Введение
Интерполяция тригонометрическими многочленами. В математике тригонометрическая интерполяция — это интерполяция с использованием тригонометрических многочленов. Интерполяция — это процесс нахождения функции, проходящей через заданные точки данных. Для тригонометрической интерполяции эта функция должна представлять собой тригонометрический многочлен, то есть сумму синусов и косинусов с заданными периодами. Эта форма особенно хорошо подходит для интерполяции периодических функций. Важным частным случаем является ситуация, когда заданные точки данных расположены на равном расстоянии друг от друга, в этом случае решение дается дискретным преобразованием Фурье.
In mathematics, trigonometric interpolation is interpolation with trigonometric polynomials. Interpolation is the process of finding a function which goes through some given data points. For trigonometric interpolation, this function has to be a trigonometric polynomial, that is, a sum of sines and cosines of given periods. This form is especially suited for interpolation of periodic functions. An important special case is when the given data points are equally spaced, in which case the solution is given by the discrete Fourier transform.
Решение проблемы
При вышеуказанных условиях существует решение задачи для любого заданного набора точек данных {xk, yk} при условии, что N, количество точек данных, не превышает количество коэффициентов в полиноме, то есть N ≤ 2K + 1 (решение может существовать или не существовать, если N > 2K + 1, в зависимости от конкретного набора точек данных). Более того, интерполирующий полином единственен тогда и только тогда, когда число подгоняемых коэффициентов равно числу точек данных, то есть N = 2K + 1. В дальнейшем в этой статье мы будем исходить из того, что это условие выполняется.
Равноудаленные узлы
Дальнейшее упрощение задачи возможно, если узлы равноудалены, то есть... Подробности см. у Зигмунда.
see Zygmund for more details.
Отношение с дискретной трансформацией Фурье
Особенно важен частный случай, когда точки xn расположены равномерно. В этом случае мы имеем преобразование, отображающее точки данных yn в коэффициенты ak, bk, которое получается из дискретного преобразования Фурье (ДПФ) порядка N.
The transformation that maps the data points yn to the coefficients ak, bk is obtained from the discrete Fourier transform (DFT) of order N.
(Because of the way the problem was formulated above, we have restricted ourselves to odd numbers of points. This is not strictly necessary; for even numbers of points, one includes another cosine term corresponding to the Nyquist frequency.) The case of the cosine only interpolation for equally spaced points, corresponding to a trigonometric interpolation when the points have even symmetry, was treated by Alexis Clairaut in 1754. In this case the solution is equivalent to a discrete cosine transform. The sine only expansion for equally spaced points, corresponding to odd symmetry, was solved by Joseph Louis Lagrange in 1762, for which the solution is a discrete sine transform. The full cosine and sine interpolating polynomial, which gives rise to the DFT, was solved by Carl Friedrich Gauss in unpublished work around 1805, at which point he also derived a fast Fourier transform algorithm to evaluate it rapidly. Clairaut, Lagrange, and Gauss were all concerned with studying the problem of inferring the orbit of planets, asteroids, etc., from a finite set of observation points; since the orbits are periodic, a trigonometric interpolation was a natural choice. See also Heideman et al. (1984).
(В силу того, как была сформулирована задача выше, мы ограничили себя нечетным числом точек. Это не является строго необходимым; для четного числа точек добавляется дополнительный косинусный член, соответствующий частоте Найквиста.) Случай интерполяции только косинусами для равномерно расположенных точек, соответствующий тригонометрической интерполяции при четной симметрии точек, был рассмотрен Алексисом Клеро в 1754 году. В этом случае решение эквивалентно дискретному преобразованию косинуса. Синусоидальное разложение для равномерно расположенных точек, соответствующее нечетной симметрии, было решено Жозефом Луи Лагранжем в 1762 году, при этом решение представляет собой дискретное преобразование синуса. Полный интерполирующий полином, содержащий косинусы и синусы, приводящий к ДПФ, был решен Карлом Фридрихом Гауссом в неопубликованной работе около 1805 года, когда он также разработал алгоритм быстрого преобразования Фурье для его быстрого вычисления. Клеро, Лагранж и Гаусс были заняты изучением задачи определения орбит планет, астероидов и т. д. по конечному набору точек наблюдения; поскольку орбиты периодичны, тригонометрическая интерполяция была естественным выбором. См. также Heideman et al. (1984).
The transformation that maps the data points yn to the coefficients ak, bk is obtained from the discrete Fourier transform (DFT) of order N.
(Because of the way the problem was formulated above, we have restricted ourselves to odd numbers of points. This is not strictly necessary; for even numbers of points, one includes another cosine term corresponding to the Nyquist frequency.) The case of the cosine only interpolation for equally spaced points, corresponding to a trigonometric interpolation when the points have even symmetry, was treated by Alexis Clairaut in 1754. In this case the solution is equivalent to a discrete cosine transform. The sine only expansion for equally spaced points, corresponding to odd symmetry, was solved by Joseph Louis Lagrange in 1762, for which the solution is a discrete sine transform. The full cosine and sine interpolating polynomial, which gives rise to the DFT, was solved by Carl Friedrich Gauss in unpublished work around 1805, at which point he also derived a fast Fourier transform algorithm to evaluate it rapidly. Clairaut, Lagrange, and Gauss were all concerned with studying the problem of inferring the orbit of planets, asteroids, etc., from a finite set of observation points; since the orbits are periodic, a trigonometric interpolation was a natural choice. See also Heideman et al. (1984).
Приложения в цифровых вычислениях
Chebfun – это полностью интегрированная программная система, написанная на MATLAB для работы с функциями, использующая тригонометрическую интерполяцию и разложения Фурье для вычислений с периодическими функциями. В Chebfun легко доступны многие алгоритмы, связанные с тригонометрической интерполяцией; несколько примеров можно найти здесь.