Введение
Свойства топологических пространств
В топологии топологическое пространство называется компактно-порождённым пространством или k-пространством, если его топология определяется компактными пространствами, как это уточнено ниже. Фактически, общепринятого определения таких пространств не существует, поскольку разные авторы используют различные варианты определения, которые не всегда эквивалентны друг другу. Кроме того, некоторые авторы включают в определение одного или обоих терминов некоторые аксиомы разделения (например, пространство Хаусдорфа или слабое пространство Хаусдорфа), а другие – нет. В наиболее простом определении, компактно-порождённое пространство – это пространство, согласованное с семейством своих компактных подпространств, то есть множество открыто в тогда и только тогда, когда оно открыто в для каждого компактного подпространства . Другие определения используют семейство непрерывных отображений из компактных пространств в и объявляют компактно-порождённым, если его топология совпадает с финальной топологией относительно этого семейства отображений. Существуют также вариации определения, в которых компактные пространства заменяются компактными пространствами Хаусдорфа. Компактно-порождённые пространства были разработаны для устранения некоторых недостатков категории топологических пространств. В частности, при некоторых определениях они образуют декартово замкнутую категорию, при этом сохраняя типичные пространства, представляющие интерес, что делает их удобными для использования в алгебраической топологии.
In topology, a topological space is called a compactly generated space or k space if its topology is determined by compact spaces in a manner made precise below. There is in fact no commonly agreed upon definition for such spaces, as different authors use variations of the definition that are not exactly equivalent to each other. Also some authors include some separation axiom (like Hausdorff space or weak Hausdorff space) in the definition of one or both terms, and others don't. In the simplest definition, a compactly generated space is a space that is coherent with the family of its compact subspaces, meaning that for every set is open in if and only if is open in for every compact subspace Other definitions use a family of continuous maps from compact spaces to and declare to be compactly generated if its topology coincides with the final topology with respect to this family of maps. And other variations of the definition replace compact spaces with compact Hausdorff spaces. Compactly generated spaces were developed to remedy some of the shortcomings of the category of topological spaces. In particular, under some of the definitions, they form a cartesian closed category while still containing the typical spaces of interest, which makes them convenient for use in algebraic topology.
Мотивация
Компактно сгенерированные пространства первоначально назывались k-пространствами, от немецкого слова kompakt. Они были изучены Гуревичем и рассматриваются в трудах Келли «Общая топология», Дугунджи «Топология» и Феликса, Халперина и Томаса «Рациональная теория гомотопий». Более глубокое изучение этих пространств было мотивировано в 1960-х годах известными недостатками обычной категории топологических пространств. Эта категория не является замкнутой декартовой категорией, обычное декартовое произведение отображений отождествлений не всегда является отображением отождествления, а обычное произведение CW-комплексов не обязательно является CW-комплексом. В отличие от этого, категория симплициальных множеств обладала многими удобными свойствами, включая замкнутость относительно декартового произведения. История изучения способов исправления этой ситуации представлена в статье на nLab, посвященной удобным категориям пространств. Первое предложение (1962) по решению этой проблемы заключалось в ограничении рассмотрения полной подкатегорией компактно сгенерированных пространств Хаусдорфа, которая, на самом деле, является замкнутой декартовой категорией. Эти идеи развивают теорему двойственности де Вриса. Определение экспоненциального объекта приведено ниже. Другое предложение (1964) заключалось в рассмотрении обычных пространств Хаусдорфа, но использовании функций, непрерывных на компактных подмножествах. Эти идеи обобщаются на нехаусдорфовы случай, то есть с другим определением компактно сгенерированных пространств. Это полезно, поскольку пространства отождествлений пространств Хаусдорфа не обязаны быть хаусдорфовыми. В современной алгебраической топологии это свойство чаще всего сочетается со слабым свойством Хаусдорфа, так что работа ведется в категории CGWH компактно сгенерированных слабо хаусдорфовых пространств.
Свойства
(См. раздел "Примеры" для значений сокращений CG 1, CG 2, CG 3.)
Подпространства
Подпространства компактно сгенерированного пространства не являются компактно сгенерированными в общем случае, даже в случае Хаусдорфа. Например, порядковое пространство, где ω₁ — первое несчётное ординальное число, является компактным хаусдорфовым пространством, а следовательно, компактно сгенерированным. Его подпространство, полученное удалением всех предельных ординалов, кроме ω₁, изоморфно пространству Фортиссимо, которое не является компактно сгенерированным (как указано в разделе «Примеры», оно антикомпактно и недискретно). Другой пример — пространство Аренса, которое является последовательно хаусдорфовым, а следовательно, компактно сгенерированным. Оно содержит в качестве подпространства пространство Аренса-Форта, которое не является компактно сгенерированным. В пространстве CG₁ каждое замкнутое множество является CG₁. Это неверно для открытых множеств. Например, как показано в разделе «Примеры», существует множество пространств, которые не являются CG₁, но они открыты в своей одноточечной компактификации, которая является CG₁. В пространстве CG₂ каждое замкнутое множество является CG₂; и то же самое верно для каждого открытого множества (поскольку существует факторное отображение для некоторого локально компактного хаусдорфова пространства, и для открытого множества ограничение этого отображения на него также является факторным отображением на локально компактное хаусдорфово пространство). То же самое справедливо в более общем случае для каждого локально замкнутого множества, то есть пересечения открытого и замкнутого множеств. В пространстве CG₃ каждое замкнутое множество является CG₃.
Коэффициенты
Дисъюнктное объединение семейства топологических пространств является CG 1 тогда и только тогда, когда каждое пространство является CG 1. Соответствующие утверждения также верны для CG 2 и CG 3. Факторпространство пространства CG 1 является CG 1. В частности, любое факторпространство слабо локально компактного пространства является CG 1. И наоборот, любое пространство CG 1 является факторпространством слабо локально компактного пространства, которое можно взять в качестве дизъюнктного объединения его компактных подпространств. В частности, любое факторпространство локально компактного пространства Хаусдорфа является CG 2. И наоборот, любое пространство CG 2 является факторпространством локально компактного пространства Хаусдорфа. Факторпространство пространства CG 3 не является CG 3 в общем случае. Фактически, любое пространство CG 2 является факторпространством пространства CG 3 (а именно, некоторого локально компактного пространства Хаусдорфа); но существуют пространства CG 2, которые не являются CG 3. В качестве конкретного примера, пространство Серпинского не является CG 3, но гомеоморфно факторпространству компактного интервала, полученному отождествлением концов к точке. В более общем случае, любая финальная топология на множестве, индуцированная семейством функций из пространств CG 1, также является CG 1. То же самое верно и для CG 2. Это следует из комбинации вышеуказанных результатов для дизъюнктных объединений и факторпространств, а также из поведения финальных топологий при композиции функций. Клиновая сумма пространств CG 1 является CG 1. То же самое верно и для CG 2. Это также применение вышеуказанных результатов для дизъюнктных объединений и факторпространств.
A quotient space of a CG 2 space is CG 2. In particular, every quotient space of a locally compact Hausdorff space is CG 2. Conversely, every CG 2 space is the quotient space of a locally compact Hausdorff space. A quotient space of a CG 3 space is not CG 3 in general. In fact, every CG 2 space is a quotient space of a CG 3 space (namely, some locally compact Hausdorff space); but there are CG 2 spaces that are not CG 3. For a concrete example, the Sierpiński space is not CG 3, but is homeomorphic to the quotient of the compact interval obtained by identifying to a point. More generally, any final topology on a set induced by a family of functions from CG 1 spaces is also CG 1. And the same holds for CG 2. This follows by combining the results above for disjoint unions and quotient spaces, together with the behavior of final topologies under composition of functions. A wedge sum of CG 1 spaces is CG 1. The same holds for CG 2. This is also an application of the results above for disjoint unions and quotient spaces.
Разное
Для топологических пространств X и Y пусть C(X, Y) обозначает пространство всех непрерывных отображений из X в Y, топологизированное компактно-открытой топологией. Если X – пространство CG 1, то связные компоненты в C(X, Y) – это как раз классы гомотопической эквивалентности.
К-ификация
Для любого топологического пространства мы можем определить, возможно, более тонкую топологию на этом пространстве, которая является компактно-порожденной, иногда называемую k-идентификацией топологии. Пусть обозначает семейство компактных подмножеств . Мы определяем новую топологию на , объявляя подмножество замкнутым тогда и только тогда, когда оно замкнуто в для каждого индекса . Обозначим это новое пространство . Можно показать, что компактные подмножества и совпадают, и индуцированные топологии на компактных подмножествах одинаковы. Следовательно, является компактно-порожденным. Если изначально было компактно-порожденным, то . В противном случае топология на строго тоньше, чем (то есть содержит больше открытых множеств). Эта конструкция функториальна. Обозначим полную подкатегорию с объектами компактно-порожденными пространствами, а полную подкатегорию с объектами пространствами Хаусдорфа. Функтор из в , который отображает в , является прадопримыкающим к функтору включения. Экспоненциальный объект в задается как , где — пространство непрерывных отображений из в с компактно-открытой топологией. Эти идеи можно обобщить на нехаусдорфов случай. Это полезно, поскольку пространства идентификаций пространств Хаусдорфа не обязаны быть хаусдорфовыми.
The exponential object in is given by where is the space of continuous maps from to with the compact open topology. These ideas can be generalized to the non Hausdorff case. This is useful since identification spaces of Hausdorff spaces need not be Hausdorff.