Введение
Реальные числа с добавленным квадратным корнем из +1.
In algebra, a split complex number (or hyperbolic number, also perplex number, double number) is based on a hyperbolic unit j satisfying A split complex number has two real number components x and y, and is written The conjugate of z is Since the product of a number z with its conjugate is an isotropic quadratic form. The collection D of all split complex numbers for x,y \in \R forms an algebra over the field of real numbers. Two split complex numbers w and z have a product wz that satisfies This composition of N over the algebra product makes (D, +, ×, *) a composition algebra. A similar algebra based on \R^2 and component wise operations of addition and multiplication, (\R^2, +, \times, xy), where xy is the quadratic form on \R^2, also forms a quadratic space. The ring isomorphism
relates proportional quadratic forms, but the mapping is not an isometry since the multiplicative identity (1, 1) of \R^2 is at a distance \sqrt 2 from 0, which is normalized in D.
Split complex numbers have many other names; see below. See the article Motor variable for functions of a split complex number.
В алгебре, разделенное комплексное число (или гиперболическое число, также называемое числом Перплекс, двойное число) основано на гиперболической единице j, удовлетворяющей условию Разделенное комплексное число имеет два компонента – действительные числа x и y, и записывается как Сопряженное к z число равно Поскольку произведение числа z на его сопряженное является изотропной квадратичной формой. Множество D всех разделенных комплексных чисел для x, y ∈ ℝ образует алгебру над полем действительных чисел. Два разделенных комплексных числа w и z имеют произведение wz, которое удовлетворяет Эта композиция N относительно операции умножения в алгебре делает (D, +, ×, *) композиционной алгеброй. Аналогичная алгебра, основанная на ℝ² и поэлементных операциях сложения и умножения, (ℝ², +, ×, xy), где xy – квадратичная форма на ℝ², также образует квадратическое пространство. Изоморфизм колец связывает пропорциональные квадратичные формы, но отображение не является изометрией, поскольку мультипликативная единица (1, 1) в ℝ² находится на расстоянии √2 от 0, что нормализовано в D.
In algebra, a split complex number (or hyperbolic number, also perplex number, double number) is based on a hyperbolic unit j satisfying A split complex number has two real number components x and y, and is written The conjugate of z is Since the product of a number z with its conjugate is an isotropic quadratic form. The collection D of all split complex numbers for x,y \in \R forms an algebra over the field of real numbers. Two split complex numbers w and z have a product wz that satisfies This composition of N over the algebra product makes (D, +, ×, *) a composition algebra. A similar algebra based on \R^2 and component wise operations of addition and multiplication, (\R^2, +, \times, xy), where xy is the quadratic form on \R^2, also forms a quadratic space. The ring isomorphism
relates proportional quadratic forms, but the mapping is not an isometry since the multiplicative identity (1, 1) of \R^2 is at a distance \sqrt 2 from 0, which is normalized in D.
Split complex numbers have many other names; see below. See the article Motor variable for functions of a split complex number.
Разделенные комплексные числа имеют множество других названий; см. ниже. См. статью «Моторная переменная для функций разделенного комплексного числа».
In algebra, a split complex number (or hyperbolic number, also perplex number, double number) is based on a hyperbolic unit j satisfying A split complex number has two real number components x and y, and is written The conjugate of z is Since the product of a number z with its conjugate is an isotropic quadratic form. The collection D of all split complex numbers for x,y \in \R forms an algebra over the field of real numbers. Two split complex numbers w and z have a product wz that satisfies This composition of N over the algebra product makes (D, +, ×, *) a composition algebra. A similar algebra based on \R^2 and component wise operations of addition and multiplication, (\R^2, +, \times, xy), where xy is the quadratic form on \R^2, also forms a quadratic space. The ring isomorphism
relates proportional quadratic forms, but the mapping is not an isometry since the multiplicative identity (1, 1) of \R^2 is at a distance \sqrt 2 from 0, which is normalized in D.
Split complex numbers have many other names; see below. See the article Motor variable for functions of a split complex number.
История
Использование расщеплённых комплексных чисел восходит к 1848 году, когда Джеймс Кокль представил свои тессарины. Уильям Кингдон Клиффорд использовал расщеплённые комплексные числа для представления сумм спинов. Клиффорд ввёл использование расщеплённых комплексных чисел в качестве коэффициентов в кватернионной алгебре, теперь называемой расщеплёнными бикватернионами. Он назвал элементы этой алгебры «двигателями», в параллель с действием «ротора» обычного комплексного числа, взятого из круговой группы. Развивая аналогию, функции переменной типа «двигатель» контрастируют с функциями обычной комплексной переменной. С конца двадцатого века расщеплённое комплексное умножение часто рассматривается как преобразование Лоренца плоскости пространства-времени. В этой модели число z = x + yj представляет событие в пространственно-временной плоскости, где x измеряется в наносекундах, а y – в футах Мермина. Будущее соответствует квадранту событий, обладающему расщеплённым комплексным полярным разложением. Модель утверждает, что точку z можно достичь из начала координат, войдя в систему отсчёта с быстротой a и ожидая ρ наносекунд. Расщеплённое комплексное уравнение, выражающее произведение на единичной гиперболе, иллюстрирует аддитивность быстрот для коллинеарных скоростей. Одновременность событий зависит от быстроты a; является линией событий, одновременных с началом координат в системе отсчёта с быстротой a. Два события z и w гиперболически ортогональны, когда канонические события exp(aj) и j exp(aj) гиперболически ортогональны и лежат на осях системы отсчёта, в которой события, одновременные с началом координат, пропорциональны j exp(aj). В 1933 году Макс Зорн использовал расщеплённые октонионы и отметил свойство алгебры композиции. Он понял, что построение Кэли-Диксона, используемое для генерации алгебр деления, можно модифицировать (с коэффициентом гамма, γ) для построения других алгебр композиции, включая расщеплённые октонионы. Его новаторство было продолжено Адрианом Альбертом, Ричардом Д. Шафером и другими. Коэффициент гамма, с 'R' в качестве базового поля, строит расщеплённые комплексные числа как алгебру композиции. В рецензии на работу Альберта для Mathematical Reviews, Н. Х. Маккой написал, что было «введено несколько новых алгебр порядка 2e над F, обобщающих алгебры Кэли-Диксона». Принятие 1=F = 'R' и 1=e = 1 соответствует алгебре, рассматриваемой в данной статье. В 1935 году J. C. Vignaux и A. Durañona y Vedia разработали расщеплённую комплексную геометрическую алгебру и теорию функций в четырёх статьях, опубликованных в Contribución a las Ciencias Físicas y Matemáticas, Национальном университете Ла-Платы, Республика Аргентина (на испанском языке). Эти пояснительные и педагогические эссе представили предмет для широкого понимания. В 1941 году Э. Ф. Аллен использовал расщеплённую комплексную геометрическую арифметику для установления девятиточечной гиперболы треугольника, вписанного в окружность. В 1956 году Мечислав Вармус опубликовал «Исчисление приближений» в Bulletin de l’Académie polonaise des sciences (см. ссылку в разделе «Ссылки»). Он разработал две алгебраические системы, каждую из которых он назвал «приблизительными числами», вторая из которых образует вещественную алгебру. Д. Х. Лемер рассмотрел статью в Mathematical Reviews и отметил, что эта вторая система изоморфна «гиперболическим комплексным» числам, предмету данной статьи. В 1961 году Вармус продолжил своё изложение, ссылаясь на компоненты приблизительного числа как на середину и радиус интервала.
expressing products on the unit hyperbola illustrates the additivity of rapidities for collinear velocities. Simultaneity of events depends on rapidity a;
is the line of events simultaneous with the origin in the frame of reference with rapidity a. Two events z and w are hyperbolic orthogonal when Canonical events exp(aj) and j exp(aj) are hyperbolic orthogonal and lie on the axes of a frame of reference in which the events simultaneous with the origin are proportional to j exp(aj). In 1933 Max Zorn was using the split octonions and noted the composition algebra property. He realized that the Cayley–Dickson construction, used to generate division algebras, could be modified (with a factor gamma, γ) to construct other composition algebras including the split octonions. His innovation was perpetuated by Adrian Albert, Richard D. Schafer, and others. The gamma factor, with 'R' as base field, builds split complex numbers as a composition algebra. Reviewing Albert for Mathematical Reviews, N. H. McCoy wrote that there was an "introduction of some new algebras of order 2e over F generalizing Cayley–Dickson algebras." Taking 1=F = 'R' and 1=e = 1 corresponds to the algebra of this article. In 1935 J. C. Vignaux and A. Durañona y Vedia developed the split complex geometric algebra and function theory in four articles in Contribución a las Ciencias Físicas y Matemáticas, National University of La Plata, República Argentina (in Spanish). These expository and pedagogical essays presented the subject for broad appreciation. In 1941 E. F. Allen used the split complex geometric arithmetic to establish the nine point hyperbola of a triangle inscribed in
In 1956 Mieczyslaw Warmus published "Calculus of Approximations" in Bulletin de l’Académie polonaise des sciences (see link in References). He developed two algebraic systems, each of which he called "approximate numbers", the second of which forms a real algebra. D. H. Lehmer reviewed the article in Mathematical Reviews and observed that this second system was isomorphic to the "hyperbolic complex" numbers, the subject of this article. In 1961 Warmus continued his exposition, referring to the components of an approximate number as midpoint and radius of the interval denoted.