Введение
Все точки, не являющиеся частью внутренней области подмножества топологического пространства. В топологии и математике в целом, границей подмножества S топологического пространства X является множество точек, принадлежащих замыканию S, но не принадлежащих внутренней области S. Элемент границы S называется граничной точкой S. Термин "операция взятия границы" относится к нахождению или определению границы множества. Обозначения границы множества S включают ∂S и bd(S). Некоторые авторы (например, Уиллард в "Общей топологии") используют термин "фронтир" (frontier) вместо "границы" (boundary) в попытке избежать путаницы с другим определением, используемым в алгебраической топологии и теории многообразий. Несмотря на широкое признание значений терминов "граница" и "фронтир", они иногда используются для обозначения других множеств. Например, в книге "Метрические пространства" Э. Т. Копсона термин "граница" используется для обозначения границы Гаусдорфа, которая определяется как пересечение множества с его границей. Гаусдорф также ввёл термин "остаток" (residue), который определяется как пересечение множества с замыканием границы его дополнения.
In topology and mathematics in general, the boundary of a subset S of a topological space X is the set of points in the closure of S not belonging to the interior of S. An element of the boundary of S is called a boundary point of S. The term boundary operation refers to finding or taking the boundary of a set. Notations used for boundary of a set S include and
Some authors (for example Willard, in General Topology) use the term frontier instead of boundary in an attempt to avoid confusion with a different definition used in algebraic topology and the theory of manifolds. Despite widespread acceptance of the meaning of the terms boundary and frontier, they have sometimes been used to refer to other sets. For example, Metric Spaces by E. T. Copson uses the term boundary to refer to Hausdorff's border, which is defined as the intersection of a set with its boundary. Hausdorff also introduced the term residue, which is defined as the intersection of a set with the closure of the border of its complement.
Конкретные примеры
Рассмотрим вещественную прямую с обычной топологией (то есть топологией, базовыми множествами которой являются открытые интервалы) и подмножество рациональных чисел (топологический интерьер которого пуст). Эти два последних примера иллюстрируют тот факт, что граница плотного множества с пустым интерьером совпадает с его замыканием. Они также показывают, что граница подмножества может содержать непустое открытое подмножество исходного пространства; то есть, внутренность границы в исходном пространстве может быть непустой. Однако граница замкнутого подмножества всегда имеет пустой интерьер. В пространстве рациональных чисел с обычной топологией (топология подпространства вещественной прямой), граница множества, состоящего из иррациональных чисел, пуста. Граница множества – это топологическое понятие и может меняться при изменении топологии. Например, при обычной топологии на плоскости границей замкнутого диска является окружающая его окружность. Если же диск рассматривать как множество на плоскости с её обычной топологией, то есть, , то границей диска является сам диск. Если диск рассматривать как собственное топологическое пространство (с подпространственной топологией плоскости), то граница диска пуста.
These last two examples illustrate the fact that the boundary of a dense set with empty interior is its closure. They also show that it is possible for the boundary of a subset to contain a non empty open subset of ; that is, for the interior of in to be non empty. However, a closed subset's boundary always has an empty interior. In the space of rational numbers with the usual topology (the subspace topology of ), the boundary of where is irrational, is empty. The boundary of a set is a topological notion and may change if one changes the topology. For example, given the usual topology on the boundary of a closed disk is the disk's surrounding circle: If the disk is viewed as a set in with its own usual topology, that is, then the boundary of the disk is the disk itself: If the disk is viewed as its own topological space (with the subspace topology of ), then the boundary of the disk is empty.
Граница границы
Для любого множества, где обозначает супермножество, причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда граница не имеет внутренних точек, что, например, будет верно, если множество замкнуто или открыто. Поскольку граница множества замкнута, для любого множества оператор границы таким образом удовлетворяет ослабленной форме идемпотентности. При обсуждении границ многообразий или симплексов и их симплициальных комплексов часто встречается утверждение, что граница границы всегда пуста. Действительно, построение сингулярной гомологии критически зависит от этого факта. Объяснение кажущегося противоречия заключается в том, что топологическая граница (предмет данной статьи) – это несколько иная концепция, чем граница многообразия или симплициального комплекса. Например, граница открытого диска, рассматриваемого как многообразие, пуста, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, тогда как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, представляет собой окружность, окружающую диск. И наоборот, граница замкнутого диска, рассматриваемого как многообразие, является ограничивающей окружностью, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, тогда как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, пуста. В частности, топологическая граница зависит от окружающего пространства, в то время как граница многообразия инвариантна.