Фрэнсис Лоувер: Жизнь и вклад в теорию категорий

Введение

Американский математик (1937–2023)

Фрэнсис Уильям Ловер (Francis William Lawvere; 9 февраля 1937 – 23 января 2023) – американский математик, известный своими работами в области теории категорий, теории топосов и философии математики.

Биография

Лоувир изучал механику континуума в качестве студента у Клиффорда Трусделла. Он познакомился с теорией категорий, преподавая курс по функциональному анализу для Трусделла, а именно, благодаря задаче из учебника Джона Л. Келли "Общая топология". Лоувир увидел в ней перспективную основу для простых и строгих аксиом, выражающих физические идеи Трусделла и Уолтера Нолла. Трусделл поддержал кандидатуру Лоувера для дальнейшего обучения у Сэмюэля Эйленберга, одного из основателей теории категорий, в Колумбийском университете в 1960 году.

Работа

Лоувир завершил докторскую степень в Колумбийском университете в 1963 году под руководством Эйленберга. Его диссертация представила Категорию категорий как основу для семантики алгебраических теорий. В 1964–1967 годах в Forschungsinstitut für Mathematik при ETH в Цюрихе он работал над Категорией категорий и особенно испытал влияние семинаров Пьера Габриэля в Обервольфахе, посвященных основам алгебраической геометрии Гротендика. Затем он преподавал в Чикагском университете, работая с Мак Лейном, и в Graduate Center Городского университета Нью-Йорка (CUNY), работая с Алексом Хеллером. Чикагские лекции Лоувера по категорической динамике стали дальнейшим шагом к теории топосов, а его лекции в CUNY по гипердоктринам продвинули категорическую логику, особенно благодаря его открытию 1963 года о том, что экзистенциальные и универсальные квантификаторы можно охарактеризовать как частные случаи адъюнктных функторов. Вернувшись в Цюрих в 1968–69 годах, он предложил элементарные (первого порядка) аксиомы для топосов, обобщающие понятие топоса Гротендика (см. историю теории топосов), и работал с алгебраическим топологом Майлзом Тирни, чтобы уточнить и применить эту теорию. Тирни обнаружил существенные упрощения в описании "топологий" Гротендика. Позже Андерс Кок нашел дополнительные упрощения, благодаря которым топос можно описать как категорию с произведениями и эквалайзерами, в которой понятия пространства отображений и подобъекта представимы. Лоувир указал, что топологию Гротендика можно полностью описать как эндоморфизм представителя подобъекта, а Тирни показал, что условия, которым она должна удовлетворять, — это просто идемпотентность и сохранение конечных пересечений. Эти "топологии" важны как в алгебраической геометрии, так и в теории моделей, поскольку они определяют подтопосы как категории расслоений. В 1969 году в Университете Далхаузи была создана группа из 15 исследователей, финансируемых фондом Киллама, во главе с Лоувером, но в 1971 году группа была расформирована. Лоувир вызывал споры из-за своих политических взглядов, например, из-за его оппозиции использованию Закона о военных мерах в 1970 году, и из-за преподавания истории математики без разрешения. Однако в 1995 году Университет Далхаузи организовал празднование 50-летия теории категорий с участием Лоувера и Со́ндерса Мак Лейна. Лоувир руководил семинаром в Перудже, Италия (1972–1974), и особенно занимался различными видами обогащенных категорий. Например, метрическое пространство можно рассматривать как обогащенную категорию. С 1974 года до выхода на пенсию в 2000 году он был профессором математики в Университете Буффало, часто сотрудничая со Стивеном Шануэлем. В 1977 году он был избран на должность профессора Мартина по математике сроком на пять лет, что позволило провести конференцию «Категории в физике континуума» в 1982 году. В этой конференции участвовал Клиффорд Трусделл, а также несколько других исследователей, занимающихся рациональными основами физики континуума и синтетической дифференциальной геометрией, которая развилась из пространственной части программы Лоувера по категорической динамике. Лоувир продолжал работать над своим пятидесятилетним поиском строгой и гибкой основы для физических идей, свободной от ненужных аналитических сложностей. Он был профессором математики в отставке и адъюнкт-профессором философии в Университете Буффало.

Lawvere completed his Ph. D at Columbia in 1963 with Eilenberg. His dissertation introduced the Category of Categories as a framework for the semantics of algebraic theories. During 1964–1967 at the Forschungsinstitut für Mathematik at the ETH in Zürich he worked on the Category of Categories and was especially influenced by Pierre Gabriel's seminars at Oberwolfach on Grothendieck's foundation of algebraic geometry. He then taught at the University of Chicago, working with Mac Lane, and at the City University of New York Graduate Center (CUNY), working with Alex Heller. Lawvere's Chicago lectures on categorical dynamics were a further step toward topos theory and his CUNY lectures on hyperdoctrines advanced categorical logic especially using his 1963 discovery that existential and universal quantifiers can be characterized as special cases of adjoint functors. Back in Zürich for 1968–69 he proposed elementary (first order) axioms for toposes generalizing the concept of the Grothendieck topos (see history of topos theory) and worked with the algebraic topologist Myles Tierney to clarify and apply this theory. Tierney discovered major simplifications in the description of Grothendieck "topologies". Anders Kock later found further simplifications so that a topos can be described as a category with products and equalizers in which the notions of map space and subobject are representable. Lawvere had pointed out that a Grothendieck topology can be entirely described as an endomorphism of the subobject representor, and Tierney showed that the conditions it needs to satisfy are just idempotence and the preservation of finite intersections. These "topologies" are important in both algebraic geometry and model theory because they determine the subtoposes as sheaf categories. Dalhousie University in 1969 set up a group of 15 Killam supported researchers with Lawvere at the head; but in 1971 it terminated the group. Lawvere was controversial for his political opinions, for example, his opposition to the 1970 use of the War Measures Act, and for teaching the history of mathematics without permission. But in 1995 Dalhousie hosted the celebration of 50 years of category theory with Lawvere and Saunders Mac Lane present. Lawvere ran a seminar in Perugia, Italy (1972–1974) and especially worked on various kinds of enriched category. For example, a metric space can be regarded as an enriched category. From 1974 until his retirement in 2000 he was professor of mathematics at University at Buffalo, often collaborating with Stephen Schanuel. In 1977 he was elected to the Martin professorship in mathematics for five years, which made possible the meeting on "Categories in Continuum Physics" in 1982. Clifford Truesdell participated in that meeting, as did several other researchers in the rational foundations of continuum physics and in the synthetic differential geometry that had evolved from the spatial part of Lawvere's categorical dynamics program. Lawvere continued to work on his 50 year quest for a rigorous flexible base for physical ideas, free of unnecessary analytic complications. He was professor emeritus of mathematics and adjunct professor emeritus of philosophy at Buffalo.

Избранные книги

1986 Категории в физике континуума (Буффало, Н. Й. 1982), под редакцией Лоувера и Стивена Х. Шануэля (со введением Лоувера, с. 1–16), Springer Lecture Notes in Mathematics 1174; электронная книга.
2003 (2002) Sets for Mathematics (с Робертом Розбро). Издательство Кембриджского университета. 2009 Концептуальная математика: первое введение в теорию категорий (с Стивеном Х. Шануэлем). Издательство Кембриджского университета, 2-е издание; мягкая обложка, 1997 год.