Введение
Ядерный оператор порядка 2; ограниченный оператор A в гильбертовом пространстве H, для которого tr(A*A) конечно. В математике оператор Гильберта — Шмидта, названный в честь Давида Гильберта и Эрхарда Шмидта, — это ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве и имеющий конечную норму Гильберта — Шмидта, где — ортонормальный базис. Множество индексов не обязано быть счетным. Однако, сумма справа должна содержать не более счетного числа ненулевых слагаемых, чтобы быть осмысленной. Это определение не зависит от выбора ортонормального базиса. В конечномерном евклидовом пространстве норма Гильберта — Шмидта совпадает с нормой Фробениуса.
In mathematics, a Hilbert–Schmidt operator, named after David Hilbert and Erhard Schmidt, is a bounded operator that acts on a Hilbert space and has finite Hilbert–Schmidt norm
where is an orthonormal basis. The index set need not be countable. However, the sum on the right must contain at most countably many non zero terms, to have meaning. This definition is independent of the choice of the orthonormal basis. In finite dimensional Euclidean space, the Hilbert–Schmidt norm is identical to the Frobenius norm.
"Один" - это хорошо определено.
Норма Гильберта-Шмидта не зависит от выбора ортонормального базиса. Действительно, если и — такие базисы, то
Если , то . Как и для любого ограниченного оператора, . Заменяя в первой формуле на , получим . Независимость следует из этого.
Свойства
Каждый оператор Гильберта — Шмидта T : H → H является компактным оператором. Ограниченный линейный оператор T : H → H является оператором Гильберта — Шмидта тогда и только тогда, когда то же самое верно для оператора |T|, в этом случае нормы Гильберта — Шмидта операторов T и |T| равны. Операторы Гильберта — Шмидта являются ядерными операторами порядка 2 и, следовательно, компактными операторами. Если T и S — операторы Гильберта — Шмидта между гильбертовыми пространствами, то композиция TS является ядерным оператором. Если T : H → H — ограниченный линейный оператор, то T является оператором Гильберта — Шмидта тогда и только тогда, когда трасса неотрицательного самосопряжённого оператора T*T конечна, в этом случае tr(T*T) = ||T||<sub>HS</sub><sup>2</sup>. Если T : H → H — ограниченный линейный оператор на H и S : H → H — оператор Гильберта — Шмидта на H, то ||TS|| ≤ ||T|| ||S||, ||ST|| ≤ ||S|| ||T|| и ||TS - ST|| ≤ 2||T|| ||S||. В частности, композиция двух операторов Гильберта — Шмидта снова является оператором Гильберта — Шмидта (и даже оператором класса трассы). Пространство операторов Гильберта — Шмидта на H является идеалом в пространстве ограниченных операторов, содержащим операторы конечного ранга. Если A — оператор Гильберта — Шмидта на H, то A = Σ<sub>i</sub> a<sub>i</sub>⟨e<sub>i</sub>, ·⟩e<sub>i</sub>, где {e<sub>i</sub>} — ортонормальный базис H, а ||A||<sub>p</sub> — норма Шаттена для p = 2. В евклидовом пространстве норма Шаттена также называется нормой Фробениуса.
T is a Hilbert–Schmidt operator if and only if the trace of the nonnegative self adjoint operator is finite, in which case If T : H → H is a bounded linear operator on H and S : H → H is a Hilbert–Schmidt operator on H then , , and In particular, the composition of two Hilbert–Schmidt operators is again Hilbert–Schmidt (and even a trace class operator). The space of Hilbert–Schmidt operators on H is an ideal of the space of bounded operators that contains the operators of finite rank. If A is a Hilbert–Schmidt operator on H then where is an orthonormal basis of H, and is the Schatten norm of for 1=p = 2. In Euclidean space, is also called the Frobenius norm.