Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық есеп
Mathematical problem
Квадратты квадраттау – басқа интегралды квадраттарды ғана пайдаланып интегралды квадратты мозаикамен жабу мәселесі. (Интегралды квадрат – қабырғаларының ұзындығы бүтін сан болатын квадрат.) Бұл атау шеңберді квадраттаумен әдемі салыстыру арқылы туындаған. Қосымша шарттар қойылмаса, квадратты квадраттау оңай шаруа. Ең көп зерттелген шектеу – квадраттың толық болуы, яғни кіші квадраттардың өлшемдерінің барлығы әртүрлі болуы. Байланысты мәселе – жазықтықты квадраттау, оны тіпті әрбір табиғи сан мозаикадағы квадраттың мөлшері ретінде бір рет ғана пайда болатындай етіп жасауға болады. Квадратталған квадраттың реті – оны құрайтын квадраттардың саны.
Squaring the square is the problem of tiling an integral square using only other integral squares. (An integral square is a square whose sides have integer length.) The name was coined in a humorous analogy with squaring the circle. Squaring the square is an easy task unless additional conditions are set. The most studied restriction is that the squaring be perfect, meaning the sizes of the smaller squares are all different. A related problem is squaring the plane, which can be done even with the restriction that each natural number occurs exactly once as a size of a square in the tiling. The order of a squared square is its number of constituent squares.
Кемел квадраттар
"Толық" квадрат – кішірек квадраттардың әрқайсысының өлшемдері әртүрлі болатын квадрат. Оны алғаш рет Р. Л. Брукс, К. А. Б. Смит, А. Х. Стоун және В. Т. Тутте (ұжымдық "Бланш Декарт" псевдонимімен жазған) Кембридж университетінде 1936-1938 жылдар аралығында зерттеген. Олар квадратты мозаиканы эквивалентті электрлік схемаға айналдырды – оны "Смит диаграммасы" деп атады – квадраттарды жоғарғы және төменгі жиектерінен көршілеріне қосылған резисторлар ретінде қарастырып, содан кейін Кирхгоффтың схемалық заңдарын және схеманы ыдырату әдістерін осы схемаға қолданды. Олар тапқан алғашқы толық квадраттар 69-ретті болды. 1939 жылы Роланд Спраг 4205 қабырғасы және 55-ретті құрама толық квадратты тапты. Мартин Гарднер 1958 жылғы қарашадағы "Математикалық ойындар" бағанында В. Т. Тутте жазған квадратты квадраттаудың ерте тарихы туралы кең мақала жариялады.
A "perfect" squared square is a square such that each of the smaller squares has a different size. It is first recorded as being studied by R. L. Brooks, C. A. B. Smith, A. H. Stone and W. T. Tutte (writing under the collective pseudonym "Blanche Descartes") at Cambridge University between 1936 and 1938. They transformed the square tiling into an equivalent electrical circuit – they called it a "Smith diagram" – by considering the squares as resistors that connected to their neighbors at their top and bottom edges, and then applied Kirchhoff's circuit laws and circuit decomposition techniques to that circuit. The first perfect squared squares they found were of order 69. The first perfect squared square to be published, a compound one of side 4205 and order 55, was found by Roland Sprague in 1939. Martin Gardner published an extensive article written by W. T. Tutte about the early history of squaring the square in his Mathematical Games column of November 1958.
Қарапайым квадрат квадраттар
"Жай" квадрат – бұл квадраттардың бірінен артық жиынтығы тіктөртбұрыш немесе квадрат құрамайтын, әйтпесе ол "құрама" болып табылады. 1978 жылы де компьютерлік іздеу арқылы 112 қабырғалы ең аз сандағы квадраттардан тұратын жай толық квадратты тапты. Оның мозаикасы 21 квадратты пайдаланады және ең кішкентай екені дәлелденді. Бұл квадрат Троица математикалық қоғамының логотипі болып табылады. Ол сондай-ақ комбинаторлық теория журналының мұқабасында да пайда болды. Дүйвестийн сонымен қатар екі жай 110 қабырғалы толық квадратты тапты, бірақ олардың әрқайсысы 22 квадраттан тұрады. Теофилус Хардинг Уиллкокс, математикаға құмар әуесқой және шахмат композиторы, тағы біреуін тапты. 1999 жылы И. Гамбини осы үш квадраттың қабырға ұзындығы бойынша ең кішкентай толық квадраттар екенін дәлелдеді. Ең аз квадраттан тұратын құрама толық квадратты 1946 жылы Т. Х. Уиллкокс ашқан, ол 24 квадраттан тұрады; алайда, 1982 жылға дейін Дүйвестийн, Паскуале Джозеф Федерико және П. Лиув математикалық тұрғыдан ең төменгі деңгейдегі мысал екенін дәлелдеген жоқ.
A "simple" squared square is one where no subset of more than one of the squares forms a rectangle or square, otherwise it is "compound". In 1978, de discovered a simple perfect squared square of side 112 with the smallest number of squares using a computer search. His tiling uses 21 squares, and has been proved to be minimal. This squared square forms the logo of the Trinity Mathematical Society. It also appears on the cover of the Journal of Combinatorial Theory. Duijvestijn also found two simple perfect squared squares of sides 110 but each comprising 22 squares. Theophilus Harding Willcocks, an amateur mathematician and fairy chess composer, found another. In 1999, I. Gambini proved that these three are the smallest perfect squared squares in terms of side length. The perfect compound squared square with the fewest squares was discovered by T. H. Willcocks in 1946 and has 24 squares; however, it was not until 1982 that Duijvestijn, Pasquale Joseph Federico and P. Leeuw mathematically proved it to be the lowest order example.
Миссис Перкинстің жамылғысы
Барлық квадраттардың әртүрлі өлшемде болу талабы алынғанда, кіші квадраттардың қабырға ұзындықтары 1-ден үлкен ортақ бөлгішке ие болмайтын квадрат "Мисс Перкинс төсеніші" деп аталады. Яғни, кіші қабырғалардың ең үлкен ортақ бөлгіші 1 болуы керек. Мисс Перкинс төсеніші мәселесі берілген квадрат үшін ең аз бөліктен тұратын Мисс Перкинс төсенішін табуды сұрайды. Қажетті бөліктердің саны кем дегенде , ал ең көп дегенде. Компьютерлік іздеулер кіші мәндер үшін (18 бөлікке дейін қажет болатындықтан жеткілікті кіші) нақты шешімдер тапты. мәні үшін қажетті бөліктер саны:
When the constraint of all the squares being different sizes is relaxed, a squared square such that the side lengths of the smaller squares do not have a common divisor larger than 1 is called a "Mrs. Perkins's quilt". In other words, the greatest common divisor of all the smaller side lengths should be 1. The Mrs. Perkins's quilt problem asks for a Mrs. Perkins's quilt with the fewest pieces for a given square. The number of pieces required is at least , and at most Computer searches have found exact solutions for small values of (small enough to need up to 18 pieces). For the number of pieces required is:
Ұшақты квадраттау
1975 жылы Соломон Голомб бүкіл жазықтықты әрбір бүтін санның қабырға ұзындығы бар квадраттармен қаптауға бола ма деген сұрақ қойды, оны ол әртүрлі квадраттармен қаптау болжамы деп атады. Бұл мәселені кейін Мартин Гарднер Scientific American журналындағы бағанында жариялады және бірнеше кітапта пайда болды, бірақ ол 30 жылдан астам уақыт бойы шешілмей келді. 1987 жылы жарық көрген «Қаптаулар мен үлгілер» кітабында Бранко Грунбаум мен Г.С. Шепард сол кездегі барлық белгілі жазықтықтың толық интегралды қаптауларында квадраттардың мөлшері экспоненциалды түрде өсетінін мәлімдеді. Мысалы, жазықтықты әртүрлі интегралды квадраттармен, бірақ кез келген бүтін сан үшін емес, қаптауға болады, кез келген толық квадратты рекурсивті түрде алып, оны кеңейту арқылы, бұрынғы ең кішкентай плитканың бастапқы квадраттың мөлшеріне ие болуы мүмкін, содан кейін бұл плитканы бастапқы квадраттың көшірмесімен ауыстыруға болады. 2008 жылы Джеймс Хенле мен Фредерик Хенле бұл, шындығында, орындалатынын дәлелдеді. Олардың дәлелі конструктивті және екі тікбұрышты, қатар тұрған және көлденеңінен бір-бірімен сәйкес келетін, әртүрлі мөлшердегі квадраттардан құралған L пішіндес аймақты «көбейте» отырып, үлкен тікбұрышты аймақтың толық қаптауын жасап, содан кейін әлі қолданылмаған ең кішкентай мөлшердегі квадратты қосып, басқа, үлкен L пішіндес аймақ алу арқылы жүзеге асырылады. Көбейту процедурасы кезінде қосылған квадраттардың мөлшері құрылыста әлі пайда болмаған, ал процедура нәтижесінде тікбұрышты аймақтар барлық төрт бағытта кеңейеді, бұл бүкіл жазықтықтың қаптауын қамтамасыз етеді.
In 1975, Solomon Golomb raised the question whether the whole plane can be tiled by squares, one of each integer edge length, which he called the heterogeneous tiling conjecture. This problem was later publicized by Martin Gardner in his Scientific American column and appeared in several books, but it defied solution for over 30 years. In Tilings and patterns, published in 1987, Branko Grünbaum and G. C. Shephard stated that in all perfect integral tilings of the plane known at that time, the sizes of the squares grew exponentially. For example, the plane can be tiled with different integral squares, but not for every integer, by recursively taking any perfect squared square and enlarging it so that the formerly smallest tile now has the size of the original squared square, then replacing this tile with a copy of the original squared square. In 2008 James Henle and Frederick Henle proved that this, in fact, can be done. Their proof is constructive and proceeds by "puffing up" an L shaped region formed by two side by side and horizontally flush squares of different sizes to a perfect tiling of a larger rectangular region, then adjoining the square of the smallest size not yet used to get another, larger L shaped region. The squares added during the puffing up procedure have sizes that have not yet appeared in the construction and the procedure is set up so that the resulting rectangular regions are expanding in all four directions, which leads to a tiling of the whole plane.
Күштілік
Кубты кубтау – бұл үш өлшемде квадратты квадраттаудың аналогы: яғни, C кубі берілген болса, оны шекті сандағы кіші кубтарға бөлу мәселесі, екі бірдей куб болмауы керек. Квадратты квадраттаудан айырмашылығы, бұл қиын, бірақ шешілетін мәселе, толық кубталған куб жоқ және, жалпы алғанда, тікбұрышты кубоидты C-ді шекті сандағы тең емес кубтарға бөлу мүмкін емес. Мұны дәлелдеу үшін келесі тұжырыммен бастаймыз: тіктөртбұрышты квадраттарға толық бөлшектеу үшін, осы бөлшектемедегі ең кіші квадрат тіктөртбұрыштың қабырғасында жатпайды. Шындығында, әр бұрыштық квадратта кішірек іргелес қабырғалық квадрат болады, ал ең кіші қабырғалық квадрат қабырғада емес, кішірек квадраттарға іргелес жатады. Енді тікбұрышты кубоидты кубтарға толық бөлдік деп есептейік. C-нің бір жағын көлденең негіз деп есептейік. Негіз кубтардың үстіне орналасуы арқылы толық тіктөртбұрышты R-ге бөлінеді. R-дегі ең кіші s1 квадратын үлкен, демек, жоғарырақ кубтар қоршап тұрады. Сондықтан s1 квадратының үстіңгі жағы оған тірелген кубтар арқылы толық квадратқа бөлінеді. s2 осы бөліністің ең кіші квадраты болсын. Жоғарыда айтылған тұжырым бойынша, бұл барлық 4 жағынан s2-ден үлкен және демек, жоғарырақ квадраттармен қоршалған. s1, s2 квадраттарының тізбегі шексіз, ал сәйкес келетін кубтардың саны да шексіз. Бұл біздің бастапқы болжамымызға қайшы келеді. Егер 4 өлшемді гиперкубты толық гиперкубтауға болатын болса, онда оның "жақтары" толық кубталған кубтар болар еді; бұл мүмкін емес. Сол сияқты, жоғары өлшемді барлық кубтар үшін де шешім жоқ.
Cubing the cube is the analogue in three dimensions of squaring the square: that is, given a cube C, the problem of dividing it into finitely many smaller cubes, no two congruent. Unlike the case of squaring the square, a hard yet solvable problem, there is no perfect cubed cube and, more generally, no dissection of a rectangular cuboid C into a finite number of unequal cubes. To prove this, we start with the following claim: for any perfect dissection of a rectangle in squares, the smallest square in this dissection does not lie on an edge of the rectangle. Indeed, each corner square has a smaller adjacent edge square, and the smallest edge square is adjacent to smaller squares not on the edge. Now suppose that there is a perfect dissection of a rectangular cuboid in cubes. Make a face of C its horizontal base. The base is divided into a perfect squared rectangle R by the cubes which rest on it. The smallest square s1 in R is surrounded by larger, and therefore higher, cubes. Hence the upper face of the cube on s1 is divided into a perfect squared square by the cubes which rest on it. Let s2 be the smallest square in this dissection. By the claim above, this is surrounded on all 4 sides by squares which are larger than s2 and therefore higher. The sequence of squares s1, s2, is infinite and the corresponding cubes are infinite in number. This contradicts our original supposition. If a 4 dimensional hypercube could be perfectly hypercubed then its 'faces' would be perfect cubed cubes; this is impossible. Similarly, there is no solution for all cubes of higher dimensions.