Оң Ricci қисықтығы бар толық Riemannian манифолдының көбейтінді кеңістік ретінде қарастырылуы

Кіріспе

Риманның теріс емес қисықтығы бар толық Риман көптігі өнім кеңістігі болатын жағдайлар туралы
Дифференциалдық геометрия математикалық саласында псевдо-Риман көптігін метрикалық өнім ретінде беру мүмкіндігі туралы әр түрлі бөлу теоремалары бар. Ең белгілісі – Риман көптіктері үшін Чигер-Громолл бөлу теоремасы, сонымен қатар Лоренц көптіктерін бөлу бойынша да зерттеулер жүргізілген.

Чигер мен Громоллдың Риманнның бөліну теоремасы

Кез келген байланысқан Риман көптігі M негізгі метрикалық кеңістік құрылымына ие, және бұл геодезиялық сызықты c: ℝ → M түріндегі бейнелеу ретінде анықтауға мүмкіндік береді, мұнда c(s) мен c(t) арасындағы қашықтық кез келген s және t үшін тең болады. Яғни, c-нің кез келген шектелген аралыққа шектеуі – оның соңғы нүктелерін қосатын минималды ұзындығы бар қисық. 1971 жылы Джефф Чигер мен Детлеф Громолл егер геодезиялық тұрғыдан толық және байланысқан Риман көптігінің Риччи қисықтығы теріс емес болса және ол кез келген геодезиялық сызықты қамтитын болса, онда ол ℝ-мен толық Риман көптігінің көбейтіндісі ретінде изометриялық түрде бөлінеді деп дәлелдеді. Дәлелді кейіннен Йост Эшенбург пен Эрнст Хайнце жеңілдетті. 1936 жылы Стефан Кох-Воссен теореманы екі өлшемді көптіктер үшін тұжырымдап, дәлелдеді, ал Виктор Топоногов Кох-Воссеннің жұмысын жоғары өлшемдерге, теріс емес қималық қисықтығының ерекше шартымен кеңейтті. Дәлелді былай қорытындылауға болады. Геодезиялық сызықтың болуы екі Буземан функциясын анықтауға мүмкіндік береді. Бұларды сызықтың екі ұшындағы нормаланған Риман қашықтығы функциясы ретінде қарастыруға болады. Эухенио Калаби бұрын дәлелдеген Лаплас салыстыру теоремасы бойынша, Риччи қисықтығы туралы болжамды ескере отырып, бұл функциялардың екеуі де супергармониялық болып табылады. Бұл функциялардың кез келгені кейбір нүктелерде теріс болуы мүмкін, бірақ үшбұрыш теңсіздігі олардың қосындысы теріс емес екенін көрсетеді. Күшті максимум принципі қосындының бірқалыпты түрде нөлге тең екенін, демек әр Буземан функциясы (әлсіз) гармоникалық функция екенін білдіреді. Вейл леммасы Буземан функцияларының шексіз дифференциалдануын білдіреді. Содан кейін дәлелді Бохнер формуласын қолданып параллель векторлық өрістерді құру және де Рам ыдырау теоремасын орнату арқылы аяқтауға болады. Балама ретінде, Риман суға бату теориясын қолдануға болады. Олардың бөліну теоремасының салдары ретінде Чигер мен Громолл кез келген жабық көптіктің теріс емес Риччи қисықтығының әмбебап жабуы Евклид кеңістігімен жабық көптіктің көбейтіндісі ретінде изометриялық түрде бөлінетінін дәлелдеді. Егер әмбебап жабу топологиялық тұрғыдан жиырылатын болса, онда барлық қатысты метрикалар тегіс болуы керек.

Any connected Riemannian manifold M has an underlying metric space structure, and this allows the definition of a geodesic line as a map c: ℝ → M such that the distance from c(s) to c(t) equals for arbitrary s and t. This is to say that the restriction of c to any bounded interval is a curve of minimal length which connects its endpoints. In 1971, Jeff Cheeger and Detlef Gromoll proved that, if a geodesically complete and connected Riemannian manifold of nonnegative Ricci curvature contains any geodesic line, then it must split isometrically as the product of a complete Riemannian manifold with ℝ. The proof was later simplified by Jost Eschenburg and Ernst Heintze. In 1936, Stefan Cohn Vossen had originally formulated and proved the theorem in the case of two dimensional manifolds, and Victor Toponogov had extended Cohn Vossen's work to higher dimensions, under the special condition of nonnegative sectional curvature. The proof can be summarized as follows. The condition of a geodesic line allows for two Busemann functions to be defined. These can be thought of as a normalized Riemannian distance function to the two endpoints of the line. From the fundamental Laplacian comparison theorem proved earlier by Eugenio Calabi, these functions are both superharmonic under the Ricci curvature assumption. Either of these functions could be negative at some points, but the triangle inequality implies that their sum is nonnegative. The strong maximum principle implies that the sum is identically zero and hence that each Busemann function is in fact (weakly) a harmonic function. Weyl's lemma implies the infinite differentiability of the Busemann functions. Then, the proof can be finished by using Bochner's formula to construct parallel vector fields, setting up the de Rham decomposition theorem. Alternatively, the theory of Riemannian submersions may be invoked. As a consequence of their splitting theorem, Cheeger and Gromoll were able to prove that the universal cover of any closed manifold of nonnegative Ricci curvature must split isometrically as the product of a closed manifold with a Euclidean space. If the universal cover is topologically contractible, then it follows that all metrics involved must be flat.

Лоренцтің бөліну теоремасы

1982 жылы Шинг Тунг Яу Чигер мен Громолл теоремасының белгілі бір Лоренцтік түрі дұрыс болуы керек деп болжады. Джост Эшенбург, Грегори Галлоуэй және Ричард Ньюман осыны әртүрлі жалпылық деңгейлерінде дәлелдеді. Бұл нәтижелерде геодезиялық толықтық рөлі жаһандық гиперболикалық қасиет немесе уақытқа ұқсас геодезиялық толықтық шартымен алмастырылады. Риччи қисығының теріс еместігі уақытқа ұқсас жинақталу шартымен ауыстырылады, яғни Риччи қисығы барлық уақытқа ұқсас бағыттарда теріс емес болуы керек. Геодезиялық сызық уақытқа ұқсас болуы тиіс.