Кіріспе

Фрактал үшбұрыштардан құралған.

Сиерпинский үшбұрышы (кейде Сиерпински деп те жазылады), сондай-ақ Сиерпинский тығыздауы немесе Сиерпинский ілекі деп аталады, – бұл теңқабырлы үшбұрыш пішіндес фракталдық тартымды тұрақты жиын, ол рекурсивті түрде кішірек теңқабырлы үшбұрыштарға бөлінеді. Алғашқыда қисық ретінде құрастырылған, бұл өзіне ұқсас жиынтардың негізгі мысалы болып табылады, яғни ол кез келген ұлғайту немесе кішірейту кезінде қайта жаңаратын математикалық үлгі. Ол поляк математигі Вацлав Сиерпинскийдің құрметіне аталған, бірақ Сиерпинскийдің жұмысынан көп ғасыр бұрын әсемдік үлгісі ретінде пайда болған.

Құрылыстар

Серпинский үшбұрышын салудың көптеген әртүрлі тәсілдері бар.

Ұялы автоматтар

Сирпинский үшбұрышы кейбір жасушалық автоматтарда да (мысалы, 90-қағидасында) кездеседі, оның ішінде Конвейдің "Өмір ойынына" қатысты автоматтарда. Мысалы, "Өмірге" ұқсас жасушалық автомат B1/S12 бір жасушаға қолданғанда, Сирпинский үшбұрышының төрт жуықтайтын нұсқасын жасайды. Стандартты "Өмірде" өте ұзын, бір жасуша қалыңдығындағы сызық екі көрінетін Сирпинский үшбұрысын құрайды. Жасушалық автоматтағы көбейгіш үлгісінің уақыт-кеңістік диаграммасы да көбінесе Сирпинский үшбұрысына ұқсайды, мысалы, HighLife-тегі кең таралған көбейгіштікіне ұқсайды. Сирпинский үшбұрышы Улам Уорбертон автоматында және Хекс Улам Уорбертон автоматында да табылады.

Паскаль үшбұрышы

Егер Паскаль үшбұрышын қатарлармен алсақ және жұп сандарды ақ, ал тақ сандарды қара түске боясақ, нәтиже Серпинский үшбұрышына жуықтайды. Дәлірек айтқанда, n шексізге жақындағандағы осы теңдік түстес қатар Паскаль үшбұрышының лимиті – Серпинский үшбұрышы. Қара сандардың үлесі n-нің артуымен нөлге жақындасқандықтан, биномдық коэффициенттердің тақтарының үлесі де n шексізге жақындағанда нөлге жақындасады.

Ханой мұнаралары

Ханой мұнарасы жұмбағында әртүрлі өлшемдегі дискілерді үш тіреудің арасында жылжыту қажет, бірақ ешбір диск кішірек дискінің үстіне қойылмауы тиіс. n дискілі жұмбақтың күйлері және бір күйден екінші күйге рұқсат етілген қозғалыстар бағытталмаған графты, яғни Ханой графын құрайды. Бұл графты геометриялық тұрғыдан Сиерпинский үшбұрышының құрылысындағы n-ші қадамнан кейін қалған үшбұрыштар жиынының қиылысу графы ретінде бейнелеуге болады. Осылайша, n шексіздікке ұмтылғанда, осы графтар тізбегін Сиерпинский үшбұрышының дискретті аналогы деп түсіндіруге болады.

Қасиеттері

Бүтін сан өлшемдер үшін, нысанның қабырғасын екі еселеген кезде, оның көшірмелері пайда болады, яғни 1 өлшемді нысан үшін 2 көшірме, 2 өлшемді нысан үшін 4 көшірме және 3 өлшемді нысан үшін 8 көшірме. Сиерпинский үшбұрышы үшін, оның қабырғасын екі еселеу өзінің 3 көшірмесін жасайды. Осылайша, Сиерпинский үшбұрышының Хаусдорф өлшемі бар, бұл теңдеуді шешу арқылы анықталады. Сиерпинский үшбұрышының ауданы нөлге тең (Лебег өлшемі бойынша). Әр итерациядан кейін қалған аудан, алдыңғы итерациядағы ауданның бөлігін құрайды, ал шексіз итерациялар саны ауданның нөлге жақындауына әкеледі. Сиерпинский үшбұрышының нүктелері барицентрлік координаттарда қарапайым сипаттамаға ие. Егер нүктенің барицентрлік координаттары екілік сан түрінде берілген болса, онда бұл нүкте Сиерпинский үшбұрышында болады, егер және тек барлық үшін орындалса.

Басқа модульдерге жалпылау

Егер басқа модуль қолданылса, Паскаль үшбұрышын пайдалана отырып, Серпинский үшбұрышының жалпылануын да жасауға болады. Итерация Паскаль үшбұрышының қатарларындағы сандарды олардың мәнінің модулі бойынша бояу арқылы жасалады. Модуль шексіздікке жақындағанда фрактал пайда болады. Осы фракталды үшбұрышты ұқсас үшбұрыштардан құралған мозаикаға бөлу арқылы және бастапқы үшбұрыштан кері қараған үшбұрыштарды алып тастау арқылы, содан кейін әрбір кіші үшбұрыш үшін осы қадамды қайталау арқылы да жасауға болады. Керісінше, фракталды үшбұрыштан бастап, оны көшіру және жаңа фигураларды бұрынғы фигуралардың төбелері жанасқан үлкен, ұқсас үшбұрышқа бірдей бағытта орналастыру арқылы да жасауға болады, содан кейін осы қадамды қайталауға болады.

Жоғары өлшемдегі аналогтар

Сиерпинский тетраэдрі немесе тетрикс – Сиерпинский үшбұрышының үш өлшемді аналогы, ол тұрақты тетраэдрді бастапқы биіктігінің жартысына дейін қайта-қайта кішірету арқылы, бұрыштары жанасатын осы тетраэдрдің төрт көшірмесін біріктіріп, процесті қайталау арқылы құралады. Бөлшектік ұзындығы *a* болатын бастапқы тетраэдрден құралған тетристің жалпы бет ауданы әр итерация сайын тұрақты болып қалатын қасиеті бар. (Итерация 0) тетраэдрдің *a* бүйір ұзындығындағы бастапқы бет ауданы *A* болады. Келесі итерация *a/2* бүйір ұзындығы бар төрт көшірмеден тұрады, сондықтан жалпы ауданы қайтадан *A* болады. Кейінгі итерациялар көшірмелердің санын төрт есеге арттырып, жақтың ұзындығын жартысына дейін кішірейтеді, осылайша жалпы аумақты сақтайды. Осы уақытта құрылыстың көлемі әр қадам сайын екі есеге азаяды, сондықтан нөлге жақындап келеді. Бұл процестің лимиті көлем мен бетке ие емес, бірақ Сиерпинский тығыздауы сияқты күрделі байланысқан қисық болып табылады. Оның Хаусдорф өлшемі *D = log(4) / log(2)* тең; мұнда "log" табиғи логарифмді білдіреді, алымы – алдыңғы итерацияның әрбір көшірмесінен құралған пішіннің көшірмелерінің санының логарифмі, ал бөлімі – бұл көшірмелердің алдыңғы итерациядан кішірею факторының логарифмі. Егер барлық нүктелер екі сыртқы жиегіне параллель жазықтықта проекцияланса, олар бір-бірімен жабыспай, *a* бүйір ұзындығы бар шаршыны толығымен толтырады.

Тарих

Вацлав Серпинский 1915 жылы Серпинский үшбұрышын сипаттады. Дегенмен, осыған ұқсас өрнектер 13 ғасырдағы косматеск инкрустациясымен жасалған тас жұмыстарында жиі кездесетін мотив ретінде бұрыннан таралған. Аполлонийлық тығынды алғаш рет Пергалық Аполлоний (б.з.д. 3 ғасыр) сипаттаған, ал одан кейін Готфрид Лейбниц (17 ғасыр) оны талдады. Ол 20 ғасырдағы Серпинский үшбұрышының иілген нұсқасы саналады.

Этимология

"Гаскет" сөзі Sierpiński үшбұрышын атау үшін қолданылады, себебі ол моторларда кездесетін, кейде фрактал сияқты азая түсетін тесіктер тізбегі бар гарнитураларды (прокладкаларды) еске алады. Осы терминді Бенуа Мандельброт енгізген, ол фракталдың "моторлардағы ағып кетуді қалдырмайтын бөлікке" ұқсас екенін ойлаған.