Топологическое пространство T0 (Пространства Колмогорова)

Введение

Концепция в топологии

В топологии и смежных областях математики топологическое пространство X является пространством T0 или пространством Колмогорова (названным в честь Андрея Колмогорова), если для каждой пары различных точек пространства X, по крайней мере, у одной из них существует окрестность, не содержащая другую точку. В пространстве T0 все точки топологически различимы. Это условие, называемое условием T0, является самым слабым из аксиом разделения. Почти все топологические пространства, обычно изучаемые в математике, являются пространствами T0. В частности, все пространства T1, то есть все пространства, в которых для каждой пары различных точек каждая имеет окрестность, не содержащую другую, являются пространствами T0. Это включает в себя все пространства T2 (или Хаусдорфа), то есть все топологические пространства, в которых различные точки имеют непересекающиеся окрестности. В другом направлении, каждое трезвое пространство (которое может быть не T1) является T0; это включает в себя базовое топологическое пространство любой схемы. Для любого заданного топологического пространства можно построить пространство T0, отождествляя топологически неразличимые точки. Пространства T0, которые не являются пространствами T1, – это именно те пространства, для которых предзаказ специализации является нетривиальным частичным порядком. Такие пространства естественно возникают в информатике, в частности, в денотационной семантике.

Примеры и контрпримеры

Почти все топологические пространства, обычно изучаемые в математике, являются T0. В частности, все пространства Хаусдорфа (T2), пространства T1 и трезвые пространства являются T0.

Пространства, которые не являются Т0

Множество, содержащее более одного элемента, с тривиальной топологией. Точки неразличимы. Множество R², где открытыми множествами являются декартово произведение открытого множества в R и самого R, то есть, топология произведения R с обычной топологией и R с тривиальной топологией; точки (a, b) и (a, c) неразличимы. Пространство всех измеримых функций f с вещественной прямой R в комплексную плоскость C, таких что интеграл Лебега… Две функции, совпадающие почти всюду, неразличимы. См. также ниже.

Пространства, которые являются T0, но не T1

Топология Зариски на Spec(R), спектр простых идеалов коммутативного кольца R, всегда T0, но обычно не T1. Незамкнутые точки соответствуют простым идеалам, которые не являются максимальными. Они важны для понимания схем. Топология отдельной точки на любом множестве, содержащем по крайней мере два элемента, является T0, но не T1, поскольку отдельная точка не является замкнутой (её замыкание – всё пространство). Важным частным случаем является пространство Серпинского, которое представляет собой топологию отдельной точки на множестве {0,1}. Топология исключённой точки на любом множестве, содержащем по крайней мере два элемента, является T0, но не T1. Единственной замкнутой точкой является исключённая точка. Топология Александрова на частично упорядоченном множестве является T0, но не будет T1, если порядок не дискретный (совпадает с равенством). Любое конечное T0-пространство имеет такой вид. Это также включает в себя топологии отдельной точки и исключённой точки как частные случаи. Топология правого порядка на вполне упорядоченном множестве является связанным примером. Топология перекрывающихся интервалов аналогична топологии отдельной точки, поскольку каждое непустое открытое множество включает 0. В общем случае, топологическое пространство X будет T0 тогда и только тогда, когда предзаказ специализации на X является частичным порядком. Однако, X будет T1 тогда и только тогда, когда порядок дискретный (т.е. совпадает с равенством). Следовательно, пространство будет T0, но не T1, тогда и только тогда, когда предзаказ специализации на X является недискретным частичным порядком.

Работа с T0 пространствами

Обычно изучаемые топологические пространства — все T0. Действительно, когда математики во многих областях, особенно в анализе, естественным образом сталкиваются с не-T0 пространствами, они обычно заменяют их T0 пространствами, как описано ниже. Чтобы проиллюстрировать эти идеи, рассмотрим известный пример. Пространство L2(R) определяется как пространство всех измеримых функций f из множества действительных чисел R в комплексную плоскость C, таких что лебегов интеграл от |f(x)|² по всей действительной прямой конечен. Это пространство должно стать нормированным векторным пространством, если определить норму ||f|| как квадратный корень из этого интеграла. Проблема в том, что это не совсем норма, а лишь полунорма, поскольку существуют функции, отличные от нулевой, чья (полу)норма равна нулю. Стандартное решение состоит в том, чтобы определить L2(R) как множество классов эквивалентности функций, а не как множество функций напрямую. Это строит фактор-пространство исходного семинармированного векторного пространства, которое является нормированным векторным пространством. Оно наследует несколько удобных свойств от семинармированного пространства; см. ниже. В общем случае, при работе с фиксированной топологией T на множестве X, полезно, если эта топология является T0. С другой стороны, когда X фиксировано, но T может изменяться в определенных пределах, принудительное требование, чтобы T было T0, может быть неудобным, поскольку не-T0 топологии часто представляют собой важные частные случаи. Таким образом, важно понимать как T0, так и не-T0 версии различных условий, которые могут быть наложены на топологическое пространство.

Кольмогоровский коефициент

Топологическая неразличимость точек является отношением эквивалентности. Каким бы ни было топологическое пространство X, пространство-частное по этому отношению эквивалентности всегда будет T0. Это пространство-частное называется коэффициентом Колмогорова пространства X и обозначается KQ(X). Очевидно, если X изначально было T0, то KQ(X) и X естественно гомеоморфны. Категорически, пространства Колмогорова являются отражающей подкатегорией топологических пространств, а коэффициент Колмогорова – отражателем. Топологические пространства X и Y называются Колмогоровски эквивалентными, если их коэффициенты Колмогорова гомеоморфны. Многие свойства топологических пространств сохраняются при такой эквивалентности; то есть, X обладает данным свойством тогда и только тогда, когда Y обладает им, если X и Y Колмогоровски эквивалентны. С другой стороны, большинство других свойств топологических пространств подразумевают свойство T0; то есть, если X обладает данным свойством, то X должно быть T0. Лишь немногие свойства, такие как недискретное пространство, являются исключением из этого эмпирического правила. Более того, многие структуры, определенные на топологических пространствах, могут быть перенесены между X и KQ(X). В результате, если у вас есть не-T0 топологическое пространство с определенной структурой или свойством, то обычно можно построить T0 пространство с теми же структурами и свойствами, взяв коэффициент Колмогорова. Пример L2(R) демонстрирует эти особенности. С точки зрения топологии, семинормированное векторное пространство, с которого мы начали, обладает множеством дополнительной структуры; например, это векторное пространство, оно имеет семинорму, определяющую псевдометрику и однородную структуру, совместимые с топологией. Кроме того, эти структуры обладают определенными свойствами; например, семинорма удовлетворяет тождеству параллелограмма, а однородная структура является полной. Пространство не является T0, поскольку любые две функции в L2(R), равные почти всюду, неразличимы в данной топологии. При формировании коэффициента Колмогорова, то есть фактического L2(R), эти структуры и свойства сохраняются. Таким образом, L2(R) также является полным семинормированным векторным пространством, удовлетворяющим тождеству параллелограмма. Но мы получаем даже больше, поскольку пространство теперь T0. Семинорма является нормой тогда и только тогда, когда базовая топология является T0, поэтому L2(R) фактически является полным нормированным векторным пространством, удовлетворяющим тождеству параллелограмма, то есть пространством Гильберта. Именно пространство Гильберта обычно изучают математики (и физики в квантовой механике). Следует отметить, что обозначение L2(R) обычно обозначает коэффициент Колмогорова – множество классов эквивалентности квадратично интегрируемых функций, различающихся на множествах меры нуль, а не просто векторное пространство квадратично интегрируемых функций, которое подразумевает обозначение.

Удаление T0

Хотя нормы были определены исторически первыми, было введено также определение семинармы, которая является своего рода не-T0 версией нормы. В общем случае, можно определить не-T0 версии как свойств, так и структур топологических пространств. Сначала рассмотрим свойство топологического пространства, например, хаусдорфовость. Затем можно определить другое свойство топологического пространства, определив, что пространство X обладает этим свойством тогда и только тогда, когда факторпространство Колмогорова KQ(X) является хаусдорфовым. Это осмысленное, хотя и менее известное свойство; в этом случае такое пространство X называется пререгулярным. (Существует даже более прямое определение пререгулярности). Теперь рассмотрим структуру, которую можно задать на топологическом пространстве, такую как метрика. Мы можем определить новую структуру на топологическом пространстве, приняв за пример структуры на X просто метрику на KQ(X). Это осмысленная структура на X; это псевдометрика. (Снова существует более прямое определение псевдометрики). Таким образом, существует естественный способ исключить требование T0 из определения свойства или структуры. Как правило, проще изучать пространства, которые являются T0, но может быть проще допустить структуры, которые не являются T0, чтобы получить более полное представление. Требование T0 можно произвольно добавлять или удалять, используя понятие факторпространства Колмогорова.