Кіріспе
Математикада сығымдауға болмайтын бет – 3-өлшемді кеңістікте дұрыс орналасқан бет, яғни интуитивті тұрғыдан қарағанда, қарапайымдастырылмайтын "маңызды" бет. Математикалық емес тұрғыдан алғанда, чемоданның бетін сығымдауға болады, себебі тұтқасын кесіп, оны бетіне кіріктіре аламыз. Ал Конвей сферасы (төрт тесігі бар сфера) сығымдауға болмайды, өйткені түйіннің немесе байланыстың ішкі және сыртқы жағында маңызды бөліктері бар, сондықтан бүкіл түйін немесе байланысты тесікті сфераның бір жағына жылжытуға болмайды. Математикалық анықтамасы былай: екі жағдайды қарастыру керек. Сфераның ішінде де, сыртында да сфераны бір нүктеге дейін қысқаруға және сонымен қатар бүкіл кеңістікті қамтуға дейін кеңейтуге кедергі келтіретін кедергілер болса, онда сфера сығымдауға болмайтын болып табылады. Сферадан басқа бет, егер оның бетіндегі шекарасы бар кез келген диск сол беттегі дискке созылса, сығымдауға болмайтын болып есептеледі. Сығымдауға болмайтын беттер Хакен көптүрліліктерін жіктеуде, қалыпты беттер теориясында және 3-өлшемді кеңістіктердің негізгі топтарын зерттеуде қолданылады.
Ресми анықтама
S тегіс немесе PL 3 көпқабатты M-ге дұрыс енген тығыз бет болсын. D қысылатын дискі M-ге енген диск болып табылады, және қиылысы көлденең болады. Егер ∂D қисығы S ішіндегі дискіні шегермейтін болса, онда D тривиалды емес қысылатын дискі деп аталады. Егер S-де тривиалды емес қысылатын дискі болса, онда біз S-ді M-дегі қысылатын бет деп атаймыз.
and the intersection is transverse. If the curve ∂D does not bound a disk inside of S, then D is called a nontrivial compressing disk. If S has a nontrivial compressing disk, then we call S a compressible surface in M.
If S is neither the 2 sphere nor a compressible surface, then we call the surface (geometrically) incompressible. Note that 2 spheres are excluded since they have no nontrivial compressing disks by the Jordan Schoenflies theorem, and 3 manifolds have abundant embedded 2 spheres. Sometimes one alters the definition so that an incompressible sphere is a 2 sphere embedded in a 3 manifold that does not bound an embedded 3 ball. Such spheres arise exactly when a 3 manifold is not irreducible. Since this notion of incompressibility for a sphere is quite different from the above definition for surfaces, often an incompressible sphere is instead referred to as an essential sphere or a reducing sphere.
Егер S 2 сферасы да, қысылатын бет те болмаса, онда біз бетін (геометриялық) қысылмайтын деп атаймыз. 2 сфералар Джордан-Шоенфлайз теоремасы бойынша тривиалды емес қысылатын дискілері болмағандықтан ескерілмейді, ал 3 көптіктерде 2 сфералар көптеп кездеседі. Кейде анықтама өзгертіліп, қысылмайтын сфера – 3 көпқабатты 3 шарды шегермейтін 3 көпқабатқа енгізілген 2 сфера деп қарастырылады. Мұндай сфералар 3 көпқабатты азайтылмайтын жағдайда ғана пайда болады. Сфераның осы түсінігіндегі қысылмайтындығы жоғарыдағы беттерге қатысты анықтамадан мүлдем өзгеше болғандықтан, қысылмайтын сфераны көбінесе негізгі сфера немесе азайтушы сфера деп атайды.
and the intersection is transverse. If the curve ∂D does not bound a disk inside of S, then D is called a nontrivial compressing disk. If S has a nontrivial compressing disk, then we call S a compressible surface in M.
If S is neither the 2 sphere nor a compressible surface, then we call the surface (geometrically) incompressible. Note that 2 spheres are excluded since they have no nontrivial compressing disks by the Jordan Schoenflies theorem, and 3 manifolds have abundant embedded 2 spheres. Sometimes one alters the definition so that an incompressible sphere is a 2 sphere embedded in a 3 manifold that does not bound an embedded 3 ball. Such spheres arise exactly when a 3 manifold is not irreducible. Since this notion of incompressibility for a sphere is quite different from the above definition for surfaces, often an incompressible sphere is instead referred to as an essential sphere or a reducing sphere.
Алгебралық түрде сығымдауға болмайтын беттер
Сондай-ақ, сығымдылықтың алгебралық түрі бар. Егер S — 3-көптікке кіріктірілген компактты бет болса, онда S π₁-инъективті (немесе алгебралық тұрғыдан сығылмайтын) болады, егер негізгі топтарға шақырған карта инъективті болса. Жалпы, барлық π₁-инъективті беттер сығылмайтын, бірақ кері тұжырым әрқашан рас емес. Мысалы, Lens кеңістігі L(4,1) π₁-инъективті емес, бірақ сығылмайтын Клейн бөтелкесін қамтиды. Дегенмен, егер S екі жақты болса, циклдық теорема Кнезер леммасын білдіреді: егер S сығылмайтын болса, онда ол π₁-инъективті болады.
on fundamental groups is injective. In general, every π1 injective surface is incompressible, but the reverse implication is not always true. For instance, the Lens space L(4,1) contains an incompressible Klein bottle that is not π1 injective. However, if S is two sided, the loop theorem implies Kneser's lemma, that if S is incompressible, then it is π1 injective.
Сейферт беттері
L бағдарланған буыны үшін S Seifert беті – шекарасы L болып табылатын, сол бағдарға ие индукцияланған бағдарланған бет. Егер S, S3 − N(L) -де π1 инъективті болмаса, мұнда N(L) – L-дің түтікше тәрізді жақын аймағы, онда цикл теоремасы S-ді қысуға болатын сығымдау дискісін береді, осы арқылы төмендетілген күрделілікке ие тағы бір Seifert беті пайда болады. Сондықтан, сығылмайтын Seifert беттері бар. Буынның кез келген Seifert беті қысылу арқылы бір-бірімен байланысты, яғни қысылу арқылы туындаған эквиваленттілік қатынасының бір эквиваленттілік класы бар. Қысылудың кері процесі кейде енгізілген доғалық хирургия деп аталады (енгізілген 0 хирургия). Буынның роды – барлық Seifert беттерінің ең төмен родысы. Минималды родыға ие Seifert бетін сығылуға болмайды. Алайда, жалпы жағдайда, сығылмайтын Seifert бетінің роды минималды болмайды, сондықтан тек π1 ғана буынның родын куәландыра алмайды. Gabai, атап айтқанда, родын азайтатын Seifert беті түйіннің толықтығының тар, көлденең бағытталған жапырақтарының бірі екенін дәлелдеді, оны тар тігілген көптік иерархиясымен растауға болады. K түйіні үшін сығылмайтын Seifert беті S берілгенде, S3 − N(K) негізгі тобы π1(S) үстінен HNN кеңейту ретінде бөлінеді, бұл бос топ. π1(S) -ден π1(S3 − N(S)) -ге дейінгі екі бейнелеу, олардың екеуі де инъекция болып табылады.