Кіріспе

Фурье анализінде көбейту операторы – сызықтық оператордың немесе функциялардың түрлендіруінің бір түрі. Бұл операторлар функцияға оның Фурье түрлендірмесін өзгерту арқылы әсер етеді. Нақтырақ айтқанда, олар функцияның Фурье түрлендірмесін көбейтуші немесе символ деп аталатын функцияға көбейтеді. Кейде көбейту операторы термині жай ғана көбейтуші деп қысқартылады. Қарапайым тілмен айтқанда, көбейтуші кез келген функцияның жиілік құрамын өзгертеді. Операторлардың бұл класы өте кең: жалпы теория көрсеткендей, белгілі бір (өте жұмсақ) тұрақтылық шарттарын қанағаттандыратын топтағы трансляциялық инвариантты операторды көбейту операторы ретінде де, керісінше де көрсетуге болады. Көптеген таныс операторлар, мысалы, трансляциялар және дифференциалдау, көбейту операторлары болып табылады, бірақ Гильберт түрлендіруі сияқты одан да күрделі мысалдар бар. Сигналды өңдеуде көбейту операторы "сүзгі" деп аталады, ал көбейтуші – сүзгінің жиілік жауабы (немесе беру функциясы). Кең мағынада, көбейту операторлары – оператордың (немесе өзара ауысып-қону операторлар тобының) функционалдық есебінен туындайтын спектрлік көбейту операторларының ерекше жағдайлары. Олар сондай-ақ псевдодифференциалдық операторлардың және жалпы алғанда Фурье интегралды операторлардың ерекше жағдайлары болып табылады. Бұл салаға қатысты әлі де ашық қалған сұрақтар бар, мысалы, Lp-шектелген көбейту операторларын сипаттау (төменде қараңыз). Көбейту операторлары Лагранж көбейтушілерімен байланысты емес, олардың екеуі де көбейту операциясын қолданады. Фурье түрлендіруі туралы қажетті ақпаратты сол беттен қараңыз. Қосымша маңызды ақпарат оператор нормасы және Lp кеңістігі беттерінде табылады.

Мысалдар

Бірлік шеңберде анықталған периодты функциялар жиынында, функцияның Фурье түрлендіруі – оның Фурье коэффициенттерінің тізбегі болып табылады. Дифференциацияны көбейткіш ретінде іске асыруға болатынын көрсету үшін, периодты функцияның туындысы үшін Фурье қатарын қарастырайық. Фурье коэффициентінің анықтамасында интегралдаудың бөліктері арқылы қолданғаннан кейін, мынадай нәтижеге жетеміз:

Осылайша, формальды түрде, туынды үшін Фурье қатары – бұл Фурье қатары, көбейтілген көбейткішпен. Бұл дифференциацияның көбейткіш операторы екенін, көбейткішімен білдіреді. Нақты сызықтағы функцияларға әсер ететін көбейткіш операторының мысалы – Гильберт түрлендірмесі. Гильберт түрлендірмесінің көбейткіш операторы екенін және оның көбейткішінің , мұндағы sgn – таңба функциясы екенін көрсетуге болады. Соңында, көбейткіштің тағы бір маңызды мысалы – Фурье түрлендірмесінің «бөлікшелік қосындыларын» зерттеуде қолданылатын бірлік кубтың сипаттамалық функциясы (Фурье қатарларының жуыстығын қараңыз).

Анықтама

Көбейтуші операторларды кез келген G тобында анықтауға болады, оның үшін Фурье түрлендірмесі де анықталған (әсіресе, кез келген жергілікті компактты абелдік топта). Жалпы анықтамасы мынадай: егер жеткілікті реттелген функция болса, оның Фурье түрлендірмесін арқылы белгілейік (мұнда – G тобының Понтрягин дуалы). деген тағы бір функцияны белгілейік, оны көбейтуші деп атаймыз. Онда осы символ m-ге сәйкес келетін көбейтуші операторы формуласы арқылы анықталады.

Басқаша айтқанда, Tf-тің Фурье түрлендірмесі ξ жиілігінде, сол жиіліктегі f-тің Фурье түрлендірмесіне көбейтушінің сол жиіліктегі мәнін көбейту арқылы алынады. Осыдан "көбейтуші" терминологиясы туындайды. Жоғарыдағы анықтама Tf-ті тек түсіндіріп беретінін ескеріңіз; Tf-ті нақты түрде алу үшін Фурье түрлендірмесін кері түрлендіру қажет. Бұл f және m екеуі де жеткілікті тегіс және интегралданатын болса, оңай орындалады. Бұл тақырыптағы маңызды мәселелердің бірі – кез келген берілген m көбейтушісі үшін, сәйкес Фурье көбейтуші операторы f өте төмен реттелген жағдайда да жақсы анықталған болып қала ма, мысалы, егер ол тек Lp кеңістігіне жатса, анықтау. Төмендегі «шектелгендік мәселесі» туралы талқылауды қараңыз. Міндетті түрде, көбейтуші m шектеулі және өлшенетін болуын қажет етеді; бұл шегінде шектелуді орнатуға жеткілікті, бірақ басқа кеңістіктерде шектелуді қамтамасыз ету үшін жеткіліксіз. Көбейтуші оператор T-ны үш оператордың композициясы ретінде қарастыруға болады, атап айтқанда Фурье түрлендірмесі, m-ге нүктелік көбейту операциясы және содан кейін кері Фурье түрлендірмесі. Балама ретінде, T – нүктелік көбейту операторының Фурье түрлендірмесімен конъюгацияланған оператор. Осылайша, көбейтуші операторларды Фурье түрлендірмесімен диагональданатын операторлар деп қарастыруға болады.

Жалпы ескертулер

Карта C* алгебраларының гомоморфизмі болып табылады. Бұл соның салдарынан туындайды, екі көбейту операторының қосындысы – көбейтушісі бар көбейту операторы, осы екі көбейту операторының композициясы – көбейтушісі бар көбейту операторы, ал көбейту операторының түйіндес операторы – көбейтушісі бар тағы бір көбейту операторы болып табылады. Атап айтқанда, кез келген екі көбейту операторы бір-бірімен коммутациялайды. Көбейту операторларының аударма инвариантты екені белгілі. Керісінше, L2(G)-де шектелген кез келген аударма инвариантты сызықтық оператор көбейту операторы екенін көрсетуге болады.

Lp шектелу проблемасы

Берілген топ G үшін Lp шектелу мәселесі (әрбір нақты p үшін) – бұл қарапайым тұрғыдан, сәйкес көбейткіш операторы Lp(G)-ден Lp(G)-ге дейін шектелетіндей m көбейткіштерін анықтау. Мұндай көбейткіштер көбінесе жай ғана "Lp көбейткіштері" деп аталады. Көбейткіш операторлар әрқашан сызықты болғандықтан, мұндай операторлар шектелі болады, егер және тек қана олар үздіксіз болса. Бұл мәселе жалпы алғанда өте қиын деп есептеледі, бірақ көптеген ерекше жағдайларды қарастыруға болады. Мәселе p-ге өте байланысты, бірақ дуалдық қатынас бар: егер 1 ≤ p, q ≤ ∞ болса, онда көбейткіш операторы Lp-де шектелі болса және тек қана Lq-да шектелі болса ғана. Риес-Торин теоремасы көрсеткендей, егер көбейткіш операторы екі түрлі Lp кеңістігінде шектелі болса, онда ол барлық аралық кеңістіктерде де шектелі болады. Осыдан біз көбейткіштер кеңістігі L1 және L∞ үшін ең кішкентай екенін, ал L2-ге жақындаған сайын үлкейетінін білеміз, себебі L2-де көбейткіштер кеңістігі ең үлкен.

L2 бойынша шектелу

Бұл ең оңай жағдай. Парсевал теоремасы осы мәселені толығымен шешуге және m функциясы L2(G) көбейткіші екенін анықтауға мүмкіндік береді, егер және тек егер ол шектелген және өлшенетін болса.

L1 немесе L∞-ға шектелген

Бұл жағдай гильберттік (L2) жағдайға қарағанда күрделі, бірақ толық шешілген. Келесісі дұрыс:

Теорема: Евклид кеңістігінде функция, егер және тек қана μ-нің Фурье түрлендіруі m-ге тең болатын шекті Борель өлшемі μ болса, L1 көбейткіші (эквивалентті түрде L∞ көбейткіші) болады. ("Егер" бөлігі – қарапайым есептеу. Ал "егер ғана" бөлігі одан күрделі.)

1 < p < ∞ үшін Lp-ге шектелгендігі

Бұл жалпы жағдайда, Евклид кеңістігі немесе бірлік шеңбер үшін де шектелудің қажетті және жеткілікті шарттары анықталған жоқ. Дегенмен, бірнеше қажетті шарттар мен бірнеше жеткілікті шарттар белгілі. Мысалы, көбейту операторының тіпті бір ғана Lp кеңістігінде шектелуі үшін, көбейтуші шектеулі және өлшенуі тиіс (бұл жоғарыда L2 көбейтушілерін сипаттаудан және кіріктіру қасиетінен шығады). Бірақ, бұл p = 2 болғанда ғана жеткілікті. Шектелу үшін жеткілікті шарттар беретін нәтижелер көбейтуші теоремалар деп аталады. Төменде мұндай үш нәтиже келтірілген.

Миклин көбейтуші теоремасы

m — нөлде бәлкім үздіксіздігі жоқ, бірақ басқа жерде тегіс болатын, шектелген функция болсын, және барлық бүтін сандар үшін функциясы шектелген болсын: онда m — барлық 1 < p < ∞ үшін Lp көбейгіші болады. Бұл Хёрмандер-Михлин көбейтуші теоремасының ерекше жағдайы. Бұл екі теореманың дәлелдемелері өте қиын, Кальдерон-Зигмунд теориясы мен Марсинкевич интерполяциялық теоремасының әдістерін қолданады: бастапқы дәлелдемелер үшін қараңыз немесе .

Радиалды көбейтушілер

Радиалды көбейтушілер үшін, шектелгендіктің қажетті және жеткілікті шарты белгілі бір ішінара диапазон үшін жақсы оқылған. Егер және болжамдасақ, бастапқыдан қатаң түрде қолдау тапқан радиалды көбейтуші болса, онда ол көбейтуші болады, егер және тек қана оның Фурье түрленуі жататын болса. Бұл Хё, Назаров және Сигердің теоремасы. Олар сондай-ақ -ның компактты қолдау шарты болмаса да жарамды қажетті және жеткілікті шартты ұсынды.

Мысалдар

Аудармалар кез келген Lp кеңістігінде шектелген операторлар болып табылады. Дифференциация ешқандай Lp кеңістігінде шектелген емес. Гилберт түрлендіргіші тек p, 1 мен ∞ аралығында қатаң түрде болғанда ғана шектелген. L∞ кеңістігінде шексіз болуы оңай, себебі сатылы функцияның Гилберт түрлендірмесінің шексіз екені белгілі. Дегенмен, Марсинкевич және Михалин көбейтуші теоремалары Гилберт түрлендіргішінің барлық 1 < p < ∞ үшін Lp кеңістігінде шектелгенін көрсетеді. Бірлік шеңберіндегі тағы бір қызықты жағдай – көбейтуші ретінде ұсынылған тізбек, әрбір жиын үшін n-ге тұрақты мәнге ие болғанда. Марсинкевич көбейтуші теоремасы (бірлік шеңберінің контекстіне бейімделген) бойынша, мұндай тізбек (әрине, шектеулі деп есептелінеді) кез келген 1 < p < ∞ үшін көбейтуші болып табылады. Бір өлшемде дискілік көбейту операторы (жоғарыдағы кестеге қараңыз) барлық 1 < p < ∞ үшін Lp кеңістігінде шектелген. Алайда, 1972 жылы Чарльз Фефферман екі және одан жоғары өлшемдерде дискілік көбейту операторының Lp кеңістігінде әр p ≠ 2 үшін шексіз екенін көрсетті. Бохнер-Риес көбейтушілеріне қатысты мәселе толық шешілмеген; Бохнер-Риес болжамын да қараңыз.

Жалпы сілтемелер

(орыс тілінде). Бұл кітапта жарияланған кезде белгілі болған барлық нәтижелердің толық шолуы және тарихының қысқаша суреттемесі келтірілген.