Кіріспе
+1-дің қосымша квадрат түбірімен толықтырылған нақты сандар. Алгебрада, бөлінген кешенді сан (немесе гиперболалық сан, сондай-ақ, қиын сан, екі сан) j гиперболалық бірлік арқылы анықталады. Бөлінген кешенді санның екі нақты сан компоненті бар: x және y, және оны z деп жазады. z-дің түйіндесі болып табылады. Егер болса, онда сан z-дің түйіндесімен көбейтіндісі изотропты квадраттық форма болады. Барлық бөлінген кешенді сандардың D жиыны, x, y ∈ ℝ үшін, нақты сандар өрісі арқылы алгебра құрайды. W және z екі бөлінген кешенді санның wz көбейтіндісі бар, ол N-нің алгебралық көбейтіндісімен құрастырылған, бұл (D, +, ×, *) құрастырмалы алгебраны құрайды. \R^2 және компоненттік амалдар бойынша қосу және көбейтудің ұқсас алгебрасы (\R^2, +, ×, xy), мұндағы xy – \R^2-дегі квадраттық форма, сондай-ақ квадраттық кеңістік құрайды. Сақиналық изоморфизм пропорционалды квадраттық формаларды байланыстырады, бірақ бейнелеу изометрия емес, өйткені \R^2-нің көбейту бірлігі (1, 1) 0-ден \sqrt{2} қашықтықта орналасқан, ал D-де ол нормаланған. Бөлінген кешенді сандардың көптеген басқа да атаулары бар; төмендегіге қараңыз. Бөлінген кешенді санның функциялары үшін "Моторлық айнымалы" мақаласын қараңыз.
In algebra, a split complex number (or hyperbolic number, also perplex number, double number) is based on a hyperbolic unit j satisfying A split complex number has two real number components x and y, and is written The conjugate of z is Since the product of a number z with its conjugate is an isotropic quadratic form. The collection D of all split complex numbers for x,y \in \R forms an algebra over the field of real numbers. Two split complex numbers w and z have a product wz that satisfies This composition of N over the algebra product makes (D, +, ×, *) a composition algebra. A similar algebra based on \R^2 and component wise operations of addition and multiplication, (\R^2, +, \times, xy), where xy is the quadratic form on \R^2, also forms a quadratic space. The ring isomorphism
relates proportional quadratic forms, but the mapping is not an isometry since the multiplicative identity (1, 1) of \R^2 is at a distance \sqrt 2 from 0, which is normalized in D.
Split complex numbers have many other names; see below. See the article Motor variable for functions of a split complex number.
Тарих
Бөлшекті кешенді сандарды қолдану 1848 жылға дейін жетеді, ол кезде Джеймс Кокль өзінің тессариінін ашты. Уильям Кингдон Клиффорд айналымдардың қосындысын көрсету үшін бөлшекті кешенді сандарды пайдаланды. Клиффорд қазір бөлшекті бикватерниондар деп аталатын кватернион алгебрасында коэффициенттер ретінде бөлшекті кешенді сандарды пайдалануды енгізді. Ол элементтерін "мотор" деп атады, бұл термин шеңбер тобынан алынған қарапайым кешенді санның "ротор" әрекетімен салыстырылады. Аналогияны кеңейте келе, мотор айнымалысының функциялары қарапайым кешенді айнымалысының функцияларынан өзгеше болады. ХХ ғасырдың соңынан бері бөлшекті кешенді көбейту кеңістік-уақыт жазықтығының Лоренц күшейтуі ретінде қарастырылып келеді. Бұл модельде 1=z = x + y j саны кеңістік-уақыт жазықтығындағы оқиғаны білдіреді, мұнда x наносекундтармен, ал y Мерминнің футтарымен өлшенеді. Келешек оқиғалар квадрантына сәйкес келеді, онда бөлшекті кешенді полярлық жіктелу бар. Модель z жылдамдық анықтамалық жүйесіне кіру және ρ наносекунд күту арқылы бастапқы нүктеге жетуге болатынын көрсетеді. Бірлік гиперболасындағы көбейтуді көрсететін бөлшекті кешенді теңдеу, коллинеарлық жылдамдықтар үшін жылдамдықтардың қосылуын көрсетеді. Оқиғалардың бір мезгілділігі a жылдамдығына байланысты; a жылдамдығы бар анықтамалық жүйеде бастапқы нүктемен бір мезгілде болатын оқиғалар сызығы. Егер каноникалық оқиғалар exp(aj) және j exp(aj) гиперболалық ортогоналды және шығу тегімен бір мезгілде болатын оқиғалар j exp(aj) пропорционалды болатын анықтамалық жүйенің осьтерінде жатса, екі оқиға z және w гиперболалық ортогоналды болады. 1933 жылы Макс Зорн бөлшекті октониондарды қолданып, композициялық алгебраның қасиетін атап өтті. Ол бөліну алгебрасын жасау үшін қолданылатын Кейли-Диксон құрылымын басқа композициялық алгебраларды, соның ішінде бөлшекті октониондарды құру үшін (гамма, γ факторымен) өзгертуге болатынын түсінді. Оның инновациясын Адриан Альберт, Ричард Д. Шафер және басқалар жалғастырды. Гамма факторы, 'R' базалық өріс ретінде, композициялық алгебра ретінде бөлшекті кешенді сандарды құрайды. Альберттің математикалық шолуларға жасаған шолуында Н. Х. Маккой "Кейли-Диксон алгебраларын жалпылайтын F үстінде 2e реттік жаңа алгебралардың енгізілуі" деп жазды. 1=F = 'R' және 1=e = 1 деп есептегенде, бұл мақаланың алгебрасына сәйкес келеді. 1935 жылы J. C. Vignaux және A. Durañona y Vedia бөлшекті кешенді геометриялық алгебраны және функция теориясын Contribución a las Ciencias Físicas y Matemáticas, La Plata Ұлттық университеті, República Argentina (испан тілінде) атты төрт мақалада дамытты. Бұл түсіндірмелік және оқу-әдістемелік эсселер тақырыпты кеңінен бағалауға мүмкіндік берді. 1941 жылы Э. Ф. Аллен үшбұрыштың тоғыз нүктелі гиперболасын анықтау үшін бөлшекті кешенді геометриялық арифметиканы қолданды. 1956 жылы Миццислав Вармус "Польша ғылым академиясының бюллетенінде" "Жақындаулар есебі" атты мақаласын жариялады (қараңыз Сілтемелер). Ол екі алгебралық жүйені жасады, олардың әрқайсысын "шамамен сандар" деп атады, екіншісі нақты алгебраны құрайды. Д. Х. Лемер мақаланы "Математикалық шолуларда" қарастырып, осы екінші жүйе осы мақаланың тақырыбы "гиперболалық кешенді" сандарға изоморфты екенін байқады. 1961 жылы Вармус өзінің баяндамасын жалғастырып, шамамен санның құрамдас бөліктерін аралықтың ортасы және радиусы ретінде сипаттады.
expressing products on the unit hyperbola illustrates the additivity of rapidities for collinear velocities. Simultaneity of events depends on rapidity a;
is the line of events simultaneous with the origin in the frame of reference with rapidity a. Two events z and w are hyperbolic orthogonal when Canonical events exp(aj) and j exp(aj) are hyperbolic orthogonal and lie on the axes of a frame of reference in which the events simultaneous with the origin are proportional to j exp(aj). In 1933 Max Zorn was using the split octonions and noted the composition algebra property. He realized that the Cayley–Dickson construction, used to generate division algebras, could be modified (with a factor gamma, γ) to construct other composition algebras including the split octonions. His innovation was perpetuated by Adrian Albert, Richard D. Schafer, and others. The gamma factor, with 'R' as base field, builds split complex numbers as a composition algebra. Reviewing Albert for Mathematical Reviews, N. H. McCoy wrote that there was an "introduction of some new algebras of order 2e over F generalizing Cayley–Dickson algebras." Taking 1=F = 'R' and 1=e = 1 corresponds to the algebra of this article. In 1935 J. C. Vignaux and A. Durañona y Vedia developed the split complex geometric algebra and function theory in four articles in Contribución a las Ciencias Físicas y Matemáticas, National University of La Plata, República Argentina (in Spanish). These expository and pedagogical essays presented the subject for broad appreciation. In 1941 E. F. Allen used the split complex geometric arithmetic to establish the nine point hyperbola of a triangle inscribed in
In 1956 Mieczyslaw Warmus published "Calculus of Approximations" in Bulletin de l’Académie polonaise des sciences (see link in References). He developed two algebraic systems, each of which he called "approximate numbers", the second of which forms a real algebra. D. H. Lehmer reviewed the article in Mathematical Reviews and observed that this second system was isomorphic to the "hyperbolic complex" numbers, the subject of this article. In 1961 Warmus continued his exposition, referring to the components of an approximate number as midpoint and radius of the interval denoted.