Кіріспе
2-ретті ядролық оператор; Хилберт кеңістігіндегі tr(A*A) шекті болатын шекті оператор А. Математикада, Дэвид Хилберт және Эрхард Шмидт есімімен аталатын Хилберт-Шмидт операторы – Хилберт кеңістігінде әрекет ететін және шекті Хилберт-Шмидт нормасына ие оператор.
In mathematics, a Hilbert–Schmidt operator, named after David Hilbert and Erhard Schmidt, is a bounded operator that acts on a Hilbert space and has finite Hilbert–Schmidt norm
мұндағы – ортонормалданған база. Индекс жиыны санаулы болуы міндетті емес. Дегенмен, оң жақтағы қосындының мағынасы болуы үшін нөлден өзгеше мүшелердің саны санаулы болуы керек. Бұл анықтама ортонормалданған базаның таңдалуына тәуелді емес. Шектелген өлшемді Евклид кеңістігінде Хилберт-Шмидт нормасы Фробениус нормасына сәйкес келеді.
Бірлік
Хилберт-Шмидт нормасы ортонормальды негізді таңдауға байланысты емес. Шындығында, егер және осындай негіздер болса, онда егер болса, сондай-ақ кез келген шектелген оператор үшін, бірінші формуладағы -ты -мен алмастырсақ, келесісі шығады. Осыдан тәуелсіздік келіп шығады.
If then As for any bounded operator, Replacing with in the first formula, obtain The independence follows.
Қасиеттері
Кез келген Хилберт–Шмидт операторы T: H → H – компакт оператор. T: H → H шектелген сызықты оператор Хилберт–Шмидт операторы болады, егер және тек қана осыған ұқсас операторы үшін де осы шарт орындалса, онда T және |T| Хилберт–Шмидт нормалары тең болады. Хилберт–Шмидт операторлары 2-ретті ядролық операторлар болып табылады, сондықтан олар компакт операторлар болып табылады. Егер және Хилберт кеңістіктері арасындағы Хилберт–Шмидт операторлары болса, онда олардың композициясы ядролық оператор болады. Егер T: H → H шектелген сызықты оператор болса, онда T – Хилберт–Шмидт операторы, егер және тек қана оң жартылай анықталған өзіне-өзі қосымша оператордың із шекті болса, онда . Егер T: H → H кеңістігі H-дағы шектелген сызықты оператор болса және S: H → H кеңістігі H-дағы Хилберт–Шмидт операторы болса, онда , , және . Атап айтқанда, екі Хилберт–Шмидт операторларының композициясы қайтадан Хилберт–Шмидт (сонымен қатар із класы операторы) болады. H кеңістігіндегі Хилберт–Шмидт операторларының кеңістігі – шекті ретті операторларды қамтитын шектелген операторлар кеңістігінің идеалы. Егер A кеңістігі H-дағы Хилберт–Шмидт операторы болса, онда , мұнда – H кеңістігінің ортонормалдық базасы, ал – 1 = p = 2 үшін A операторының Шаттен нормасы. Евклид кеңістігінде бұл Фробениус нормасы деп те аталады.
T is a Hilbert–Schmidt operator if and only if the trace of the nonnegative self adjoint operator is finite, in which case If T : H → H is a bounded linear operator on H and S : H → H is a Hilbert–Schmidt operator on H then , , and In particular, the composition of two Hilbert–Schmidt operators is again Hilbert–Schmidt (and even a trace class operator). The space of Hilbert–Schmidt operators on H is an ideal of the space of bounded operators that contains the operators of finite rank. If A is a Hilbert–Schmidt operator on H then where is an orthonormal basis of H, and is the Schatten norm of for 1=p = 2. In Euclidean space, is also called the Frobenius norm.