Кіріспе
Тригонометриялық көпмүшелермен интерполяция. Математикада тригонометриялық интерполяция – тригонометриялық көпмүшелермен интерполяция. Интерполяция – берілген деректер нүктелері арқылы өтетін функцияны табу процесі. Тригонометриялық интерполяция үшін бұл функция тригонометриялық көпмүше болуы керек, яғни белгілі периодтардың синустары мен косинустарының қосындысы. Бұл форма, әсіресе, периодты функцияларды интерполяциялауға өте ыңғайлы. Ерекше жағдай – берілген деректер нүктелері тең аралықта орналасқан болса, онда шешім дискретті Фурье түрлендірмесі арқылы беріледі.
In mathematics, trigonometric interpolation is interpolation with trigonometric polynomials. Interpolation is the process of finding a function which goes through some given data points. For trigonometric interpolation, this function has to be a trigonometric polynomial, that is, a sum of sines and cosines of given periods. This form is especially suited for interpolation of periodic functions. An important special case is when the given data points are equally spaced, in which case the solution is given by the discrete Fourier transform.
Мәселені шешу
Жоғарыда көрсетілген шарттар бойынша, егер деректер нүктелерінің саны N, полиномдағы коэффициенттер санынан аспаса, яғни N ≤ 2K + 1 болса, кез келген берілген {xk, yk} деректер жиынтығы үшін мәселенің шешімі бар. (Егер N > 2K + 1 болса, шешім болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін, бұл нақты деректер жиынтығына байланысты). Сонымен қатар, интерполяциялық полином тек қана реттелетін коэффициенттердің саны деректер нүктелерінің санына тең болғанда ғана бірегей болады, яғни N = 2K + 1. Осы мақаланың қалған бөлігінде осы шарт орындалатынын қарастырамыз.
Тең қашықтықтағы тораптар
Мәселені одан әрі жеңілдетуге болады, егер түйіндер тең қашықтықта орналасса, яғни.
Толық мәліметтер үшін Зигмундқа жүгініңіз.
Дискретті Фурье трансформациясымен байланысы
Хn нүктелері тең аралықта орналасқан ерекше жағдай ерекше маңызды. Бұл жағдайда, деректер нүктелерін yn коэффициенттерге ak, bk түрлендіретін өңдеу дискретті Фурье түрлендіруінен (DFT) N ретімен алынады. (Жоғарыда мәселені қалай қойғанымызға байланысты, біз нүктелердің тақ санымен шектелдік. Бұл міндетті емес; нүктелердің жұп саны үшін Найквист жиілігіне сәйкес келетін қосымша косинус мүшесі қосылады.) Нүктелер жұп симметрияға ие болғанда тригонометриялық интерполяцияға сәйкес келетін, тең аралықтағы нүктелер үшін косинус интерполяциясының жағдайы 1754 жылы Алексис Клеро тарапынан зерттелді. Бұл жағдайдағы шешім дискретті косинус түрлендіруімен тең. Тең аралықтағы нүктелер үшін синус кеңеюі, тақ симметрияға сәйкес келетін, 1762 жылы Жозеф Луи Лагранж шешті, ондағы шешім дискретті синус түрлендіруі болып табылады. DFT-ге әкелетін толық косинус және синус интерполяциялық көпмүшесі 1805 жылы Карл Фридрих Гаусс жарияланбаған жұмыста шешілді, сол кезде ол оны жылдам бағалау үшін жылдам Фурье түрлендіру алгоритмін де жасады. Клеро, Лагранж және Гаусс планеталардың, астероидтардың орбиталарын бақылау нүктелерінің шектеулі жиынтығынан анықтау мәселесін зерттеді; орбиталардың периодтық болуына байланысты тригонометриялық интерполяция табиғи таңдау болды. Сондай-ақ қараңыз: Heideman et al. (1984).
The transformation that maps the data points yn to the coefficients ak, bk is obtained from the discrete Fourier transform (DFT) of order N.
(Because of the way the problem was formulated above, we have restricted ourselves to odd numbers of points. This is not strictly necessary; for even numbers of points, one includes another cosine term corresponding to the Nyquist frequency.) The case of the cosine only interpolation for equally spaced points, corresponding to a trigonometric interpolation when the points have even symmetry, was treated by Alexis Clairaut in 1754. In this case the solution is equivalent to a discrete cosine transform. The sine only expansion for equally spaced points, corresponding to odd symmetry, was solved by Joseph Louis Lagrange in 1762, for which the solution is a discrete sine transform. The full cosine and sine interpolating polynomial, which gives rise to the DFT, was solved by Carl Friedrich Gauss in unpublished work around 1805, at which point he also derived a fast Fourier transform algorithm to evaluate it rapidly. Clairaut, Lagrange, and Gauss were all concerned with studying the problem of inferring the orbit of planets, asteroids, etc., from a finite set of observation points; since the orbits are periodic, a trigonometric interpolation was a natural choice. See also Heideman et al. (1984).
Сандық есептеудегі қолданбалар
Chebfun – функциялармен жұмыс істеуге арналған MATLAB-та жазылған толыққанды интеграцияланған бағдарламалық жүйе. Ол периодты функциялармен жұмыс істеу үшін тригонометриялық интерполяцияны және Фурье кеңейтулерін пайдаланады. Chebfun-да тригонометриялық интерполяцияға қатысты көптеген алгоритмдер дайын күйде бар; бірнеше мысалдар осы жерде қолжетімді.