Введение
Поверхность вращения в форме бублика – математическая поверхность.
the mathematical surface
In geometry, a torus (: tori or toruses) is a surface of revolution generated by revolving a circle in three dimensional space one full revolution about an axis that is coplanar with the circle. The main types of toruses include ring toruses, horn toruses, and spindle toruses. A ring torus is sometimes colloquially referred to as a donut or doughnut. If the axis of revolution does not touch the circle, the surface has a ring shape and is called a torus of revolution, also known as a ring torus. If the axis of revolution is tangent to the circle, the surface is a horn torus. If the axis of revolution passes twice through the circle, the surface is a spindle torus (or self crossing torus or self intersecting torus). If the axis of revolution passes through the center of the circle, the surface is a degenerate torus, a double covered sphere. If the revolved curve is not a circle, the surface is called a toroid, as in a square toroid. Real world objects that approximate a torus of revolution include swim rings, inner tubes and ringette rings. A torus should not be confused with a solid torus, which is formed by rotating a disk, rather than a circle, around an axis. A solid torus is a torus plus the volume inside the torus. Real world objects that approximate a solid torus include O rings, non inflatable lifebuoys, ring doughnuts, and bagels. In topology, a ring torus is homeomorphic to the Cartesian product of two circles: , and the latter is taken to be the definition in that context. It is a compact 2 manifold of genus 1. The ring torus is one way to embed this space into Euclidean space, but another way to do this is the Cartesian product of the embedding of in the plane with itself. This produces a geometric object called the Clifford torus, a surface in 4 space. In the field of topology, a torus is any topological space that is homeomorphic to a torus. The surface of a coffee cup and a doughnut are both topological tori with genus one. An example of a torus can be constructed by taking a rectangular strip of flexible material such as rubber, and joining the top edge to the bottom edge, and the left edge to the right edge, without any half twists (compare Klein bottle).
В геометрии торус (тори или торусы) – это поверхность вращения, генерируемая вращением окружности в трехмерном пространстве на один полный оборот вокруг оси, лежащей в одной плоскости с окружностью. Основные типы торов включают кольцевые, роговые и шпиндельные. Кольцевой торус в разговорной речи иногда называют бубликом или пончиком. Если ось вращения не касается окружности, поверхность имеет форму кольца и называется тором вращения, также известным как кольцевой торус. Если ось вращения касается окружности, поверхность является роговым тором. Если ось вращения проходит дважды через окружность, поверхность является шпиндельным тором (или самопересекающимся тором). Если ось вращения проходит через центр окружности, поверхность является вырожденным тором, представляющим собой двойное покрытие сферы. Если вращаемая кривая не является окружностью, поверхность называется тороидом, например, квадратным тороидом. Реальные объекты, аппроксимирующие торус вращения, включают плавательные круги, камеры автомобильных шин и кольца для рингета. Торус не следует путать с твердым тором, который образуется вращением диска, а не окружности, вокруг оси. Твердый торус – это торус вместе с объемом внутри него. Реальные объекты, аппроксимирующие твердый торус, включают уплотнительные кольца, спасательные круги, кольцевые пончики и бублики. В топологии кольцевой торус гомеоморфен декартову произведению двух окружностей: , и последнее принимается за определение в этом контексте. Это компактное 2-многообразие рода 1. Кольцевой торус – один из способов вложения этого пространства в евклидово пространство, но другой способ – декартово произведение вложения окружности в плоскость с самим собой. Это создает геометрический объект, называемый тором Клиффорда, поверхность в 4-мерном пространстве. В области топологии торус – это любое топологическое пространство, гомеоморфное тору. Поверхность кофейной чашки и бублик – топологические торы рода один. Пример тора можно построить, взяв прямоугольную полосу из гибкого материала, такого как резина, и соединив верхний край с нижним, а левый край с правым, без полуоборотов (сравните с бутылкой Клейна).
the mathematical surface
In geometry, a torus (: tori or toruses) is a surface of revolution generated by revolving a circle in three dimensional space one full revolution about an axis that is coplanar with the circle. The main types of toruses include ring toruses, horn toruses, and spindle toruses. A ring torus is sometimes colloquially referred to as a donut or doughnut. If the axis of revolution does not touch the circle, the surface has a ring shape and is called a torus of revolution, also known as a ring torus. If the axis of revolution is tangent to the circle, the surface is a horn torus. If the axis of revolution passes twice through the circle, the surface is a spindle torus (or self crossing torus or self intersecting torus). If the axis of revolution passes through the center of the circle, the surface is a degenerate torus, a double covered sphere. If the revolved curve is not a circle, the surface is called a toroid, as in a square toroid. Real world objects that approximate a torus of revolution include swim rings, inner tubes and ringette rings. A torus should not be confused with a solid torus, which is formed by rotating a disk, rather than a circle, around an axis. A solid torus is a torus plus the volume inside the torus. Real world objects that approximate a solid torus include O rings, non inflatable lifebuoys, ring doughnuts, and bagels. In topology, a ring torus is homeomorphic to the Cartesian product of two circles: , and the latter is taken to be the definition in that context. It is a compact 2 manifold of genus 1. The ring torus is one way to embed this space into Euclidean space, but another way to do this is the Cartesian product of the embedding of in the plane with itself. This produces a geometric object called the Clifford torus, a surface in 4 space. In the field of topology, a torus is any topological space that is homeomorphic to a torus. The surface of a coffee cup and a doughnut are both topological tori with genus one. An example of a torus can be constructed by taking a rectangular strip of flexible material such as rubber, and joining the top edge to the bottom edge, and the left edge to the right edge, without any half twists (compare Klein bottle).
Этимология
Торус – латинское слово, означающее «округлость, вздутие, возвышение, выпячивание».
Обложка из двух листов
Двойное покрытие тора размерности 2 отображает сферу размерности 2, имея четыре точки ветвления. Любая конформная структура на торе размерности 2 может быть представлена как двухлистное покрытие сферы размерности 2. Точки на торе, соответствующие точкам ветвления, являются точками Вейерштрасса. Фактически, конформный тип тора определяется перекрестным отношением этих четырех точек.
n-мерный торус
Торус имеет обобщение на более высокие размерности, часто называемое n-тором или гипертором. (Это более типичное значение термина "n-тор", другое относится к n отверстиям или роду n.) Вспоминая, что торус является произведением пространств двух окружностей, n-мерный торус является произведением n окружностей. То есть: стандартный 1-тор – это просто окружность; торус, обсуждаемый выше, – это стандартный 2-тор, и аналогично 2-тору, n-тор можно описать как факторпространство под действием целочисленных сдвигов по любой координате. То есть, n-тор – это модуль действия целочисленной решетки (при этом действие рассматривается как векторное сложение). Эквивалентно, n-тор получается из n-мерного гиперкуба путем склеивания противоположных граней. n-тор в этом смысле является примером n-мерного компактного многообразия. Он также является примером компактной абелевой группы Ли. Это следует из того факта, что единичная окружность является компактной абелевой группой Ли (при отождествлении с единичными комплексными числами с умножением). Групповое умножение на торе определяется тогда умножением по координатам. Тороидальные группы играют важную роль в теории компактных групп Ли. Это частично связано с тем, что в любой компактной группе Ли G всегда можно найти максимальный тор; то есть, замкнутую подгруппу, которая является тором наибольшей возможной размерности. Такие максимальные торы T играют определяющую роль в теории связных G. Тороидальные группы являются примерами протори, которые (как и торы) являются компактными связными абелевыми группами, которые не обязательно должны быть многообразиями. Автоморфизмы T легко строятся из автоморфизмов решетки, которые классифицируются обратимыми целочисленными матрицами размера n с целочисленной обратной матрицей; это просто целочисленные матрицы с определителем ±1. Заставляя их действовать обычным образом, получаем типичный торальный автоморфизм на факторпространстве. Фундаментальная группа n-тора – свободная абелева группа ранга n. k-я группа гомологий n-тора – свободная абелева группа ранга "n по k". Из этого следует, что характеристика Эйлера n-тора равна 0 для всех n. Когомологическое кольцо H•(, Z) можно отождествить с внешней алгеброй над Z-модулем, генераторами которого являются дуали n нетривиальных циклов.
The standard 1 torus is just the circle: The torus discussed above is the standard 2 torus, And similar to the 2 torus, the n torus, can be described as a quotient of under integral shifts in any coordinate. That is, the n torus is modulo the action of the integer lattice (with the action being taken as vector addition). Equivalently, the n torus is obtained from the n dimensional hypercube by gluing the opposite faces together. An n torus in this sense is an example of an n dimensional compact manifold. It is also an example of a compact abelian Lie group. This follows from the fact that the unit circle is a compact abelian Lie group (when identified with the unit complex numbers with multiplication). Group multiplication on the torus is then defined by coordinate wise multiplication. Toroidal groups play an important part in the theory of compact Lie groups. This is due in part to the fact that in any compact Lie group G one can always find a maximal torus; that is, a closed subgroup which is a torus of the largest possible dimension. Such maximal tori T have a controlling role to play in theory of connected G. Toroidal groups are examples of protori, which (like tori) are compact connected abelian groups, which are not required to be manifolds. Automorphisms of T are easily constructed from automorphisms of the lattice , which are classified by invertible integral matrices of size n with an integral inverse; these are just the integral matrices with determinant ±1. Making them act on in the usual way, one has the typical toral automorphism on the quotient. The fundamental group of an n torus is a free abelian group of rank n. The k th homology group of an n torus is a free abelian group of rank n choose k. It follows that the Euler characteristic of the n torus is 0 for all n. The cohomology ring H•(, Z) can be identified with the exterior algebra over the Z module whose generators are the duals of the n nontrivial cycles.
Конфигурационное пространство
Поскольку n-тор является n-кратным произведением окружности, n-тор представляет собой пространство конфигураций n упорядоченных, не обязательно различных точек на окружности. Символически, пространство конфигураций неупорядоченных, не обязательно различных точек, соответственно, является орбифолдом, который представляет собой фактор тора по симметрической группе на n элементах (путем перестановки координат). Для n = 2 фактором является полоса Мёбиуса, край которой соответствует орбитальным точкам, где совпадают две координаты. Для n = 3 этот фактор можно описать как твердый тор с поперечным сечением в виде равностороннего треугольника с закруткой; эквивалентно, как треугольную призму, верхняя и нижняя грани которой соединены с поворотом на 1/3 (120°): трехмерное внутреннее пространство соответствует точкам на 3-торе, где все 3 координаты различны, двухмерная грань соответствует точкам с двумя одинаковыми координатами и третьей различной, а одномерный край – точкам, где все 3 координаты совпадают. Эти орбифолды нашли значительное применение в теории музыки в работах Дмитрия Тимочко и его коллег (Фелипе Посада, Майкла Колинаса и др.), и используются для моделирования музыкальных трезвучий.
Конформная классификация плоских торов
В исследовании поверхностей Римана говорится, что любые две гладкие компактные геометрические поверхности "конформно эквивалентны", когда между ними существует гладкий гомеоморфизм, сохраняющий как угол, так и ориентацию. Теорема об униформизации гарантирует, что каждая поверхность Римана конформно эквивалентна поверхности с постоянной гауссовой кривизной. В случае тора эта постоянная кривизна должна быть равна нулю. Затем "пространство модулей" тора определяется как множество, содержащее одну точку для каждого класса конформной эквивалентности с соответствующей топологией. Оказывается, что это пространство модулей M можно отождествить с проколотой сферой, гладкой за исключением двух точек, в которых угол вокруг них меньше 2π (в радианах): одна имеет угол π, а другая – 2π/3. Пространство M можно превратить в компактное пространство M*, добавив одну дополнительную точку, представляющую предельный случай, когда прямоугольный тор приближается к отношению сторон, стремящемуся к 0. В результате это компактифицированное пространство модулей является сферой с тремя точками, каждая из которых имеет угол меньше 2π. (Такие точки называются "остриями" или "куспами".) Эта дополнительная точка будет иметь нулевой угол. Благодаря симметрии, M* можно построить склеиванием двух конгруэнтных геодезических треугольников в гиперболической плоскости вдоль их (совпадающих) границ, где каждый треугольник имеет углы π/2, π/3 и 0. Следовательно, площадь каждого треугольника можно вычислить как π(π/2 + π/3 + 0) = π/6, и, таким образом, компактифицированное пространство модулей M* имеет площадь, равную π/3. Другие два острия соответствуют в M* точкам, представляющим а) квадратный тор (π) и b) гексагональный тор (2π/3). Это единственные классы конформной эквивалентности плоских торов, обладающие какими-либо конформными автоморфизмами, отличными от порожденных трансляциями и отражением.
Тороидные полиэдры
Полиэдры с топологическим типом тора называются тороидальными полиэдрами и имеют характеристику Эйлера V − E + F = 0. Для любого числа отверстий формула обобщается до V − E + F = 2 − 2N, где N — количество отверстий. Термин "тороидальный полиэдр" также используется для полиэдров более высокого рода и для погружений тороидальных полиэдров.
Цветение тора
Число Хевуда тора равно семи, что означает, что хроматическое число любого графа, который можно вложить на тор, не превышает семи. (Поскольку полный граф можно вложить на тор, а хроматическое число полного графа равно восьми, эта верхняя граница является точной.) Эквивалентно, если тор разделить на области, то всегда можно раскрасить эти области не более чем семью цветами так, чтобы никакие две соседние области не были окрашены в один и тот же цвет. (В отличие от теоремы о четырех красках для плоскости.)
Де Брюйн-торус
В комбинаторной математике, тор де Брюйна — это массив символов из алфавита (часто только 0 и 1), содержащий каждую матрицу размера m на n ровно один раз. Он называется тором, поскольку для поиска матриц края считаются замкнутыми, образующими кольцо. Его название происходит от последовательности Де Брюйна, которую можно рассматривать как частный случай, когда n равно 1 (одно измерение).