Кіріспе
Математикалық функция. Математикада алгебралық функция — бұл иррационалды көпмүше теңдеудің түбірі ретінде анықталатын функция. Алгебралық функциялар көбінесе шекті сандағы мүшелерді қолдана отырып, тек алгебралық амалдарды – қосу, алу, көбейту, бөлу және бөлшектік дәрежеге көтеруді қамтитын алгебралық өрнектер болып табылады. Мұндай функциялардың мысалдары:
In mathematics, an algebraic function is a function that can be defined
as the root of an irreducible polynomial equation. Algebraic functions are often algebraic expressions using a finite number of terms, involving only the algebraic operations addition, subtraction, multiplication, division, and raising to a fractional power. Examples of such functions are:
Дегенмен, кейбір алгебралық функцияларды мұндай шекті өрнектермен көрсету мүмкін емес (бұл Абель-Руффини теоремасы). Мысалы, Брин радикалы осыған жатады, ол функцияны имплицитті түрде анықтайды:
Нақтырақ айтқанда, бір айнымалыдағы x-тің n дәрежелі алгебралық функциясы – бұл өзінің анықталу облысында үздіксіз және оң дәрежелі көпмүше теңдеуді қанағаттандыратын функция, онда коэффициенттер ai(x) – x-тің көпмүше функциялары, бүтін сандық коэффициенттерімен. Егер ai(x) коэффициенттері үшін алгебралық сандар қабылданатын болса, функциялардың сол класы алынады. Егер коэффициенттерде трансценденттік сандар кездессе, функция, әдетте, алгебралық емес, бірақ ол осы коэффициенттермен туындаған өріс бойынша алгебралық болып табылады. Алгебралық функцияның рационал сан мәнінде және жалпы алғанда алгебралық сан мәнінде әрқашан алгебралық сан болады. Кейде R сақинасындағы көпмүшелік коэффициенттер қарастырылады, сонда «R бойынша алгебралық функциялар» туралы сөз болады. Алгебралық емес функция трансценденттік функция деп аталады, мысалы, трансценденттік функциялардың композициясы алгебралық функция бере алады:
n дәрежелі көпмүше теңдеуде n-ге дейін түбірлер болуы мүмкін (және алгебралық жабық өрісте, мысалы, комплекс сандарда дәл n түбір болады), сондықтан көпмүше теңдеу бір функцияны емес, n-ге дейін функцияларды анықтайды, олар кейде тармақтар деп те аталады. Мысалы, бірлік шеңбер теңдеуін қарастырайық:
As a polynomial equation of degree n has up to n roots (and exactly n roots over an algebraically closed field, such as the complex numbers), a polynomial equation does not implicitly define a single function, but up to n
functions, sometimes also called branches. Consider for example the equation of the unit circle:
Бұл y-ді анықтайды, бірақ тек жалпы белгіге дейін ғана; сәйкесінше, оның екі тармағы бар:
m айнымалыдағы алгебралық функция m+1 айнымалыдағы көпмүше теңдеуді шешетін функция ретінде ұқсас анықталады:
Көбінесе p иррационалды көпмүше болуы керек деп есептеледі. Алгебралық функцияның бар екендігіне имплицитті функция теоремасы кепілдік береді. Формальды түрде, K өрісіндегі m айнымалыдағы алгебралық функция – K(x1, …, xm) рационалды функциялар өрісінің алгебралық жабылуының элементі болып табылады.
Тарих
Алгебралық функцияларға қатысты идеялар кем дегенде Рене Декартқа дейін жетеді. Алгебралық функциялар туралы алғашқы талқылау 1794 жылы Эдвард Уорингтің "Адам білімінің қағидалары туралы эссесінде" кездеседі, онда ол былай деп жазады: егер бір сан ординатаны білдірсе, оны x абсциссасының алгебралық функциясы деп есептейік, содан кейін бөлудің және түбірлерді шығарудың қалыпты әдістерімен оны x-тің дәрежесіне қарай өсетін немесе төмендейтін шексіз қатарға келтіріп, содан кейін нәтижеде алынған әрбір мүшенің интегралын табыңыз.
let a quantity denoting the ordinate, be an algebraic function of the abscissa x, by the common methods of division and extraction of roots, reduce it into an infinite series ascending or descending according to the dimensions of x, and then find the integral of each of the resulting terms.