Введение

1=Не обязательно ассоциативная коммутативная алгебра, удовлетворяющая равенству (xy)x² = x(yx²).

В абстрактной алгебре, алгебра Джордана — это неассоциативная алгебра над полем, умножение в которой удовлетворяет следующим аксиомам:

(коммутативный закон)
(тождество Джордана). Произведение двух элементов x и y в алгебре Джордана также обозначается как x ∘ y, особенно для избежания путаницы с произведением соответствующей ассоциативной алгебры. Аксиомы подразумевают, что алгебра Джордана обладает степенной ассоциативностью, то есть результат выражения не зависит от расстановки скобок. Они также подразумевают, что эти алгебры первоначально назывались «r-числовыми системами», но были переименованы в «алгебры Джордана» П. Иорданом, который начал систематическое изучение общих алгебр Джордана.

Гермитовская алгебра Джордана

Если (A, σ) — ассоциативная алгебра с инволюцией σ, то из σ(x) = x и σ(y) = y следует, что множество всех элементов, фиксированных инволюцией (иногда называемых эрмитовыми элементами), образует субальгебру A+, которая иногда обозначается H(A,σ).

Примеры

1. Множество самосопряжённых вещественных, комплексных или квартионных матриц с операцией умножения образует специальную алгебру Джордана. 2. Множество 3×3 самосопряжённых матриц над октонионами, также с операцией умножения, является 27-мерной исключительной алгеброй Джордана (она исключительна, поскольку октонионы не обладают свойством ассоциативности). Это был первый пример алгебры Альберта. Её группа автоморфизмов — исключительная группа Ли F4. Поскольку над комплексными числами это единственная простая исключительная алгебра Джордана с точностью до изоморфизма.

Произведения и структура алгебры

Производной алгебры Джордана A называется эндоморфизм D алгебры A, такой что D(xy) = D(x)y + xD(y). Производные образуют алгебру Ли der(A). Идентичность Джордана влечет, что если x и y – элементы A, то эндоморфизм, отображающий z в x(yz) – y(xz), является производной. Таким образом, прямая сумма A и der(A) может быть наделена структурой алгебры Ли, называемой алгеброй структуры A, str(A). Простой пример предоставляют эрмитовы алгебры Джордана H(A, σ). В этом случае любой элемент x из A, для которого σ(x) = −x, определяет производную. Во многих важных примерах алгебра структуры H(A, σ) совпадает с A.

Алгебры производных и структур также являются частью построения Титса магического квадрата Фройденталя.

Бесконечные измерения Джордан алгебры

В 1979 году Эфим Зельманов классифицировал бесконечномерные простые (и простые недегенерированные) алгебры Джордана. Они либо эрмитового, либо клиффордова типа. В частности, единственными исключительными простыми алгебрами Джордана являются конечномерные алгебры Альберта, имеющие размерность 27.

Алгебры оператора Джордана

Теория операторных алгебр была расширена на операторные алгебры Джордана. Аналогами C*-алгебр являются JB-алгебры, которые в конечномерном случае называются евклидовыми алгебрами Джордана. Норма на вещественной алгебре Джордана должна быть полной и удовлетворять аксиомам:

Эти аксиомы гарантируют, что алгебра Джордана является формально вещественной, то есть, если сумма квадратов элементов равна нулю, то и сами элементы должны быть равны нулю. Комплексификации JB-алгебр называются алгебрами Джордана C* или JB*-алгебрами. Они широко используются в комплексной геометрии для расширения алгебраического подхода Кёхера к ограниченным симметричным областям на бесконечномерный случай. Не все JB-алгебры могут быть реализованы как алгебры Джордана самосопряженных операторов на гильбертовом пространстве, как и в конечномерном случае. Исключительная алгебра Альберта является общим препятствием. Роль аналога алгебр фон Неймана в теории алгебр Джордана играют JBW-алгебры. Они оказываются JB-алгебрами, которые, как банаховы пространства, являются дуальными пространствами банаховых пространств. Значительная часть теории структуры алгебр фон Неймана может быть перенесена на JBW-алгебры. В частности, JBW-факторы – те, у которых центр редуцирован к R – полностью изучены в терминах алгебр фон Неймана. За исключением исключительной алгебры Альберта, все JWB-факторы могут быть реализованы как алгебры Джордана самосопряженных операторов на гильбертовом пространстве, замкнутом в слабой операторной топологии. Из них спинорные факторы могут быть построены очень просто из вещественных гильбертовых пространств. Все остальные JWB-факторы являются либо самосопряженной частью фактора фон Неймана, либо его субальгеброй, фиксированной под антиавтоморфизмом периода 2 фактора фон Неймана.

Кольца Джордана

Кольцо Джордана — это обобщение алгебры Джордана, требующее, чтобы кольцо Джордана было определено над произвольным кольцом, а не только над полем. Альтернативно, кольцо Джордана можно определить как коммутативное неассоциативное кольцо, удовлетворяющее тождеству Джордана.

J-структуры

Концепция J-структуры была введена для разработки теории алгебр Джордана с использованием линейных алгебраических групп и аксиом, принимая операцию инверсии Джордана за базовую и тождество Хуа за базовое соотношение. В характеристике, отличной от 2, теория J-структур по существу совпадает с теорией алгебр Джордана.

Квадратные алгебры Джордана

Квадратичные алгебры Джордана являются обобщением (линейных) алгебр Джордана, введенным посредством фундаментальных тождеств квадратичного представления линейной алгебры Джордана, которые используются в качестве аксиом для определения квадратичной алгебры Джордана над полем произвольной характеристики. Существует единообразное описание конечномерных простых квадратичных алгебр Джордана, не зависящее от характеристики: при характеристике, отличной от 2, теория квадратичных алгебр Джордана сводится к теории линейных алгебр Джордана.