Кіріспе

Топологиялық кеңістіктің ішкі бөлігіне жатпайтын барлық нүктелер. Топологияда және жалпы математикада, X топологиялық кеңістігінің S ішкі жиынының шекарасы – S жабуындағы, бірақ S ішкі бөлігіне жатпайтын нүктелер жиынтығы. S шекарасының кез келген элементі S шекаралық нүктесі деп аталады. Шекаралық операция термині жиынтықтың шекарасын табу немесе алу процесін білдіреді. S жиынының шекарасын белгілеу үшін және белгілері қолданылады. Кейбір авторлар (мысалы, Уиллард, "Жалпы Топология" еңбегінде) алгебралық топологияда және көптүрліліктер теориясында қолданылатын басқа анықтамамен шатасуды болдырмау үшін "шекара" терминінің орнына "шегі" терминін қолдануды ұсынады. "Шекара" және "шегі" терминдерінің мағынасы кеңінен қабылдалғанымен, олар кейде басқа жиынтықтарды көрсету үшін де қолданылады. Мысалы, Е.Т. Копсонның "Метрикалық кеңістіктер" еңбегінде Хаусдорф шекарасын көрсету үшін "шекара" термині қолданылады, ол жиынның және оның шекарасының қиылысы ретінде анықталады. Хаусдорф сондай-ақ "қалдық" терминін енгізді, ол жиынның толықтығының шекарасының жабылуымен жиынның қиылысы ретінде анықталады.

Нақты мысалдар

Нақты сызықты әдеттегі топологиямен қарастырайық (яғни, негізгі жиындары ашық аралықтар болатын топология) және рационал сандардың ішкі жиынын (оның топологиялық ішкі бөлігі бос). Содан кейін

Бұл соңғы екі мысал тығыз жиынның бос ішкі бөлігі бар шекарасы оның жабылуына тең екенін көрсетеді. Олар сондай-ақ, ішкі жиынның шекарасында бос емес ашық ішкі жиын болуы мүмкін екенін, яғни ішкі жиынның ішкі бөлігі бос емес болуы мүмкін екенін көрсетеді. Дегенмен, жабық ішкі жиынның шекарасы әрқашан бос ішкі бөлікке ие. Рационал сандар кеңістігінде әдеттегі топологиямен (ішкі кеңістіктің топологиясы), егер шекарасы иррационал болса, бос болады. Жинақтың шекарасы – топологиялық ұғым және топология өзгерсе, ол да өзгеруі мүмкін. Мысалы, жабық дискте әдеттегі топологияны қарастырғанда, шекара – дискті қоршаған шеңбер: Егер диск өзінің әдеттегі топологиясымен жиын ретінде қарастырылса, яғни , онда диск шекарасы – дисктің өзі: Егер диск өзінің топологиялық кеңістігі ретінде қарастырылса (ішкі кеңістіктің топологиясы), онда диск шекарасы бос.

Шекараның шекарасы

Кез келген жиын үшін, егер және тек егер жиынның шекарасында ішкі нүктелер болмаса, онда супержиынды білдіреді, яғни теңдік орындалады. Мысалы, егер жиын жабық немесе ашық болса. Жиынның шекарасы жабық болғандықтан, кез келген жиын үшін. Сондықтан шекара операторы әлсіз идемпотенция қасиетін қанағаттандырады. Көптүрліліктердің немесе симплекстердің және олардың симплекстік кешендерінің шекараларын қарастырғанда, шекараның шекарасы әрқашан бос екендігі туралы жиі кездесетін мәлімдеме бар. Шындығында, жекеше гомологияның құрылысы осы фактіге тікелей байланысты. Көрінетін қайшылықтың себебі – топологиялық шекара (осы мақаланың тақырыбы) көптүрлілік немесе симплекстік кешеннің шекарасынан сәл өзгеше ұғым болып табылады. Мысалы, көптүрлілік ретінде қарастырылған ашық дискінің шекарасы бос, сондай-ақ оның өзінің ішкі жиыны ретінде қарастырылған топологиялық шекарасы да бос. Ал нақты жазықтықтың ішкі жиыны ретінде қарастырылған топологиялық шекарасы – дискты қоршап тұрған шеңбер. Керісінше, көптүрлілік ретінде қарастырылған жабық дискінің шекарасы – шекаралық шеңбер, ал нақты жазықтықтың ішкі жиыны ретінде қарастырылған топологиялық шекарасы да соған сәйкес келеді, бірақ оның өзінің ішкі жиыны ретінде қарастырылған топологиялық шекарасы бос. Яғни, топологиялық шекара қоршаған кеңістікке тәуелді, ал көптүрліліктің шекарасы өзгермейді (инвариант).