Введение
Кольца, допускающие слабые обратные элементы
В математике, регулярное кольцо фон Неймана — это кольцо R (ассоциативное, с единицей, не обязательно коммутативное), такое, что для каждого элемента a из R существует элемент x из R, удовлетворяющий условию 1 = a = axa. Элемент x можно рассматривать как "слабый обратный" к элементу a; в общем случае x не определяется однозначно элементом a. Регулярные кольца фон Неймана также называются абсолютно плоскими кольцами, поскольку эти кольца характеризуются тем, что каждый левый R-модуль является плоским. Регулярные кольца фон Неймана были введены под названием "регулярные кольца" в ходе изучения алгебр фон Неймана и непрерывной геометрии. Регулярные кольца фон Неймана не следует путать с не связанными регулярными кольцами и регулярными локальными кольцами коммутативной алгебры. Элемент a кольца называется регулярным элементом фон Неймана, если существует элемент x, такой что 1 = a = axa. Идеал называется (фон Неймана) регулярным идеалом, если для каждого элемента a из него существует элемент x в этом идеале, такой что 1 = a = axa.
In mathematics, a von Neumann regular ring is a ring R (associative, with 1, not necessarily commutative) such that for every element a in R there exists an x in R with 1=a = axa. One may think of x as a "weak inverse" of the element a; in general x is not uniquely determined by a. Von Neumann regular rings are also called absolutely flat rings, because these rings are characterized by the fact that every left R module is flat. Von Neumann regular rings were introduced by under the name of "regular rings", in the course of his study of von Neumann algebras and continuous geometry. Von Neumann regular rings should not be confused with the unrelated regular rings and regular local rings of commutative algebra. An element a of a ring is called a von Neumann regular element if there exists an x such that 1=a = axa. An ideal is called a (von Neumann) regular ideal if for every element a in there exists an element x in such that 1=a = axa.
Примеры
Каждое поле (и каждое скошенное поле) является регулярным по фон Нейману: для a ≠ 0 мы можем взять 1 = x = a⁻¹. Интегральная область является регулярной по фон Нейману тогда и только тогда, когда она является полем. Каждое прямое произведение регулярных колец по фон Нейману снова является регулярным по фон Нейману. Другим важным классом примеров регулярных колец по фон Нейману являются кольца Mn(K) – кольца n × n квадратных матриц с элементами из некоторого поля K. Если r – ранг матрицы A ∈ Mn(K), то метод Гаусса позволяет найти обратимые матрицы U и V такие, что
(где Ir – это единичная матрица размера r × r). Если мы положим 1 = X = V⁻¹U⁻¹, то
В более общем случае, кольцо n × n матриц над любым регулярным кольцом по фон Нейману снова является регулярным по фон Нейману. Если V – векторное пространство над полем (или скошенным полем) K, то кольцо эндоморфизмов EndK(V) является регулярным по фон Нейману, даже если V не является конечномерным. Обобщая приведенные выше примеры, предположим, что S – некоторое кольцо, а M – S-модуль, такой что каждый подмодуль M является прямым слагаемым M (такие модули M называются полупростыми). Тогда кольцо эндоморфизмов EndS(M) является регулярным по фон Нейману. В частности, каждое полупростое кольцо является регулярным по фон Нейману. Действительно, полупростые кольца являются в точности кольцами Ноэтера, регулярными по фон Нейману. Кольцо аффилированных операторов конечной алгебры фон Неймана является регулярным по фон Нейману. Булево кольцо – это кольцо, в котором каждый элемент удовлетворяет условию 1 = a² = a. Каждое булево кольцо является регулярным по фон Нейману.