebraic geometry and model theory because they determine the subtoposes as sheaf categories. Dalhousie University in 1969 set up a group of 15 Killam supported researchers with Lawvere at the head; but in 1971 it terminated the group. Lawvere was controversial for his political opinions, for example, his opposition to the 1970 use of the War Measures Act, and for teaching the history of mathematics without permission. But in 1995 Dalhousie hosted the celebration of 50 years of category theory with Lawvere and Saunders Mac Lane present. Lawvere ran a seminar in Perugia, Italy (1972–1974) and especially worked on various kinds of enriched category. For example, a metric space can be regarded as an enriched category. From 1974 until his retirement in 2000 he was professor of mathematics at University at Buffalo, often collaborating with Stephen Schanuel. In 1977 he was elected to the Martin professorship in mathematics for five years, which made possible the meeting on "Categories in Continuum Physics" in 1982. Clifford Truesdell participated in that meeting, as did several other researchers in the rational foundations of continuum physics and in the synthetic differential geometry that had evolved from the spatial part of Lawvere's categorical dynamics program. Lawvere continued to work on his 50 year quest for a rigorous flexible base for physical ideas, free of unnecessary analytic complications. He was professor emeritus of mathematics and adjunct professor emeritus of philosophy at Buffalo.

Таңдалған кітаптар

1986 Тұрақты физикадағы санаттар (Бәффало, Нью-Йорк, 1982), Лоувер және Стивен Х. Шэнуэл редакциялаған (Лоувердің кіріспесімен 1–16 б.), Springer Lecture Notes in Mathematics 1174; электрондық кітап.
2003 (2002) Математикаға арналған жиынтар (Роберт Розбромен бірге). Кембридж университеті баспасы.
2009 Концептуалды математика: Категорияларға алғашқы кіріспе (Стивен Х. Шэнуэлмен бірге). Кембридж университеті баспасы, 2-ші басылым; 1997 ж. қағаздық басылым.