Кіріспе
Топологиялық кеңістіктердің қасиеттері Топологияда топологиялық кеңістік, егер оның топологиясы төменде нақтыланғандай, компактты кеңістіктер арқылы анықталса, компактты түрде туындаған кеңістік немесе k кеңістік деп аталады. Шындығында, мұндай кеңістіктер үшін жалпыға қабылданған бір анықтама жоқ, себебі әртүрлі авторлар бір-біріне толыққанды сәйкес келмейтін анықтамалардың әртүрлі нұсқаларын қолданады. Сондай-ақ, кейбір авторлар бір немесе екі терминнің анықтамасына Хаусдорф кеңістігі немесе әлсіз Хаусдорф кеңістігі сияқты бірнеше ажырату аксиомасын қосады, ал басқалары қоспайды. Ең қарапайым анықтама бойынша, компактты түрде туындаған кеңістік – бұл оның барлық компактты ішкі кеңістіктерімен үйлесімді кеңістік, яғни кез келген жиын үшін, егер және тек қана егер ол әрбір компактты ішкі кеңістікте ашық болса, онда ол кеңістікте ашық болады. Басқа анықтамалар компактты кеңістіктерден үздіріссіз функциялардың жиынын пайдаланады және кеңістіктің топологиясы осы функциялар жиынына қатысты соңғы топологиямен сәйкес келсе, оны компактты түрде туындаған деп жариялайды. Анықтаманың басқа да нұсқалары компактты кеңістіктерді компактты Хаусдорф кеңістіктерімен алмастырады. Компактты түрде туындаған кеңістіктер топологиялық кеңістіктер санатының кейбір кемшіліктерін жою үшін жасалды. Атап айтқанда, кейбір анықтамалар бойынша, олар әлі де қызығушылық тудыратын кеңістіктерді қамти отырып, декарты жабық санатты құрайды, бұл оларды алгебралық топологияда қолдануға ыңғайлы етеді.
In topology, a topological space is called a compactly generated space or k space if its topology is determined by compact spaces in a manner made precise below. There is in fact no commonly agreed upon definition for such spaces, as different authors use variations of the definition that are not exactly equivalent to each other. Also some authors include some separation axiom (like Hausdorff space or weak Hausdorff space) in the definition of one or both terms, and others don't. In the simplest definition, a compactly generated space is a space that is coherent with the family of its compact subspaces, meaning that for every set is open in if and only if is open in for every compact subspace Other definitions use a family of continuous maps from compact spaces to and declare to be compactly generated if its topology coincides with the final topology with respect to this family of maps. And other variations of the definition replace compact spaces with compact Hausdorff spaces. Compactly generated spaces were developed to remedy some of the shortcomings of the category of topological spaces. In particular, under some of the definitions, they form a cartesian closed category while still containing the typical spaces of interest, which makes them convenient for use in algebraic topology.
Мотивация
Компактты түрде құрылған кеңістіктер бастапқыда неміс сөзі "kompakt" бойынша k кеңістіктер деп аталды. Оларды Хюревич зерттеді, ал олар туралы Келлидің "Жалпы топология" кітабында, Дугунджидің "Топология" кітабында, сондай-ақ Феликс, Халперин және Томас еңбегінің "Рационалды гомотопия теориясы" кітабында мәліметтер кездеседі. Оларды терең зерттеуге түрткіс болған нәрсе – 1960 жылдары топологиялық кеңістіктердің әдеттегі санатының мәлім кемшіліктері болды. Бұл санат картезиялық жабық санат бола алмайды, идентификациялық бейнелердің әдеттегі картезиялық көбейтіндісі әрқашан идентификациялық бейне болып табылмайды, ал CW кешендерінің әдеттегі көбейтіндісі міндетті түрде CW кешені болуы керек емес. Керісінше, симплициалды жиынтар санаты көптеген ыңғайлы қасиеттерге ие болды, оның ішінде картезиялық жабық болу қасиеті де бар. Бұл жағдайды түзету тарихы орынның ыңғайлы санаттары туралы nLab мақаласында келтірілген. Осы жағдайды түзету бойынша алғашқы ұсыныс (1962 ж.) – өзін компактты түрде құрылған Хаусдорф кеңістіктерінің толық кіші санатымен шектеу, ол, шын мәнінде, картезиялық жабық. Бұл идеялар де Вристің дуалдық теоремасына негізделген. Экспоненциалдық объектінің анықтамасы төменде берілген. Тағы бір ұсыныс (1964 ж.) – әдеттегі Хаусдорф кеңістіктерін қарастыру, бірақ тығыз жиынтықтарда үздіксіз функцияларды қолдану болды. Бұл идеялар Хаусдорф емес жағдайға да қатысты, яғни компактты түрде құрылған кеңістіктердің басқаша анықтамасымен. Бұл пайдалы, себебі Хаусдорф кеңістіктерінің идентификациялық кеңістіктері міндетті түрде Хаусдорф бола бермейді. Қазіргі алгебралық топологияда бұл қасиет көбінесе әлсіз Хаусдорф қасиетімен біріктіріледі, сондықтан CGWH санатында – компактты түрде құрылған әлсіз Хаусдорф кеңістіктерінде жұмыс жүргізіледі.
Қасиеттері
(CG 1, CG 2, CG 3 аббревиатураларының мағынасын Мысалдар бөлімінен қараңыз.)
Ішкі кеңістіктер
Қалыңдықпен құрылған кеңістіктің кіші кеңістіктері, жалпы жағдайда, тіпті Хаусдорф жағдайында да қалыңдықпен құрылмайды. Мысалы, бірінші санауға келмейтін ординал болатын ординал кеңістігі, компактты Хаусдорф болып табылады, демек, қалыңдықпен құрылған. Оның барлық шекті ординалдар алынып тасталғаннан басқа кіші кеңістігі Фортиссимо кеңістігіне изоморфты, ол қалыңдықпен құрылмайды (Мысалдар бөлімінде айтылғандай, ол тығыздыққа қарсы және дискретті емес). Тағы бір мысал – Аренс кеңістігі, ол тізбекті Хаусдорфтық, демек, қалыңдықпен құрылған. Ол өзінің кіші кеңістігі ретінде Аренс Форт кеңістігін қамтиды, ол қалыңдықпен құрылмайды. CG 1 кеңістігінде әрбір жабық жиын CG 1 болып табылады. Бірақ бұл ашық жиындарға қатысты дұрыс емес. Мысалы, Мысалдар бөлімінде көрсетілгендей, CG 1 емес, бірақ олар бірнүктелік тығыздалуында ашық болатын, яғни CG 1 болатын көптеген кеңістіктер бар. CG 2 кеңістігінде әрбір жабық жиын CG 2 болып табылады; сондай-ақ әрбір ашық жиын да (өйткені, кейбір жергілікті тығыз Хаусдорф кеңістігі үшін үлестік бейнелеу бар, ал ашық жиын үшін оның шектеуі жергілікті тығыз Хаусдорф кеңістігінде де үлестік бейнелеу болып табылады). Бұл, жалпы алғанда, әрбір жергілікті жабық жиын үшін де дұрыс, яғни ашық жиын мен жабық жиынның қиылысы үшін де. CG 3 кеңістігінде әрбір жабық жиын CG 3 болып табылады.
Квотиенттер
Топологиялық кеңістіктер отбасының ажыратылған бірлестігі CG 1 болса және тек қана егер әрбір кеңістік CG 1 болса. Осыған сәйкес мәлімдемелер CG 2 және CG 3 үшін де орындалады. CG 1 кеңістігінің үлестік кеңістігі CG 1 болып табылады. Атап айтқанда, әлсіз жергілікті ықшам кеңістіктің кез келген үлестік кеңістігі CG 1 болып табылады. Керісінше, әрбір CG 1 кеңістігі – әлсіз жергілікті ықшам кеңістіктің үлестік кеңістігі болып табылады, оны CG 1 кеңістіктерінің ықшам ішкі кеңістіктерінің ажыратылған бірлестігі ретінде қарастыруға болады. CG 2 кеңістігінің үлестік кеңістігі CG 2 болып табылады. Атап айтқанда, жергілікті ықшам Хаусдорф кеңістігінің кез келген үлестік кеңістігі CG 2 болып табылады. Керісінше, әрбір CG 2 кеңістігі – жергілікті ықшам Хаусдорф кеңістігінің үлестік кеңістігі болып табылады. CG 3 кеңістігінің үлестік кеңістігі, жалпы жағдайда, CG 3 емес. Шындығында, әрбір CG 2 кеңістігі CG 3 кеңістігінің (яғни, кейбір жергілікті ықшам Хаусдорф кеңістігінің) үлестік кеңістігі болып табылады; бірақ CG 3 емес CG 2 кеңістіктері де бар. Мысал ретінде, Сиерпински кеңістігі CG 3 емес, бірақ бір нүктеге сәйкестендіру арқылы алынған ықшам аралықтың үлестік кеңістігіне гомеоморфты. Жалпы алғанда, CG 1 кеңістіктерінен функциялар отбасымен туындаған жиынның кез келген соңғы топологиясы да CG 1 болып табылады. Ал CG 2 үшін де осы айтылады. Бұл жоғарыдағы нәтижелерді ажыратылған бірлестіктер және үлестік кеңістіктер үшін функциялардың композициясы астындағы соңғы топологиялардың мінез-құлқымен біріктіру арқылы шығарылады. CG 1 кеңістіктерінің клиндік қосындысы CG 1 болып табылады. CG 2 үшін де осы айтылады. Бұл да жоғарыдағы нәтижелерді ажыратылған бірлестіктер және үлестік кеңістіктер үшін қолданудың нәтижесі.
A quotient space of a CG 2 space is CG 2. In particular, every quotient space of a locally compact Hausdorff space is CG 2. Conversely, every CG 2 space is the quotient space of a locally compact Hausdorff space. A quotient space of a CG 3 space is not CG 3 in general. In fact, every CG 2 space is a quotient space of a CG 3 space (namely, some locally compact Hausdorff space); but there are CG 2 spaces that are not CG 3. For a concrete example, the Sierpiński space is not CG 3, but is homeomorphic to the quotient of the compact interval obtained by identifying to a point. More generally, any final topology on a set induced by a family of functions from CG 1 spaces is also CG 1. And the same holds for CG 2. This follows by combining the results above for disjoint unions and quotient spaces, together with the behavior of final topologies under composition of functions. A wedge sum of CG 1 spaces is CG 1. The same holds for CG 2. This is also an application of the results above for disjoint unions and quotient spaces.
Әр түрлі
Топологиялық кеңістіктер үшін және , болсын - дан -ға барлық үздіксіз бейнелеулер кеңістігі, осы кеңістік компактты ашық топологиямен топологияландырылған. Егер CG 1 болса, онда кеңістігіндегі жол компоненттері гомотопиялық эквиваленттілік сыныптарымен сәйкес келеді.
К-ификация
Кез келген топологиялық кеңістік берілгенде, біз оның компактты түрде құрылған, кейде топологияның k-ификациясы деп аталатын, мүмкіндігінше жіңішке топологиясын анықтай аламыз. -ның компактты жиынтар жиыны деп белгілейік. Жаңа топологияны былай анықтаймыз: кез келген ішкі жиын жабық болады, егер және тек қана егер әрбір индексі үшін -да жабық болса. Бұл жаңа кеңістікті арқылы белгілейміз. және кеңістіктерінің компактты жиындары сәйкес екенін, ал компактты жиындарға шақырған топологиялар бірдей екенін көрсетуге болады. Осыдан компактты түрде құрылғандығы шығады. Егер бастапқыда компактты түрде құрылған болса, онда болады, әйтпесе топологиясы топологиясынан жіңіздерәк (яғни, ашық жиындар саны көп). Бұл құрылым функционалды. кеңістіктерінің толық ішкі санатын, объектілері компактты түрде құрылған кеңістіктер болатын деп белгілейміз, ал кеңістіктерінің толық ішкі санатын, объектілері Хаусдорф кеңістіктері болатын деп белгілейміз. -ден -ге баратын функтор, -ты -ге жібереді, кіріктіру функторының оң жақтағы қосымшасы болып табылады.
-дағы экспоненциалды объектісі арқылы беріледі, мұнда - -дан -ға үздісіз бейнелеулер кеңістігі, компактты-ашық топологиямен жабдықталған. Бұл идеяларды Хаусдорф емес жағдайға да жалпылауға болады. Бұл пайдалы, өйткені Хаусдорф кеңістіктерінің идентификация кеңістіктері міндетті түрде Хаусдорф бола бермейді.