Топологиялық кеңістіктер: T0 кеңістіктер және олардың қасиеттері

Кіріспе

Топологиядағы ұғым

Топологияда және математиканың осымен байланысты салаларында, топологиялық кеңістік X, егер X-тің әрбір ерекшеленетін нүктелер жұбы үшін, олардың кем дегенде біреуінің екіншісін қамтымайтын маңы бар болса, онда ол T0 кеңістігі немесе Колмогоров кеңістігі (Андрей Колмогоровтың құрметіне аталған) деп аталады. T0 кеңістігіндегі барлық нүктелер топологиялық тұрғыдан ажыратылады. Бұл шарт T0 шарты деп аталады және бұл бөлу аксиомаларының ең әлсізі. Математикада қалыпты түрде зерттелетін дерлік барлық топологиялық кеңістіктер T0 кеңістіктер болып табылады. Атап айтқанда, барлық T1 кеңістіктер, яғни әрбір ерекшеленетін нүктелер жұбы үшін әрқайсысының екіншісін қамтымайтын маңы бар кеңістіктер, T0 кеңістіктер болып табылады. Бұл барлық T2 (немесе Хаусдорф) кеңістіктерді де қамтиды, яғни әртүрлі нүктелердің ортақ емес маңдары бар барлық топологиялық кеңістіктерді. Басқа бағытта, әрбір қатаң кеңістік (ол T1 болмауы мүмкін) T0 болады; бұл кез келген схеманың негізгі топологиялық кеңістігін қамтиды. Кез келген топологиялық кеңістік үшін, топологиялық жағынан ажыратылмаған нүктелерді теңестіру арқылы T0 кеңістік құруға болады. T1 кеңістік емес T0 кеңістіктері, дәл сол кеңістіктер болып табылады, олар үшін маманданудың преордері тривиальды емес ішінара рет болып табылады. Мұндай кеңістіктер компьютерлік ғылымда, әсіресе денотациялық семантикада кездеседі.

Мысалдар мен қарсы мысалдар

Математикада қалыпты түрде зерттелетін топологиялық кеңістіктердің көбі T0 болып табылады. Атап айтқанда, барлық Хаусдорф (T2) кеңістіктері, T1 кеңістіктері және қанағаттандырылған кеңістіктер T0 болып табылады.

Т0 емес кеңістіктер

Бір элементтен көп жиынтық, тривиальды топологиямен. Ешбір нүктені ерекшелеу мүмкін емес. R және R-дегі ашық жиынтықтардың декарт көбейтіндісі ашық жиынтықтар болып табылатын R2 жиынтығы, яғни R-дің стандартты топологиясы және R-дің тривиальды топологиясының өнім топологиясы; (a,b) және (a,c) нүктелерін ажыратуға болмайды. Нақты сызық R-ден кешенді жазықтық C-ге дейінгі барлық өлшенетін f функцияларының кеңістігі, мұндағы Лебег интегралы екі функция дерлік барлық жерде тең болса, оларды ажыратуға болмайды. Төмендегіге де қараңыз.

T0 , бірақ T1 емес кеңістіктер

Spec(R)-дегі Зариски топологиясы, R коммутативтік сақинаның негізгі спектрі, әрқашан T0 болып табылады, бірақ көбінесе T1 емес. Жабық емес нүктелер максимал емес алғашқы идеалдарға сәйкес келеді. Олар схемаларды түсіну үшін маңызды. Кемінде екі элементі бар кез келген жиынның жеке нүкте топологиясы T0, бірақ T1 емес, себебі жеке нүкте жабық емес (оның жабылуы – бүкіл кеңістік). Маңызды ерекше жағдай – бұл {0,1} жиынындағы жеке нүкте топологиясы болып табылатын Сиерпински кеңістігі. Кемінде екі элементі бар кез келген жиынның алынып тасталған нүкте топологиясы T0, бірақ T1 емес. Жалғыз жабық нүкте – алынып тасталған нүкте. Ішінара реттелген жиынның Александров топологиясы T0 болып табылады, бірақ рет дискретті болмаса (теңдікпен сәйкес келсе) T1 болмайды. Кез келген шекті T0 кеңістігі осы типті болады. Бұл сондай-ақ жеке және алынып тасталған нүкте топологияларын ерекше жағдайлар ретінде қамтиды. Толық реттелген жиынның оң реттік топологиясы осыған ұқсас мысал. Қабаттасқан интервал топологиясы жеке нүкте топологиясына ұқсас, себебі бос емес әрбір ашық жиын 0-ді қамтиды. Жалпы алғанда, X топологиялық кеңістігі T0 болады, егер және тек қана X-тегі маманданудың алдын ала тәртібі ішінара тәртіп болса. Дегенмен, X T1 болады, егер және тек қана рет дискретті болса (яғни теңдікпен сәйкес келсе). Осылайша, кеңістік T0, бірақ T1 емес, егер және тек қана X-тегі маманданудың алдын ала тәртібі дискретті емес ішінара тәртіп болса.

T0 аралықтарымен жұмыс істеу

Жалпы зерттелген топологиялық кеңістіктердің барлығы T0 болып табылады. Шындығында, көптеген салалардағы математиктер, әсіресе анализ, табиғи түрде T0 емес кеңістіктерге тап болғанда, оларды әдетте T0 кеңістіктерімен алмастырады, төменде сипатталатын тәсілмен. Осы ойларды түсіну үшін, белгілі бір мысалды қарастырайық. L2(R) кеңістігі – нақты сызықтан R күрделі жазықтыққа C дейінгі барлық өлшенетін f функцияларының жиынтығы, мұнда |f(x)|² функциясының бүкіл нақты сызық бойынша алынған Лебег интегралы шекті. Бұл кеңістік, норманы ||f|| деп, осы интегралдың квадрат түбірі арқылы анықталғанда, нормаланған векторлық кеңістік болуы керек. Бірақ мәселе мынада – бұл нақты норма емес, тек жартылай норма, себебі нөлдік функциядан өзге функциялардың (жартылай) нормасы да нөлге тең болуы мүмкін. Стандартты шешім – L2(R) кеңістігін функциялар жиынтығы ретінде емес, функциялардың эквиваленттілік кластары жиынтығы ретінде анықтау. Бұл бастапқы жартылай нормаланған векторлық кеңістіктің фактор кеңістігін құрастырады, ал бұл фактор кеңістігі – нормаланған векторлық кеңістік. Ол жартылай нормаланған кеңістіктен бірнеше ыңғайлы қасиеттерді мұра етеді; толығырақ төменде қараңыз. Жалпы, егер X жиынында T топологиясы берілген болса, бұл топология T0 болса, жұмыс істеу ыңғайлы. Екінші жағынан, X жиыны тұрақты болса, бірақ T белгілі бір шекте өзгеруіне рұқсат етілсе, T-ні T0 болуға мәжбүрлеу ыңғайсыз болуы мүмкін, себебі T0 емес топологиялар көбінесе маңызды ерекше жағдайлар болып табылады. Сондықтан, топологиялық кеңістікке қойылатын әртүрлі шарттардың T0 және T0 емес нұсқаларын түсіну маңызды болуы мүмкін.

Колмогоров үлесі

Топтық нүктелердің теңдестірілмейтіні эквиваленттік қатынас болып табылады. X топологиялық кеңістігі қандай болмасын, осы эквиваленттік қатынас бойынша алынған кеңістік әрқашан T0 болады. Бұл кеңістік X-тің Колмогоров кеңістігі деп аталады, оны KQ(X) деп белгілейміз. Әрине, егер X бастапқыда T0 болса, онда KQ(X) және X табиғи түрде гомеоморфты болады. Категориялық тұрғыдан, Колмогоров кеңістіктері топологиялық кеңістіктердің рефлективті кіші категориясы болып табылады, ал Колмогоров кеңістігі – рефлектор. X және Y топологиялық кеңістіктері Колмогоров эквиваленті болып табылады, егер олардың Колмогоров кеңістіктері гомеоморфты болса. Топологиялық кеңістіктердің көптеген қасиеттері осы эквиваленттік арқылы сақталады; яғни, егер X және Y Колмогоров эквиваленті болса, онда X-те мұндай қасиет бар егер және тек қана Y-те болса. Екінші жағынан, топологиялық кеңістіктердің көптеген басқа қасиеттері T0 екендігін білдіреді; яғни, егер X-те мұндай қасиет болса, онда X T0 болуы керек. Тек бірнеше қасиеттер, мысалы, дискретті емес кеңістік болуы, осы ережеден өзгешелік құрайды. Одан да жақсысы, топологиялық кеңістіктерде анықталған көптеген құрылымдар X және KQ(X) арасында көшірілуі мүмкін. Нәтижесінде, егер сізде белгілі бір құрылым немесе қасиеттері бар T0 емес топологиялық кеңістік болса, онда сіз әдетте бірдей құрылымдар мен қасиеттері бар T0 кеңістігін Колмогоров кеңістігін құру арқылы ала аласыз. L2(R) мысалы осы мүмкіндікті көрсетеді. Топологиялық тұрғыдан алғанда, біз бастаған семинормалы векторлық кеңістікте көптеген қосымша құрылымдар бар; мысалы, ол векторлық кеңістік, және ол семинормаға ие, бұл псевдометриялық және топологиямен үйлесімді бірыңғай құрылымды анықтайды. Сондай-ақ, осы құрылымдардың бірнеше қасиеттері бар; мысалы, семинорма параллелограмм тепе-теңдігін қанағаттандырады және бірыңғай құрылым толық болады. Бұл кеңістік T0 емес, өйткені L2(R) кеңістігіндегі дерлік барлық жерде тең болатын екі функция осы топология бойынша ажыратылмайды. Колмогоров кеңістігін құрғанда, нақты L2(R) кеңістігінде осы құрылымдар мен қасиеттер сақталады. Осылайша, L2(R) – параллелограмм тепе-теңдігін қанағаттандыратын толық семинормалы векторлық кеңістік. Бірақ біз одан да көп нәрсе аламыз, өйткені кеңістік енді T0 болып табылады. Семинорма – егер және тек қана негізгі топология T0 болса, онда норма болады, сондықтан L2(R) – параллелограмм тепе-теңдігін қанағаттандыратын толық нормаланған векторлық кеңістік, яғни Гильберт кеңістігі. Осы Гильберт кеңістігін математиктер (және кванттық механикада физиктер) зерттеуге ұмтылады. Ескеріңіз, L2(R) белгісі әдетте Колмогоров кеңістігін білдіреді, яғни нөлдік өлшем жиындары бойынша ерекшеленетін квадраттық интеграл функцияларының теңдестік кластарының жиынтығын, жай ғана квадраттық интеграл функцияларының векторлық кеңістігін емес.

Topological indistinguishability of points is an equivalence relation. No matter what topological space X might be to begin with, the quotient space under this equivalence relation is always T0. This quotient space is called the Kolmogorov quotient of X, which we will denote KQ(X). Of course, if X was T0 to begin with, then KQ(X) and X are naturally homeomorphic. Categorically, Kolmogorov spaces are a reflective subcategory of topological spaces, and the Kolmogorov quotient is the reflector. Topological spaces X and Y are Kolmogorov equivalent when their Kolmogorov quotients are homeomorphic. Many properties of topological spaces are preserved by this equivalence; that is, if X and Y are Kolmogorov equivalent, then X has such a property if and only if Y does. On the other hand, most of the other properties of topological spaces imply T0 ness; that is, if X has such a property, then X must be T0. Only a few properties, such as being an indiscrete space, are exceptions to this rule of thumb. Even better, many structures defined on topological spaces can be transferred between X and KQ(X). The result is that, if you have a non T0 topological space with a certain structure or property, then you can usually form a T0 space with the same structures and properties by taking the Kolmogorov quotient. The example of L2(R) displays these features. From the point of view of topology, the seminormed vector space that we started with has a lot of extra structure; for example, it is a vector space, and it has a seminorm, and these define a pseudometric and a uniform structure that are compatible with the topology. Also, there are several properties of these structures; for example, the seminorm satisfies the parallelogram identity and the uniform structure is complete. The space is not T0 since any two functions in L2(R) that are equal almost everywhere are indistinguishable with this topology. When we form the Kolmogorov quotient, the actual L2(R), these structures and properties are preserved. Thus, L2(R) is also a complete seminormed vector space satisfying the parallelogram identity. But we actually get a bit more, since the space is now T0. A seminorm is a norm if and only if the underlying topology is T0, so L2(R) is actually a complete normed vector space satisfying the parallelogram identity—otherwise known as a Hilbert space. And it is a Hilbert space that mathematicians (and physicists, in quantum mechanics) generally want to study. Note that the notation L2(R) usually denotes the Kolmogorov quotient, the set of equivalence classes of square integrable functions that differ on sets of measure zero, rather than simply the vector space of square integrable functions that the notation suggests.

Т0-ны алып тастау

Нормалар тарихи тұрғыдан алдымен анықталғанмен, адамдар семинорманың анықтамасын да жасады, ол норманың T0 емес түрі. Жалпы, топологиялық кеңістіктердің қасиеттері мен құрылымдарының T0 емес түрлерін анықтау мүмкін. Біріншіден, топологиялық кеңістіктердің Хаусдорф сияқты қасиеттерін қарастырайық. Содан кейін, X кеңістігінің Колмогоров бөлігі KQ(X) Хаусдорф болса ғана, топологиялық кеңістіктердің тағы бір қасиетін анықтауға болады. Бұл логикалық, бірақ аз танымал қасиет; мұндай X кеңістігі пререгуляр деп аталады. (Пререгулярлықтың тікелей анықтамасы да бар екені белгілі болды). Енді топологиялық кеңістікке қолданылатын метрика сияқты құрылымды қарастырайық. Топологиялық кеңістікке жаңа құрылымды X-тегі құрылымның мысалы ретінде KQ(X)-тегі метрика арқылы анықтауға болады. Бұл X үшін логикалық құрылым, ол псевдометриялық болып табылады. (Псевдометриялықтың тікелей анықтамасы да бар). Осылайша, қасиет немесе құрылым талаптарынан T0-лықты жоюдың табиғи жолы бар. Әдетте, T0 кеңістіктерін зерттеу оңайрақ, бірақ толық картина алу үшін T0 емес құрылымдарға рұқсат ету де оңай болуы мүмкін. Колмогоров бөлігінің түсінігін пайдаланып, T0 талабын кез келгендей қосуға немесе алып тастауға болады.