Введение

В математике не сжимаемая поверхность — это поверхность, корректно вложенная в трёхмерное многообразие, которая, в интуитивном понимании, является "нетривиальной" поверхностью, которую нельзя упростить. Если говорить простым языком, поверхность чемодана сжимаема, поскольку мы можем разрезать ручку и стянуть её на поверхность. Однако сфера Конвея (сфера с четырьмя отверстиями) не сжимаема, потому что внутри и снаружи сферы существуют существенные элементы узла или зацепления, поэтому невозможно переместить весь узел или зацепление на одну сторону проколотой сферы. Математическое определение следующее. Следует рассмотреть два случая. Сфера является не сжимаемой, если как внутри, так и снаружи сферы имеются препятствия, которые не позволяют сжать сферу в точку и не позволяют ей расшириться, чтобы охватить всё пространство. Поверхность, отличная от сферы, является не сжимаемой, если любой диск, граница которого лежит на поверхности, заполняет диск на этой поверхности. Несжимаемые поверхности используются при разложении многообразий Хакена, в теории нормальных поверхностей и при изучении фундаментальных групп трёхмерных многообразий.

Формальное определение

Пусть S — компактная поверхность, правильно вложенная в гладкое или PL 3-многообразие M. Сжимающий диск D — это диск, вложенный в M, такой что

и пересечение является трансверсальным. Если кривая ∂D не ограничивает диск внутри S, то D называется нетривиальным сжимающим диском. Если S имеет нетривиальный сжимающий диск, то мы называем S сжимаемой поверхностью в M.

Если S не является ни 2-сферой, ни сжимаемой поверхностью, то мы называем поверхность (геометрически) несжимаемой. Следует отметить, что 2-сферы исключены, поскольку по теореме Жордана — Шёнфлиса они не имеют нетривиальных сжимающих дисков, а 3-многообразия содержат множество вложенных 2-сфер. Иногда определение изменяется так, что несжимаемая сфера — это 2-сфера, вложенная в 3-многообразие, которая не ограничивает вложенный 3-шар. Такие сферы возникают ровно тогда, когда 3-многообразие не является неприводимым. Поскольку это понятие несжимаемости для сферы существенно отличается от вышеприведенного определения для поверхностей, часто несжимаемую сферу вместо этого называют существенной сферой или уменьшающей сферой.

Алгебраически не сжимаемые поверхности

Существует также алгебраическая версия несжимаемости. Пусть S – правильное вложение компактной поверхности в 3-многообразие. Тогда S называется π1-инъективным (или алгебраически несжимаемым), если индуцированное отображение на фундаментальных группах является инъективным. В общем случае, любая π1-инъективная поверхность несжимаема, но обратное утверждение не всегда верно. Например, пространство Ленса L(4,1) содержит несжимаемую бутылку Кляйна, которая не является π1-инъективной. Однако, если S двусторонняя, то теорема о петлях влечет лемму Кнезера: если S несжимаема, то она π1-инъективна.

Поверхности сейфертов

Поверхность Зейферта S для ориентированного звена L — это ориентированная поверхность, граница которой совпадает с L и имеет ту же индуцированную ориентацию. Если S не является π1-инъективной в S³ − N(L), где N(L) — трубчатая окрестность L, то теорема о петле предоставляет сжимающий диск, который можно использовать для сжатия S, получая другую поверхность Зейферта с уменьшенной сложностью. Следовательно, существуют несжимаемые поверхности Зейферта. Каждая поверхность Зейферта звена связана с любой другой посредством сжатий, в том смысле, что отношение эквивалентности, порожденное сжатиями, имеет единственный класс эквивалентности. Операция, обратная сжатию, иногда называется хирургией по внедренной дуге (внедренной 0-хирургией). Род звена — это минимальный род среди всех поверхностей Зейферта этого звена. Поверхность Зейферта минимального рода несжимаема. Однако, как правило, несжимаемая поверхность Зейферта не обязательно имеет минимальный род, поэтому только π₁ не может однозначно определить род звена. Габай в частности доказал, что поверхность Зейферта, минимизирующая род, является листом некоторого натянутого, поперечно ориентированного расслоения дополнения узла, что может быть подтверждено с помощью натянутой иерархии сшитых многообразий. Если для узла K задана несжимаемая поверхность Зейферта S, то фундаментальная группа S³ − N(K) расщепляется как расширение HNN над π₁(S), которая является свободной группой. Два отображения из π₁(S) в π₁(S³ − N(S)), заданные переносом петель с поверхности в положительную или отрицательную сторону N(S), являются инъекциями.