Кіріспе
Модель теориясындағы тұжырымдама. Математикалық логиканың бір саласы – модель теориясында, егер екі құрылым M және N бірдей қолтаңба σ-ға ие болса және бірдей бірінші реттік σ сөйлемдерін қанағаттандырса, олар элементарлық эквивалентті деп аталады. Егер N, M құрылымының кіші құрылымы болса, көбінесе күштірек шарт қажет болады. Осы жағдайда, N, егер a1, ..., an параметрлері бар кез келген бірінші реттік σ формуласы φ(a1, ..., an) N-де дұрыс болса және тек қана M-де дұрыс болса, M құрылымының элементарлық кіші құрылымы деп аталады. Егер N, M құрылымының элементарлық кіші құрылымы болса, онда M, N құрылымының элементарлық кеңейтімі деп аталады. h: N → M енгізуі, егер h(N), M құрылымының элементарлық кіші құрылымы болса, N құрылымының M құрылымына элементарлық енгізілуі деп аталады.
In model theory, a branch of mathematical logic, two structures M and N of the same signature σ are called elementarily equivalent if they satisfy the same first order σ sentences. If N is a substructure of M, one often needs a stronger condition. In this case N is called an elementary substructure of M if every first order σ formula φ(a1, , an) with parameters a1, , an from N is true in N if and only if it is true in M.
If N is an elementary substructure of M, then M is called an elementary extension of N. An embedding h: N → M is called an elementary embedding of N into M if h(N) is an elementary substructure of M.
A substructure N of M is elementary if and only if it passes the Tarski–Vaught test: every first order formula φ(x, b1, , bn) with parameters in N that has a solution in M also has a solution in N when evaluated in M. One can prove that two structures are elementarily equivalent with the Ehrenfeucht–Fraïssé games. Elementary embeddings are used in the study of large cardinals, including rank into rank.
Кіші құрылым N, M құрылымының элементарлық кіші құрылымы болып табылады, және тек қана егер ол Тарски–Воут тестінен өтетін болса: N-де параметрлері бар және M-де шешімі бар кез келген бірінші реттік формула φ(x, b1, ..., bn) M-де бағаланғанда N-де де шешімге ие болады. Екі құрылымның элементарлық эквивалентті екенін Эренфейхт–Фрайссе ойындары арқылы дәлелдеуге болады. Элементарлық енгізілулер ірі кардиналдарды зерттеуде, соның ішінде қатардан қатарға дейінгі аралықта қолданылады.
In model theory, a branch of mathematical logic, two structures M and N of the same signature σ are called elementarily equivalent if they satisfy the same first order σ sentences. If N is a substructure of M, one often needs a stronger condition. In this case N is called an elementary substructure of M if every first order σ formula φ(a1, , an) with parameters a1, , an from N is true in N if and only if it is true in M.
If N is an elementary substructure of M, then M is called an elementary extension of N. An embedding h: N → M is called an elementary embedding of N into M if h(N) is an elementary substructure of M.
A substructure N of M is elementary if and only if it passes the Tarski–Vaught test: every first order formula φ(x, b1, , bn) with parameters in N that has a solution in M also has a solution in N when evaluated in M. One can prove that two structures are elementarily equivalent with the Ehrenfeucht–Fraïssé games. Elementary embeddings are used in the study of large cardinals, including rank into rank.
Негізгі тең құрылымдар
Бірдей қолтаңбасы σ бар M және N екі құрылым элементарлық эквивалентті болады, егер σ үстіндегі кез келген бірінші реттік сөйлем (еркін айнымалылары жоқ формула) M-де дұрыс болса және тек қана N-де дұрыс болса, яғни M мен N-нің толық бірінші реттік теориясы бірдей болса. Егер M және N элементарлық эквивалентті болса, онда M ≡ N деп жазылады.
Бірінші реттік теория толық болады, егер және тек егер оның кез келген екі моделі элементарлық эквивалентті болса. Мысалы, бір бинарлық қатынас символы '<' бар тілді қарастырайық. Кәдімгі ретпен нақты сандардың R моделі және кәдімгі ретпен рационалды сандардың Q моделі элементарлық эквивалентті, өйткені екеуі де '<' символын шексіз тығыз сызықтық рет ретінде интерпретациялайды. Бұл элементарлық эквиваленттілікті қамтамасыз ету үшін жеткілікті, себебі Лось-Вау тестінде көрсетілгендей, шексіз тығыз сызықтық реттердің теориясы толық. Жалпы алғанда, шексіз модельге ие кез келген бірінші реттік теорияда изоморфты емес, бірақ элементарлық эквивалентті модельдер болады, оларды Лёвенхайм-Сколем теоремасы арқылы алуға болады. Мысалы, Пеано арифметикасының стандартты емес модельдері бар, олар 0, 1, 2 және т.б. сандардан басқа да объектілерді қамтиды, бірақ стандартты модельге элементарлық эквивалентті.
Тарски-Ваутт сынағы
Тарски–Вот сынағы (немесе Тарски–Вот критерийі) – M құрылымының N субструктурасының элементарлық субструктура болуы үшін қажетті және жеткілікті шарт. Ол үлкен құрылымның элементарлық субструктурасын құруға пайдалы болуы мүмкін. M – σ белгісі бар құрылым, ал N – M-нің субструктурасы болсын. N, M-нің элементарлық субструктурасы болады, егер және тек қана егер σ үстіндегі кез келген φ(x, y1, …, yn) бірінші реттік формуласы және N-ден алынған барлық b1, …, bn элементтері үшін, егер M ⊧ x φ(x, b1, …, bn) болса, онда N-де a элементі бар, яғни M ⊧ φ(a, b1, …, bn).