Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Квадраттардан құралған жазықтық фракталы
Plane fractal built from squares
Сиерпинский кілемі – Вацлав Сиерпинский 1916 жылы алғаш сипаттаған жазықтық фракталы. Кілем – Кантор жиынының екі өлшемді жалпыламасы; осыған ұқсас тағы бір жалпылама – Кантор шаңы. Пішіннің кішірек көшірмелеріне бөлінуі, бір немесе бірнеше көшірмелерді жою және рекурсивті түрде жалғастыру әдісі басқа пішіндерге де қолданылуы мүмкін. Мысалы, теңқабыршалы үшбұрышты төрт теңқабыршалы үшбұрышқа бөлу, ортаңғы үшбұрышты жою және қайталау Сиерпинский үшбұрышын тудырады. Үш өлшемде кубтарға негізделген ұқсас құрылым Менгер губкасы деп аталады.
The Sierpiński carpet is a plane fractal first described by Wacław Sierpiński in 1916. The carpet is a generalization of the Cantor set to two dimensions; another such generalization is the Cantor dust. The technique of subdividing a shape into smaller copies of itself, removing one or more copies, and continuing recursively can be extended to other shapes. For instance, subdividing an equilateral triangle into four equilateral triangles, removing the middle triangle, and recursing leads to the Sierpiński triangle. In three dimensions, a similar construction based on cubes is known as the Menger sponge.
Құрылыс
Sierpiński кілемінің құрылысы шаршыдан басталады. Шаршы 3х3 торда 9 тең субквадратқа бөлінеді, содан кейін орталық субквадрат алынып тасталады. Осы процедура қалған 8 субквадратқа рекурсивті түрде, шексіз қайталанады. Бұл, бірлік шаршыдағы нүктелер жиыны ретінде жүзеге асырылуы мүмкін, олардың үштік санау жүйесінде жазылған координаттарында бірдей разрядта '1' саны болмайды, шексіз шағын сандық өрнектеуді пайдалана отырып. Субквадраттарды рекурсивті жою процесі – шекті бөліну ережесінің мысалы.
The construction of the Sierpiński carpet begins with a square. The square is cut into 9 congruent subsquares in a 3 by 3 grid, and the central subsquare is removed. The same procedure is then applied recursively to the remaining 8 subsquares, ad infinitum. It can be realised as the set of points in the unit square whose coordinates written in base three do not both have a digit '1' in the same position, using the infinitesimal number representation of
The process of recursively removing squares is an example of a finite subdivision rule.
Сиерпинский кілеміндегі Браун қозғалысы
Сиерпинский кілеміндегі Браун қозғалысы тақырыбы соңғы жылдары қызығушылық тудырды. Мартин Барлоу мен Ричард Басс Серпинский кілеміндегі кездейсоқ жүрудің, жазықтықтағы шектеусіз кездейсоқ жүруге қарағанда, баяурақ таралатынын көрсетті. Соңғысы n қадамнан кейін пропорционалды орташа қашықтыққа жетеді, ал дискретті Сиерпинский кілеміндегі кездейсоқ жүріс тек β > 2 үшін пропорционалды орташа қашықтыққа ғана жетеді. Олар сондай-ақ бұл кездейсоқ жүріс күшті үлкен ауытқу теңсіздіктерін (сонымен қатар "суб-Гаусс теңсіздіктері" деп аталады) қанағаттандыратындығын, және параболалық теңсіздікті қанағаттандырмай, эллиптік Харнак теңсіздігін қанағаттандыратындығын көрсетті. Мұндай мысалдың болуы көп жылдар бойы шешілмеген мәселе болып келді.
The topic of Brownian motion on the Sierpiński carpet has attracted interest in recent years. Martin Barlow and Richard Bass have shown that a random walk on the Sierpiński carpet diffuses at a slower rate than an unrestricted random walk in the plane. The latter reaches a mean distance proportional to after n steps, but the random walk on the discrete Sierpiński carpet reaches only a mean distance proportional to for some β > 2. They also showed that this random walk satisfies stronger large deviation inequalities (so called "sub Gaussian inequalities") and that it satisfies the elliptic Harnack inequality without satisfying the parabolic one. The existence of such an example was an open problem for many years.
Валлис сырға
Сиерпинский кілемінің Валлис ілгісі деп аталатын түрі де осылай басталады: бірлік шаршы тоғыз кіші шаршыға бөлінеді және олардың ортасы алынып тасталады. Келесі деңгейде әр шаршы 25 кіші шаршыға бөлініп, ортаңғысы алынып тасталады. Ал i-ші қадамда әр шаршы (2i + 1)^2 (тақ шаршылар) кіші шаршыларға бөлініп, ортаңғысы алынып тасталады. Валлис көбейтіндісі бойынша, нәтижедегі жиынның ауданы , стандартты Сиерпинский кілемінен айырмашылығы, оның шектік ауданы нөлге тең. Валлис ілгісінің оң Лебег өлшемі болғанымен, екі нақты сан жиынының декарт көбейтіндісі болып табылатын ешбір ішкі жиынның мұндай қасиеті жоқ, сондықтан оның Жордан өлшемі нөлді құрайды.
A variation of the Sierpiński carpet, called the Wallis sieve, starts in the same way, by subdividing the unit square into nine smaller squares and removing the middle of them. At the next level of subdivision, it subdivides each of the squares into 25 smaller squares and removes the middle one, and it continues at the ith step by subdividing each square into (2i + 1)^(2) (the odd squares) smaller squares and removing the middle one. By the Wallis product, the area of the resulting set is , unlike the standard Sierpiński carpet which has zero limiting area. Although the Wallis sieve has positive Lebesgue measure, no subset that is a Cartesian product of two sets of real numbers has this property, so its Jordan measure is zero.
Қолданбалар
Мобильді телефондар мен Wi-Fi үшін фракталды антенналар Sierpiński кілемінің бірнеше итерациясы түрінде жасалған. Өз-өзіне ұқсастығы мен масштабтық өзгермейтіндігінің арқасында, олар бірнеше жиіліктің қабылдануын жеңілдетеді. Сонымен қатар, оларды өндіру оңай және олар бірдей өнімділікке ие конвенциялық антенналардан кішірек болғандықтан, қалтаға сыятын мобильді телефондар үшін ең қолайлы.
Mobile phone and Wi Fi fractal antennas have been produced in the form of few iterations of the Sierpiński carpet. Due to their self similarity and scale invariance, they easily accommodate multiple frequencies. They are also easy to fabricate and smaller than conventional antennas of similar performance, thus being optimal for pocket sized mobile phones.