Кіріспе
1=Қажетті түрде ассоциативтік коммутативтік алгебраға сәйкес келмейді (xy)x²=x(yx²)
Абстрактілік алгебрада Джордан алгебрасы – көбейтуі келесі аксиомаларды қанағаттандыратын өріс үстіндегі ассоциативтік емес алгебра:
(коммутативтік заң)
(Жордан тождестігі). Джордан алгебрасындағы x және y элементтерінің көбейтіндісі x ∘ y деп те белгіленеді, әсіресе байланысты ассоциативтік алгебраның көбейтіндісімен шатасуды болдырмау үшін. Аксиомалар Джордан алгебрасы қуат бойынша ассоциативті екенін білдіреді, яғни бұл өрнекті қалай жақшаға қоюдан тәуелсіз. Алгебралар бастапқыда "r сандық жүйелер" деп аталды, бірақ оларды жалпы Джордан алгебраларын жүйелі түрде зерттеуді бастаған П.Джордан "Джордан алгебралары" деп атады.
(Jordan identity). The product of two elements x and y in a Jordan algebra is also denoted x ∘ y, particularly to avoid confusion with the product of a related associative algebra. The axioms imply that a Jordan algebra is power associative, meaning that is independent of how we parenthesize this expression. They also imply The algebras were originally called "r number systems", but were renamed "Jordan algebras" by , who began the systematic study of general Jordan algebras.
Гермиттік Иордания алгебрасы
Егер (A, σ) инволюциясы σ болатын ассоциативтік алгебра болса, онда егер σ(x) = x және σ(y) = y болса, онда мынаны білеміз: Осылайша, инволюциямен өзгермейтін барлық элементтердің жиыны (кейде гермиттік элементтер деп аталады) A+ субальгебрасын құрайды, бұл кейде H(A,σ деп белгіленеді.
Мысалдар
1. Өзін-өзі қосатын нақты, кешенді немесе кватерниондық матрицалардың жиыны көбейту арқылы ерекше Джордан алгебрасын құрайды. 2. Октониондардағы 3×3 өзін-өзі қосатын матрицалар жиыны, қайтадан көбейту арқылы 27 өлшемді, ерекше Джордан алгебрасы болып табылады (октониондардың ассоциативті еместігіне байланысты ерекше). Бұл Альберт алгебрасының алғашқы мысалы. Оның автоморфизм тобы ерекше Лай тобы F4 болып табылады. Кешенді сандар бойынша изоморфизмге дейін жалғыз қарапайым ерекше Джордан алгебрасы болғандықтан,
form a special Jordan algebra. 2. The set of 3×3 self adjoint matrices over the octonions, again with multiplication
is a 27 dimensional, exceptional Jordan algebra (it is exceptional because the octonions are not associative). This was the first example of an Albert algebra. Its automorphism group is the exceptional Lie group F4. Since over the complex numbers this is the only simple exceptional Jordan algebra up to isomorphism,
Деривациялар мен құрылым алгебрасы
Джордан алгебрасының туындысы – A алгебрасының D эндоморфизмі, онда D(xy) = D(x)y + xD(y) теңдігі орындалады. Туындылар der(A) Ли алгебрасын құрайды. Джордан тождестігіне сәйкес, егер x және y – A элементтері болса, онда z-ді x(yz) – y(xz) өрнегіне бейнелейтін эндоморфизм туынды болып табылады. Осылайша, A және der(A) тікелей қосындысы Ли алгебрасына айналуы мүмкін, бұл A құрылымдық алгебрасы str(A) деп аталады. Гермиттік Джордан алгебралары H(A,σ) қарапайым мысал келтіреді. Бұл жағдайда, егер σ(x) = −x болса, кез келген x элементі A-ның туындысын анықтайды. Көптеген маңызды мысалдарда H(A,σ) құрылымдық алгебрасы A болып табылады. Туынды және құрылымдық алгебралар Фрейдентальдың сиқырлы квадратын құрудағы Титстің құрамына да кіреді.
Derivation and structure algebras also form part of Tits' construction of the Freudenthal magic square.
Шексіз өлшемді Джордан алгебралары
1979 жылы Ефим Зельманов шексіз өлшемді қарапайым (және бұрыштас емес) Жордан алгебраларын жіктеді. Олар Гермит немесе Клиффорд типті болады. Атап айтқанда, ерекше қарапайым Жордан алгебраларының жалғызы – 27 өлшемді Альберт алгебрасы.
Джордан операторының алгебрасы
Операторлық алгебралар теориясы Джордан операторлық алгебраларын қамтуға дейін кеңейтілді. C* алгебраларына сәйкес келетін алгебралар JB алгебралары болып табылады, ал шекті өлшемдерде олар Евклидтік Джордан алгебралары деп аталады. Нақты Джордан алгебрасындағы норма толық болуы керек және келесі аксиомаларды қанағаттандыруы керек: Бұл аксиомалар Джордан алгебрасының формальды түрде нақты екенін кепілдейді, яғни, егер мүшелердің квадраттарының қосындысы нөлге тең болса, онда олардың әрқайсысы нөлге тең болуы керек. JB алгебраларының кешендік кеңейтімдері Джордан C* алгебралары немесе JB* алгебралары деп аталады. Олар шектелген симметриялық домендерді Кехердің Джордан алгебралық тәсілімен шексіз өлшемдерге дейін кеңейту үшін күрделі геометрияда кеңінен қолданылады. Барлық JB алгебраларын Гильберт кеңістігіндегі өзін-өзі қосатын операторлардың Джордан алгебралары ретінде жүзеге асыру мүмкін емес, дәл шекті өлшемдердегідей. Мұның негізгі себебі – ерекше Альберт алгебрасы. Фон Нейман алгебраларының Джордан алгебралық аналогы JBW алгебралары болып табылады. Бұл JB алгебралары болып шығады, олар Банах кеңістіктері ретінде Банах кеңістіктерінің дуалды кеңістіктері болып табылады. Фон Нейман алгебраларының құрылымдық теориясының көп бөлігі JBW алгебраларына көшірілуі мүмкін. Атап айтқанда, ортасы R-ге дейін қысқартылған JBW факторлары Фон Нейман алгебралары тұрғысынан толыққанды түсіндірілген. Ерекше Альберт алгебрасынан басқа, барлық JWB факторларын әлсіз операторлық топологияда жабық Гильберт кеңістігіндегі өзін-өзі қосатын операторлардың Джордан алгебралары ретінде жүзеге асыруға болады. Олардың ішінде спин факторларын нақты Гильберт кеңістіктерінен өте қарапайым түрде құрастыруға болады. Қалған барлық JWB факторлары Фон Нейман факторларының өзін-өзі қосатын бөлігі немесе Фон Нейман факторларының 2-реттік антиавтоморфизмі бойынша оның тұрақты нүктелік субальгебрасы болып табылады.
These axioms guarantee that the Jordan algebra is formally real, so that, if a sum of squares of terms is zero, those terms must be zero. The complexifications of JB algebras are called Jordan C* algebras or JB* algebras. They have been used extensively in complex geometry to extend Koecher's Jordan algebraic treatment of bounded symmetric domains to infinite dimensions. Not all JB algebras can be realized as Jordan algebras of self adjoint operators on a Hilbert space, exactly as in finite dimensions. The exceptional Albert algebra is the common obstruction. The Jordan algebra analogue of von Neumann algebras is played by JBW algebras. These turn out to be JB algebras which, as Banach spaces, are the dual spaces of Banach spaces. Much of the structure theory of von Neumann algebras can be carried over to JBW algebras. In particular the JBW factors—those with center reduced to R—are completely understood in terms of von Neumann algebras. Apart from the exceptional Albert algebra, all JWB factors can be realised as Jordan algebras of self adjoint operators on a Hilbert space closed in the weak operator topology. Of these the spin factors can be constructed very simply from real Hilbert spaces. All other JWB factors are either the self adjoint part of a von Neumann factor or its fixed point subalgebra under a period 2 * antiautomorphism of the von Neumann factor.
Иордания сақиналары
Джордан сақинасы — Джордан алгебраларының жалпылама түрі, ол үшін Джордан сақинасының өріс емес, жалпы сақинаның үстінде болуы талап етіледі. Басқаша айтқанда, Джордан сақинасын Джордан тождестігін сақтайтын коммутативті, ассоциативті емес сақина деп анықтауға болады.
J-құрылыстар
J құрылымы туралы түсінік, Иордания алгебраларының теориясын сызықтық алгебралық топтар мен аксиомалар арқылы дамыту мақсатында енгізілді, онда Иордания инверсиясы негізгі операция, ал Хуаның өзіндігі (тождествосы) негізгі қатынас ретінде қарастырылды. Егер сипаттамасы 2-ге тең болмаса, J құрылымдарының теориясы Иордания алгебраларының теориясымен шамалас болады.
Квадраттық Джордан алгебралары
Квадраттық Джордан алгебралары – (сызықтық) Джордан алгебраларының жалпылауы болып табылады. Сызықтық Джордан алгебрасының квадраттық өрнектеуінің негізгі теңдіктері, кез келген сипаттамалы өріс үстіндегі квадраттық Джордан алгебрасын анықтау үшін аксиомалар ретінде пайдаланылады. Шешілмейтін, шекті өлшемді қарапайым квадраттық Джордан алгебраларының біртұтас сипаттамасы бар: егер сипаттамасы 2-ге тең болмаса, квадраттық Джордан алгебраларының теориясы сызықтық Джордан алгебраларының теориясына дейін тоғысып келеді.