Кіріспе
Әлсіз инверстерді қабылдайтын сақиналар. Математикада, фон Нейманның тұрақты сақинасы – бұл R сақинасы (ассоциативті, 1-бен, міндетті түрде коммутативті емес), онда R-дегі әрбір a элементі үшін 1 = a = axa болатын x элементі бар. x элементін a элементінің "әлсіз инверсі" деп қарастыруға болады; әдетте, x элементі a элементімен бірегей анықталмайды. Фон Нейманның тұрақты сақиналары абсолютті жазық сақиналар деп те аталады, себебі осы сақиналардың ерекшелігі – әрбір сол R модуль жазық болады. Фон Нейманның тұрақты сақиналары фон Нейман алгебрасын және үздіксіз геометрияны зерттеу барысында "тұрақты сақиналар" деген атпен енгізілді. Фон Нейманның тұрақты сақиналарын коммутативтік алгебраның тұрақты сақиналарымен және тұрақты жергілікті сақиналарымен шатастыруға болмайды. Егер 1 = a = axa болатын x элементі бар болса, сақинаның a элементі фон Нейманның тұрақты элементі деп аталады. Идеал, егер оның әрбір a элементі үшін 1 = a = axa болатын x элементі бар болса, (фон Нейман) тұрақты идеал деп аталады.
In mathematics, a von Neumann regular ring is a ring R (associative, with 1, not necessarily commutative) such that for every element a in R there exists an x in R with 1=a = axa. One may think of x as a "weak inverse" of the element a; in general x is not uniquely determined by a. Von Neumann regular rings are also called absolutely flat rings, because these rings are characterized by the fact that every left R module is flat. Von Neumann regular rings were introduced by under the name of "regular rings", in the course of his study of von Neumann algebras and continuous geometry. Von Neumann regular rings should not be confused with the unrelated regular rings and regular local rings of commutative algebra. An element a of a ring is called a von Neumann regular element if there exists an x such that 1=a = axa. An ideal is called a (von Neumann) regular ideal if for every element a in there exists an element x in such that 1=a = axa.
Мысалдар
Әрбір өріс (және әрбір қисық өріс) фон Нейман тұрақты: a ≠ 0 үшін 1=x = a−1 деп аламыз. Интегралды домен фон Нейман тұрақты, егер және тек қана егер ол өріс болса. Фон Нейман тұрақты сақиналардың кез келген тікелей көбейтіндісі қайтадан фон Нейман тұрақты болып табылады. Фон Нейман тұрақты сақиналардың тағы бір маңызды мысалы – бұл сақиналар Mn(K), n × n квадраттық матрицалар, кіріктірілістері кейбір K өрісінен алынған. Егер r – A ∈ Mn(K) рангысы болса, Гаусс жою әдісі кері айналатын U және V матрицаларын береді, осындай:
(where Ir is the r by r identity matrix). If we set 1=X = V−1U−1, then
More generally, the n × n matrix ring over any von Neumann regular ring is again von Neumann regular. If V is a vector space over a field (or skew field) K, then the endomorphism ring EndK(V) is von Neumann regular, even if V is not finite dimensional. Generalizing the above examples, suppose S is some ring and M is an S module such that every submodule of M is a direct summand of M (such modules M are called semisimple). Then the endomorphism ring EndS(M) is von Neumann regular. In particular, every semisimple ring is von Neumann regular. Indeed, the semisimple rings are precisely the Noetherian von Neumann regular rings. The ring of affiliated operators of a finite von Neumann algebra is von Neumann regular. A Boolean ring is a ring in which every element satisfies 1=a2 = a. Every Boolean ring is von Neumann regular.
(мұнда Ir – r × r бірлік матрицасы). Егер 1=X = V−1U−1 деп белгілесек, онда жалпы алғанда, кез келген фон Нейман тұрақты сақинасының n × n матрица сақинасы қайтадан фон Нейман тұрақты болып табылады. Егер V – K өрісі (немесе қисық өрісі) бойынша векторлық кеңістік болса, онда EndK(V) эндоморфизм сақинасы фон Нейман тұрақты, тіпті V шекті өлшемді болмаса да. Жоғарыдағы мысалдарды жалпылағанда, S – бір сақина, ал M – S модулі болсын, сонда M-нің кез келген субмодулі M-нің тікелей қосылғысы (мұндай M модульдері жартылай қарапайым деп аталады). Сонда EndS(M) эндоморфизм сақинасы фон Нейман тұрақты болады. Атап айтқанда, кез келген жартылай қарапайым сақина фон Нейман тұрақты. Шындығында, жартылай қарапайым сақиналар – дәл Нотер фон Нейман тұрақты сақиналары. Ақырғы фон Нейман алгебрасының байланысты операторлар сақинасы фон Нейман тұрақты. Буль сақинасы – бұл әрбір элементі 1=a2 = a теңдеуін қанағаттандыратын сақина. Кез келген Буль сақинасы фон Нейман тұрақты.
(where Ir is the r by r identity matrix). If we set 1=X = V−1U−1, then
More generally, the n × n matrix ring over any von Neumann regular ring is again von Neumann regular. If V is a vector space over a field (or skew field) K, then the endomorphism ring EndK(V) is von Neumann regular, even if V is not finite dimensional. Generalizing the above examples, suppose S is some ring and M is an S module such that every submodule of M is a direct summand of M (such modules M are called semisimple). Then the endomorphism ring EndS(M) is von Neumann regular. In particular, every semisimple ring is von Neumann regular. Indeed, the semisimple rings are precisely the Noetherian von Neumann regular rings. The ring of affiliated operators of a finite von Neumann algebra is von Neumann regular. A Boolean ring is a ring in which every element satisfies 1=a2 = a. Every Boolean ring is von Neumann regular.