Введение

В анализе Фурье множитель – это тип линейного оператора, или преобразования функций. Эти операторы действуют на функцию, изменяя её преобразование Фурье. В частности, они умножают преобразование Фурье функции на заданную функцию, известную как множитель или символ. Иногда сам термин «оператор множителя» сокращается просто до «множитель». Говоря простыми словами, множитель изменяет частотный состав функции. Этот класс операторов оказывается широким: общая теория показывает, что трансляционно-инвариантный оператор на группе, удовлетворяющий некоторым (очень мягким) условиям регулярности, может быть представлен в виде оператора множителя, и наоборот. Многие известные операторы, такие как сдвиги и дифференцирование, являются операторами умножения, хотя существуют и более сложные примеры, такие как преобразование Гильберта. В обработке сигналов оператор множителя называется «фильтром», а множитель – частотной характеристикой фильтра (или передаточной функцией). В более широком контексте операторы множителей являются частными случаями спектральных операторов множителей, возникающих из функционального исчисления оператора (или семейства коммутирующих операторов). Они также являются частными случаями псевдодифференциальных операторов и, в более общем смысле, операторов интегрального типа Фурье. В этой области остаются открытыми естественные вопросы, такие как характеризация Lp-ограниченных операторов множителей (см. ниже). Операторы умножения не связаны с множителями Лагранжа, за исключением того, что оба они включают операцию умножения. Для получения необходимых сведений о преобразовании Фурье обратитесь к соответствующей статье. Дополнительную важную информацию можно найти в статьях, посвященных операторной норме и Lp-пространствам.

Примеры

В контексте периодических функций, определенных на единичной окружности, преобразование Фурье функции представляет собой просто последовательность ее коэффициентов Фурье. Чтобы понять, что дифференцирование можно реализовать как умножитель, рассмотрим ряд Фурье для производной периодической функции. После применения интегрирования по частям в определении коэффициента Фурье получаем, что

Таким образом, формально следует, что ряд Фурье для производной является просто рядом Фурье для , умноженным на фактор . Это эквивалентно утверждению, что дифференцирование является оператором умножения с множителем . Примером оператора умножения, действующего на функции на вещественной прямой, является преобразование Гильберта. Можно показать, что преобразование Гильберта является оператором умножения, чей множитель задается , где sgn – функция знака. Наконец, еще одним важным примером множителя является характеристическая функция единичного куба в , которая возникает при изучении "частичных сумм" для преобразования Фурье (см. Сходимость ряда Фурье).

Определение

Операторы умножения могут быть определены для любой группы G, для которой также определено преобразование Фурье (в частности, для любой локально компактной абелевой группы). Общее определение выглядит следующим образом. Если f – достаточно гладкая функция, то обозначим её преобразование Фурье (где – двойственная группа Понтрягина к G). Обозначим другую функцию, которую мы будем называть множителем m. Тогда оператор умножения T, связанный с этим символом m, определяется формулой

Иными словами, преобразование Фурье Tf на частоте ξ дается преобразованием Фурье f на этой частоте, умноженным на значение множителя m на этой частоте. Это объясняет термин "множитель". Следует отметить, что вышеуказанное определение определяет Tf лишь неявно; для явного восстановления Tf необходимо инвертировать преобразование Фурье. Это можно легко сделать, если f и m достаточно гладкие и интегрируемые. Одна из основных проблем в этой области заключается в том, чтобы определить, для любого заданного множителя m, продолжает ли соответствующий оператор умножения Фурье быть корректно определенным, когда f имеет очень низкую гладкость, например, если предполагается, что она принадлежит только пространству Lp. См. обсуждение "проблемы ограниченности" ниже. Как минимум, обычно требуется, чтобы множитель m был ограниченным и измеримым; этого достаточно для установления ограниченности на , но в общем случае недостаточно для обеспечения ограниченности на других пространствах. Оператор умножения T можно рассматривать как композицию трех операторов: преобразования Фурье, операции поточечного умножения на m и обратного преобразования Фурье. Эквивалентно, T является сопряжением поточечного оператора умножения преобразованием Фурье. Таким образом, операторы умножения можно рассматривать как операторы, которые диагонализуются преобразованием Фурье.

Общие соображения

Карта является гомоморфизмом C*-алгебр. Это следует из того, что сумма двух операторов умножения и является оператором умножения с множителем , композиция этих двух операторов умножения является оператором умножения с множителем, а сопряженный оператор умножения – это другой оператор умножения с множителем . В частности, мы видим, что любые два оператора умножения коммутируют друг с другом. Известно, что операторы умножения являются трансляционно инвариантными. Обратно, можно показать, что любой трансляционно инвариантный линейный оператор, ограниченный на L2(G), является оператором умножения.

Проблема ограниченности Lp

Проблема ограниченности Lp (для любого конкретного p) для данной группы G, простыми словами, заключается в определении множителей m, для которых соответствующий оператор умножения ограничен из Lp(G) в Lp(G). Такие множители обычно называют просто "Lp-множителями". Важно отметить, что операторы умножения всегда линейны, поэтому они ограничены тогда и только тогда, когда они непрерывны. В общем случае эта проблема считается чрезвычайно сложной, но многие частные случаи могут быть рассмотрены. Проблема сильно зависит от p, хотя существует соотношение двойственности: если 1 ≤ p, q ≤ ∞, то оператор умножения ограничен в Lp тогда и только тогда, когда он ограничен в Lq. Теорема Риеша-Торина показывает, что если оператор умножения ограничен в двух различных пространствах Lp, то он также ограничен во всех промежуточных пространствах. Следовательно, пространство множителей наименьшее для L1 и L∞ и возрастает по мере приближения к L2, которое имеет наибольшее пространство множителей.

Ограниченность на L2

Это самый простой случай. Теорема Парсеваля позволяет полностью решить эту задачу и получить, что функция m является L2-множителем, если и только если она ограничена и измерима.

Ограниченность на L1 или L∞

Этот случай более сложен, чем гильбертовский (L2), но полностью решен. Следующее верно:

Теорема: В евклидовом пространстве функция является L1-множителем (эквивалентно, L∞-множителем) тогда и только тогда, когда существует конечная мера Бореля μ, такая что m является преобразованием Фурье этой меры. (Часть "если" – это простое вычисление. Часть "только если" здесь более сложна.)

Ограниченность на Lp для 1 < p < ∞

В этом общем случае необходимые и достаточные условия для ограниченности не установлены, даже для евклидова пространства или единичной окружности. Однако известно несколько необходимых условий и несколько достаточных условий. Например, известно, что для того, чтобы оператор умножения был ограничен хотя бы в одном пространстве Lp, множитель должен быть ограничен и измерим (это следует из характеризации множителей L2, приведенной выше, и свойства включения). Однако этого недостаточно, за исключением случая p = 2. Результаты, предоставляющие достаточные условия для ограниченности, называются теоремами об умножении. Ниже приведены три таких результата.

Теорема множителя Михлина

Пусть m — ограниченная функция на ℝⁿ, гладкая всюду, кроме, возможно, начала координат, и такая, что функция m(x) ограничена для всех целых чисел x: тогда m является множителем Lp для всех 1 < p < ∞. Это частный случай теоремы о множителях Хёрмандера — Михлина. Доказательства этих двух теорем довольно сложны и включают методы из теории Кальдерона — Зигмунда и теоремы интерполяции Марцинкiewicz: для оригинального доказательства см. или .

Радиальные мультипликаторы

Для радиальных множителей известно необходимое и достаточное условие ограниченности на некотором частичном диапазоне. Пусть и предположим, что является радиальным множителем с компактным носителем, отстоящим от начала координат. Тогда является -множителем тогда и только тогда, когда преобразование Фурье принадлежит . Это теорема Хео, Назарова и Сигера. Они также предоставили необходимое и достаточное условие, которое справедливо без предположения о компактном носителе .

Примеры

Переводы являются ограниченными операторами на любом Lp. Дифференцирование не является ограниченным ни на одном Lp. Преобразование Гильберта ограничено только для p, строго между 1 и ∞. Тот факт, что оно неограничено на L∞, легко доказать, поскольку известно, что преобразование Гильберта ступенчатой функции неограничено. Принцип двойственности дает аналогичный результат. Однако, теоремы о множителях Марсинкевича и Михлина показывают, что преобразование Гильберта ограничено в Lp для всех 1 < p < ∞. Другой интересный случай на единичной окружности возникает, когда последовательность, предлагаемая в качестве множителя, постоянна для n в каждом из множеств и . Из теоремы о множителях Марсинкевича (адаптированной к контексту единичной окружности) следует, что любая такая последовательность (конечно, предполагается, что она ограничена) является множителем для каждого 1 < p < ∞. В одном измерении оператор дискового множителя (см. таблицу выше) ограничен в Lp для всех 1 < p < ∞. Однако в 1972 году Чарльз Фефферман показал неожиданный результат, что в двух и более измерениях оператор дискового множителя неограничен в Lp для всех p ≠ 2. Соответствующая задача для множителей Бохнера — Риеса решена лишь частично; см. также гипотезу Бохнера — Риеса.

Общие ссылки

(на русском языке). В ней содержится исчерпывающий обзор всех результатов, известных ко времени публикации, включая очерк истории.