Разложения Римановых многообразий неотрицательной кривизны Риччи

Введение

О том, когда полное риманово многообразие с неотрицательной кривизной Риччи является произведением пространств. В математической области дифференциальной геометрии существует ряд теорем о расщеплении, определяющих, когда псевдориманово многообразие можно представить в виде метрического произведения. Наиболее известной является теорема о расщеплении Чигера — Громолла для римановых многообразий, хотя также проводились исследования расщепления лоренцевых многообразий.

Теорема разделения Римана Чигера и Громолла

Любой связный риманов многообразный M имеет базовую структуру метрического пространства, и это позволяет определить геодезическую линию как отображение c: ℝ → M, такое что расстояние от c(s) до c(t) равно для произвольных s и t. Иными словами, ограничение c на любой ограниченный интервал является кривой минимальной длины, соединяющей её конечные точки. В 1971 году Джефф Чигер и Детлеф Громолл доказали, что если геодезически полное и связное риманово многообразие с неотрицательной кривизной Риччи содержит какую-либо геодезическую линию, то оно должно расщепляться изометрически как произведение полного риманова многообразия на ℝ. Позже доказательство было упрощено Йостом Эшенбургом и Эрнстом Гейнтце. В 1936 году Стефан Кохн-Воссен первоначально сформулировал и доказал теорему в случае двумерных многообразий, а Виктор Топоногов расширил работу Кохна-Воссена на более высокие размерности при специальном условии неотрицательной сеченияльной кривизны. Доказательство можно суммировать следующим образом. Условие геодезической линии позволяет определить две функции Буземана. Их можно рассматривать как нормализованную риманову функцию расстояния до двух конечных точек линии. Из фундаментальной теоремы сравнения Лапласа, ранее доказанной Эухенио Калаби, следует, что эти функции являются супергармоническими при условии неотрицательной кривизны Риччи. Каждая из этих функций может быть отрицательной в некоторых точках, но неравенство треугольника подразумевает, что их сумма неотрицательна. Принцип сильного максимума влечет за собой, что сумма тождественно равна нулю и, следовательно, каждая функция Буземана на самом деле (слабо) является гармонической функцией. Лемма Вейля подразумевает бесконечную дифференцируемость функций Буземана. Затем доказательство можно завершить, используя формулу Бохнера для построения параллельных векторных полей и теорему о разложении де Рама. Альтернативно, можно использовать теорию римановых погружений. Как следствие своей теоремы о расщеплении, Чигер и Громолл смогли доказать, что универсальное накрытие любого замкнутого многообразия с неотрицательной кривизной Риччи должно расщепляться изометрически как произведение замкнутого многообразия на евклидово пространство. Если универсальное накрытие топологически стягиваемо, то следует, что все участвующие метрики должны быть плоскими.

Any connected Riemannian manifold M has an underlying metric space structure, and this allows the definition of a geodesic line as a map c: ℝ → M such that the distance from c(s) to c(t) equals for arbitrary s and t. This is to say that the restriction of c to any bounded interval is a curve of minimal length which connects its endpoints. In 1971, Jeff Cheeger and Detlef Gromoll proved that, if a geodesically complete and connected Riemannian manifold of nonnegative Ricci curvature contains any geodesic line, then it must split isometrically as the product of a complete Riemannian manifold with ℝ. The proof was later simplified by Jost Eschenburg and Ernst Heintze. In 1936, Stefan Cohn Vossen had originally formulated and proved the theorem in the case of two dimensional manifolds, and Victor Toponogov had extended Cohn Vossen's work to higher dimensions, under the special condition of nonnegative sectional curvature. The proof can be summarized as follows. The condition of a geodesic line allows for two Busemann functions to be defined. These can be thought of as a normalized Riemannian distance function to the two endpoints of the line. From the fundamental Laplacian comparison theorem proved earlier by Eugenio Calabi, these functions are both superharmonic under the Ricci curvature assumption. Either of these functions could be negative at some points, but the triangle inequality implies that their sum is nonnegative. The strong maximum principle implies that the sum is identically zero and hence that each Busemann function is in fact (weakly) a harmonic function. Weyl's lemma implies the infinite differentiability of the Busemann functions. Then, the proof can be finished by using Bochner's formula to construct parallel vector fields, setting up the de Rham decomposition theorem. Alternatively, the theory of Riemannian submersions may be invoked. As a consequence of their splitting theorem, Cheeger and Gromoll were able to prove that the universal cover of any closed manifold of nonnegative Ricci curvature must split isometrically as the product of a closed manifold with a Euclidean space. If the universal cover is topologically contractible, then it follows that all metrics involved must be flat.

Теорема деления Лоренца

В 1982 году Шинг Тунг Яу предположил, что должна выполняться определенная лоренцева версия теоремы Чигера и Громолла. Доказательства в различных степенях общности были получены Джостом Эшенбургом, Грегори Галлоуэем и Ричардом Ньюманом. В этих результатах роль геодезической полноты заменяется либо условием глобальной гиперболичности, либо условием временной геодезической полноты. Неотрицательность кривизны Риччи заменяется условием временной сходимости, заключающимся в том, что кривизна Риччи неотрицательна во всех временных направлениях. Геодезическая линия должна быть временной.