Кіріспе

Математикалық кеңістік

Математикада 3-көптүрлілік – жергілікті түрде үш өлшемді Евклид кеңістігіне ұқсайтын топологиялық кеңістік. 3-көптүрлілікті ғаламның мүмкін пішіні деп қарастыруға болады. Шары кішкентай және жақын тұрған бақылаушыға жазықтық сияқты (тиісті жазықтық сияқты) көрінсе, барлық 3-көптүрлілік кішкентай бақылаушыға біздің ғалам сияқты көрінеді. Бұл төмендегі анықтамада дәлірек түсіндіріледі.

Анықтама

Топологиялық кеңістік 3-көптік болып есептеледі, егер ол екінші санақты Гаусдорф кеңістігі болса және оның әрбір нүктесі үшін Евклидтік 3 кеңістігімен гомеоморфты болатын көршілес аймақ болса.

3-көптүрліліктердің математикалық теориясы

Топологиялық, бөлшектік сызықтық және тегіс санаттар үш өлшемде эквивалентті, сондықтан, мысалы, топологиялық 3-көптүрліліктермен немесе тегіс 3-көптүрліліктермен жұмыс істейміз дегенде, арасында көп айырмашылық жасалмайды. Үш өлшемдегі құбылыстар басқа өлшемдердегі құбылыстардан күрт өзгеше болуы мүмкін, сондықтан үш өлшемнен жоғары өлшемдерге жалпыланбайтын, өте мамандандырылған техникалар кең таралған. Бұл ерекше рөл түйін теориясы, геометриялық топтар теориясы, гиперболалық геометрия, сандар теориясы, Тейхмюллер теориясы, топологиялық кванттық өріс теориясы, өлшеу теориясы, Флор гомологиясы және дербес дифференциалдық теңдеулер сияқты әртүрлі салалармен тығыз байланыстарды ашуға алып келді. 3-көптүрліліктер теориясы төмен өлшемді топологияның немесе геометриялық топологияның бір бөлігі саналады. Теорияның негізгі идеясы – 3-көптүрлілікті оған енгізілген арнайы беттерді қарастыру арқылы зерттеу. 3-көптүрлілікке жақсы орналастырылған бетті таңдауға болады, бұл сығылмайтын бет және Хакен көптүрліліктерінің теориясына әкеледі, немесе қосымша бөліктерді мүмкіндігінше жақсы етіп таңдауға болады, бұл Хигаард бөліністері сияқты құрылымдарға алып келеді, олар Хакен емес жағдайларда да пайдалы. Турстонның теорияға қосқан үлесі, көптеген жағдайларда, белгілі бір Турстон моделінің геометриясы (оның сегіз түрі бар) берген қосымша құрылымды қарастыруға мүмкіндік береді. Ең көп тараған геометрия – гиперболалық геометрия. Арнайы беттермен қатар геометрияны қолдану көбінесе тиімді болады. 3-көптүрліліктің негізгі топтары 3-көптүрлілікке тән геометриялық және топологиялық ақпаратты айқын көрсетеді. Осылайша, топтар теориясы мен топологиялық әдістердің өзара әрекеттесуі болады.

3-көптүрліліктерді сипаттайтын инварианттар

3-көптік – төмен өлшемді топологияның қызықты ерекше жағдайы, себебі олардың топологиялық инварианттары олардың құрылымы туралы көп ақпарат береді. Егер біз 3-көптікті M деп алсақ және оның негізгі тобы π₁ болса, онда олардан көптеген мәліметтер алуға болады. Мысалы, Пуанкаре дуалдығы мен Хуревич теоремасын қолданып, мына гомология топтарын аламыз:
мұнда соңғы екі топ тиісінше H₃(M;ℤ) және H₂(M;ℤ) гомологиясы мен когомологиясына изоморфты; яғни, осы мәліметтерден 3-көптіктердің негізгі гомотопиялық теориялық жіктелуін табуға болады. Постников мұнарасынан каноникалық бейнелеу бар: p: M → K(π₁, 1). Егер негізгі кластың [M] итеруін алсақ, онда элемент аламыз. Көрсетілгендей, топ π₁ және гомология класы [M] бірге M-нің гомотопия типінің толық алгебралық сипаттамасын береді.

Байланысты сомалар

Бір маңызды топологиялық операция – екі 3-көптүрліліктің байланысты қосындысы. Шындығында, топологиядағы жалпы теоремалар бойынша, байланысты қосындысынан түзілген 3-көптүрлілік үшін жоғарыда аталған инварианттарды оның құраушы бөліктерінен есептеуге болады. Атап айтқанда, егер 3-көптүрлілікті екі 3-көптүрліліктің байланысты қосындысы ретінде сипаттау мүмкін болмаса, онда ол жайқы деп аталады.

Екінші гомотопиялық топтар

3 түрлендіргіштің байланысқан қосындысы арқылы берілген жағдайда, екінші негізгі топты модуль ретінде жақсы сипаттау бар болады. Егер әрбір түрлендіргіш шексіз, бірақ циклдік емес болса, 2 сфераның негізделген кіріктірулерін қарастырғанда, екінші негізгі топ осы топты тікелей есептеуге мүмкіндік беретін ұсынысқа ие болады.

Евклидтік 3-кеңістік

Евклидтік 3 кеңістігі 3-көптүрліліктің ең маңызды мысалы болып табылады, себебі қалғандары оған қатысты анықталады. Бұл нақты сандар арқылы анықталатын стандартты 3 өлшемді векторлық кеңістік.

3-сфера

3 шар — шардың жоғары өлшемді аналогы. Ол 4 өлшемді Евклид кеңістігіндегі белгілі бір орталық нүктеден тең қашықтықта жатқан нүктелер жиынтығынан тұрады. Дәл сол сияқты, кәдімгі шар (немесе 2 шар) — үш өлшемді шардың шекарасын құрайтын екі өлшемді бет болса, 3 шар — төрт өлшемді шардың шекарасын құрайтын үш өлшемді объекті. 3 манифольдтың көптеген мысалдарын шекті топтың 3 шарға еркін әрекет етуі арқылы, яғни картасы арқылы 3 шардың бөліктерін алып құрастыруға болады, осылайша болады.

Нақты проективті үш кеңістік

Нақты проективті 3 кеңістігі немесе RP3 – R4 нөлдік нүктесінен өтетін түзулердің топологиялық кеңістігі. Ол 3 өлшемді, тығыз және тегіс манифольд, және Грасман кеңістігінің Gr(1, R4) ерекше жағдайы. RP3, SO(3) -ке дифеоморфты, демек топтық құрылымға ие; S3 → RP3 жабылу картасы Spin(3) → SO(3) топтардың гомоморфизмі болып табылады, мұнда Spin(3) – SO(3) кеңістігінің әмбебап жабылуы болып табылатын Лай тобы.

3-тор

Үш өлшемді тор үш шеңбердің көбейтіндісі болып табылады. Яғни:

3-тор, T3, кез келген координата бойынша толық санға қадамдық жылжулар бойынша R3 кеңістігінің бөлігі ретінде сипатталуы мүмкін. Яғни, 3-тор – R3 кеңістігінің Z3 толық сан торының әрекеті бойынша модулі (мұндағы әрекет векторлық қосу ретінде қарастырылады). Балама ретінде, 3-тор үш өлшемді кубтың қарама-қарсы жақтарын біріктіру арқылы алынады. Осы мағынадағы 3-тор – үш өлшемді тығыз көпқырлының мысалы. Бұл сондай-ақ компактты абельдік Лай тобының мысалы болып табылады. Бұл факт бірлік шеңберінің компактты абельдік Лай тобы екендігінен туындайды (бірлік кешенді сандармен көбейту арқылы сәйкестендірілгенде). Тордағы топтық көбейту координата бойынша көбейту арқылы анықталады.

Гиперболалық 3-кеңістік

Гиперболалық кеңістік - тұрақты теріс қисықтықпен сипатталатын біртекті кеңістік. Ол гиперболалық геометрияның моделі болып табылады. Ол нөлдік қисықтығы бар Евклид кеңістіктерінен, Евклид геометриясын анықтайтындардан, және тұрақты оң қисықтығы бар эллиптік геометрия модельдерінен (мысалы, 3 сферадан) ерекшеленеді. Жоғары өлшемді Евклид кеңістігіне енгізілгенде, гиперболалық кеңістіктің әрбір нүктесі шегір нүктесі болып табылады. Тағы бір ерекше қасиет – гиперболалық 3 кеңістіктегі 3 шармен жабатын кеңістіктің көлемі: ол шар радиусына қатысты экспоненциалды түрде өседі, полиномдық емес.

Пуанаре он екі жүзді кеңістігі

Поинкаре гомологиялық сферасы (сонымен қатар Поинкаре додекаэдрлік кеңістігі деп те аталады) – гомологиялық сфераның нақты мысалы. Сфералық 3-көптүрлілік болғандықтан, ол 3 сферадан басқа, шекті негізгі тобы бар жалғыз гомологиялық 3 сферасы болып табылады. Оның негізгі тобы бинарлық икосаэдрлік топ деп аталады және 120 реттікке ие. Бұл Пуанкаре болжамын тек гомологиялық тұрғыдан ғана тұжырымдау мүмкін емес екенін көрсетеді. 2003 жылы WMAP ғарыш аппаратының бір жылдық бақылауларындағы ғарыштық микротолқындық фоның ең ірі масштабтарындағы (60 градустан жоғары) құрылымның болмауы, Париж обсерваториясының Жан-Пьер Люмине және әріптестерінің ғаламның пішіні Поинкаре сферасы болуы мүмкін деген ұсынысына әкелді. 2008 жылы астрономдар модель үшін аспандағы ең қолайлы бағытты анықтады және WMAP ғарыш аппаратының үш жылдық бақылауларын пайдаланып, модельдің кейбір болжамдарын растады. Дегенмен, модельдің дұрыстығына қазірге дейін нақты дәлелдер жоқ.

Сейферт Вебер кеңістігі

Математикада Сейферт-Вебер кеңістігі (Герберт Сейферт пен Константин Вебер енгізген) — жабық гиперболалық 3-көптүрлілік. Ол сондай-ақ Сейферт-Вебер он екі қырлы кеңістігі және гиперболалық он екі қырлы кеңістік деп те аталады. Бұл жабық гиперболалық 3-көптүрліліктердің алғашқыда ашылған мысалдарының бірі. Ол он екі қырлының әр бетін, жабық 3-көптүрлілік құратын етіп, қарама-қарсы бетіне жабыстыру арқылы құрастырылады. Мұны дұрыс жабыстырудың үш тәсілі бар. Қарама-қарсы беттер 1/10 бұрылысқа қарама-қарсы келеді, сондықтан оларды сәйкестендіру үшін 1/10, 3/10 немесе 5/10 бұрылыспен бұру қажет; 3/10 бұрылыс Сейферт-Вебер кеңістігін береді. 1/10 бұрылыс Пуанкаре гомологиялық сферасын, ал 5/10 бұрылыс 3-өлшемді нақты проекциялық кеңістікті береді. 3/10 бұрылыспен жабыстыру схемасы бойынша бастапқы он екі қырлының жиектері бестен топталып бір-біріне жабыстырылады. Осылайша, Сейферт-Вебер кеңістігінде әр жиек бесбұрышты беттермен қоршалған, ал осы бесбұрыштар арасындағы диэдр бұрышы 72°-қа тең. Бұл Эвклид кеңістігіндегі дұрыс он екі қырлының 117° диэдр бұрышына сәйкес келмейді, бірақ гиперболалық кеңістікте 60° мен 117° аралығындағы кез келген диэдр бұрышы бар дұрыс он екі қырлылар бар, ал 72° диэдр бұрышы бар гиперболалық он екі қырлы Сейферт-Вебер кеңістігіне гиперболалық көптүрлілік ретінде геометриялық құрылым беру үшін қолданылуы мүмкін. Бұл 5-ретті он екі қырлы бал ұясының үлестік кеңістігі, гиперболалық 3-кеңістіктің осы диэдр бұрышы бар он екі қырлылармен тұрақты теселяциясы.

Гизекинг коллекторы

Математикада Гизекинг көптігі – шекті көлемді, үшкір гиперболалық 3-көптік. Ол бағытталмайды және компакт емес гиперболалық көптіктердің арасында ең кіші көлемге ие, көлемі шамамен 1.01494161-ге тең. Гизекинг көптігін төртбұрышты тетраэдрден төбелерін алып тастау арқылы, содан кейін аффиндік сызықтық түрлендірулерді қолдана отырып, жақтарын жұптастырып құрастыруға болады. Төбелерді 0, 1, 2, 3 деп белгілейік. 0, 1, 2 төбелері бар жақ осы ретпен 3, 1, 0 төбелері бар жаққа жабыстырылады. 0, 2, 3 жағын 3, 2, 1 жағына осы тәртіппен желімдеңіз. Гизекинг көптігінің гиперболалық құрылымында бұл идеалдық тетраэдр Дэвид Б. А. Эпштейн мен Роберт С. Пеннердің канондық полиэдрлік бөлінісі болып табылады. Бұрыштардың арасындағы бұрыш үшбұрыштықта бір тетраэдр, екі жақ, бір қабырға және түкпірлер жоқ, сондықтан бастапқы тетраэдрдің барлық қабырғалары біріктірілген.

Контакт геометриясы

Контакт геометриясы — тангенциалдық будапта гипержазықтықтар таралымымен және бір формамен берілген, екеуі де "толық интеграцияланбау" деп аталатын "максималды емес дегенерация" шартын қанағаттандыратын тегіс коллекторлардағы геометриялық құрылымды зерттеу. Фробен теоремасы бойынша, бұл шарт коллектордағы бір кодименсиялық жапырақтармен анықталатын таралымның шартының керісі ретінде танылады ("толық интегралданушылық"). Контакт геометриясы — симплектикалық геометрияның, яғни жұп өлшемді әлемге жататын, тақ өлшемді аналогы. Контакт және симплектикалық геометрия классикалық механиканың математикалық формализмімен байланысты, онда механикалық жүйенің жұп өлшемді фазалық кеңістігін немесе уақыт айнымалысын қосатын тақ өлшемді кеңейтілген фазалық кеңістікті қарастыруға болады.

Хакен коллекторы

Хакен коллекторы – дұрыс енгізілген екі жақты сығылмайтын беті бар, компактты, P² азайтылмайтын 3 коллектор, яғни ол жеткілікті үлкен. Кейде тек бағытталған Хакен коллекторларын қарастырады, онда Хакен коллекторы – бағытталған, азайтылмайтын 3 коллектор, онда бағытталған, сығылмайтын бет бар. Хакен коллекторымен шектеулі түрде жабылатын 3 коллектор «виртуалды Хакен» деп аталады. Виртуалды Хакен болжамы шексіз фундаментал тобына ие кез келген компактты, азайтылмайтын 3 коллектор виртуалды Хакен болады деп тұжырымдайды. Хакен коллекторларын Вольфганг Хакен енгізген. Хакен коллекторларында иерархия бар екенін дәлелдеді, олар сығылмайтын беттер бойынша 3 шарға бөлінеді. Сондай-ақ, Хакен 3 коллекторда сығылмайтын бет болған жағдайда, оны табудың шекті процедурасы бар екенін көрсетті. Жако және Оертл 3 коллекторының Хакен екенін анықтау үшін алгоритм ұсынды.

Негізгі ламинация

Эссенциалды ламинация – ламинацияның толықтырушы аймақтары азайтылмайтын болса, әрбір жапырағы сығылмайтын және соңы сығылмайтын, сондай-ақ шар тәрізді жапырақтары болмаса, ондағы ламинация. Эссенциалды ламинациялар Хакен манифольдтарында кездесетін сығылмайтын беттерді жалпылайды.

Хигаардты бөлу

Хигаард бөлінісі – компактты бағытталған 3-көптүрлінің екі тұтқа денесіне бөлу арқылы алынатын ыдырау. Кез келген жабық, бағытталатын үш көптүрлі осылай алуға болады; бұл Моизеге байланысты үш көптүрлінің үшбұрыштыққа жіктелуі туралы терең нәтижелерден туындайды. Бұл жоғары өлшемді көптүрлілерге қатысты күрт контраст құрайды, себебі олар тегіс немесе кесімді-сызықтық құрылымдарды қабылдауға міндетті емес. Тегістік болжамында Хигаард бөлінісінің болуы Смальдің Морзе теориясынан тұтқалық ыдыраулары туралы жұмысынан да шығады.

Жапырақты жапырақ

Тар жапырақша – 3-өлшемді кеңістіктегі 1-көлемді жапырақша, оның әрбір жапырағын бір көлденең шеңбер қиып өтеді. Көлденең шеңбер дегеніміз – жабық цикл, ол жапырақшаның жанама өрісіне әрқашан көлденең болады. Денис Салливанның нәтижесі бойынша, егер жапырақшаның әрбір жапырағын минималды бетке айналдыратын Риман метрикасы болса, онда бұл жапырақша тар жапырақша болып саналады. Тар жапырақшалар Уильям Терстон мен Дэвид Габайдың еңбектері арқасында кеңінен танымал болды.

Моиз теоремасы

Геометриялық топологияда Эдвин Э. Моиз дәлелдеген Моиз теоремасы, кез келген топологиялық 3-өлшемді кеңістіктің дерлік бірегей бөлшектік-сызықтық және тегіс құрылымы бар екенін көрсетеді. Салдары ретінде, кез келген 3-өлшемді жиынтық кеңістікте Хигаард бөлінісі болады.

Басты бөлшектеу теоремасы

3-көптүрліліктер үшін жайқы ыдырау теоремасы, әрбір тығыз, бағдарланатын 3-көптүрлілік – бірегей (гомеоморфизмге дейін) жайқы 3-көптүрліліктер жиынтығының байланысқан қосындысы болып табылады. Көптүрлілік жайқы болып есептеледі, егер оны бірдей өлшемді сфера емес, бірнеше көптүрліліктің байланысқан қосындысы түрінде көрсету мүмкін болмаса.

Кнессер Қисық шектілік

Кнезер Хакен шектілігіне сәйкес, әрбір тығыз 3-көптік үшін, C тұрақтысы бар, онда C-ден үлкен кардиналдығы бар кез келген бірікпес, сығылмайтын кіріктірілген беттер жиынында параллель элементтер табылуы тиіс.

Аннул және Торус теоремалары

Шар тәрізді аймақ теоремасы бойынша, егер үшөлшемді кеңістіктің шекарасындағы екі бөлек жабық қисық сызық еркін гомотопты болса, онда олар дұрыс орналастырылған шар тәрізді аймақтың шекарасын құрайды. Бұл осы аттас жоғары өлшемді теоремамен шатастырылмауы керек. Торус теоремасы былай тұжырымдалады: M – бос емес шекарасы бар, ыдырамайтын үшөлшемді кеңістік болсын. Егер M торустың маңызды бейнесін қабылдаса, онда M торустың немесе шар тәрізді аймақтың маңызды ендірілісін қабылдайды.

Скотттың өзекті теоремасы

Скотттың негізгі теоремасы – Г. Питер Скотттың 3-көптүрліліктердің негізгі топтарының шекті түрде берілуі туралы теорема. Нақты айтуынша:

Шекті түрде туындаған негізгі тобы бар (қажетті түрде ықшам емес) 3-көптүрлілік үшін, тығыз үш өлшемді ішкі көптүрлілік бар, ол тығыз ядро немесе Скотт ядросы деп аталады, және оның кіріктіру сырғауы негізгі топтарда изоморфизмді тудырады. Атап айтқанда, бұл шекті түрде туындаған 3-көптүрлілік тобының шекті түрде берілетінін білдіреді. Оның қарапайым дәлелі келтірілген, ал күштірек бірегейлік туралы мәлімдеме дәлелденген.

Лайкориш-Уоллес теоремасы

Ликкориш-Уоллес теоремасы бойынша, кез келген жабық, бағдарланатын, байланысты 3-көптік, 3 сферадағы шеңберленген сілтемеге Дехн операциясын жасау арқылы алынуы мүмкін, бұл операцияда операция коэффициенттері қолданылады. Бұдан әрі, сілтеменің әрбір компоненті түйінсіз деп қарастырылуы мүмкін.

Вальдхаузеннің топологиялық тұтастығы туралы теоремалары

Фридхельм Вальдхаузеннің топологиялық қатаңдық туралы теоремалары, белгілі бір 3-көптүрліліктердің (мысалы, сығылмайтын беті барлардың) гомеоморфты екенін айтады, егер шекараны сақтайтын фундаментал топтарының изоморфизмі болса.

Хигаард бөліністері туралы Вальдхаузен болжамы

Вальдхаузен әрбір жабық бағдарланатын 3-көптүрліліктің кез келген берілген туқымға ие шекті саны ғана Хигаард бөліністері (гомеоморфизмге дейін) болатынын болжады.

Смит болжамы

Смит болжамы (қазір дәлелденген) егер f – шекті ретті 3 сфераның диффеоморфизмі болса, онда f-тің бекітілген нүктелер жиыны тривиальды емес түйін бола алмайды.

Циклдік хирургия теоремасы

Циклдік хирургия теоремасы былай гласиды: егер M – сызықты, байланысты, бағдарланған, ыдырамайтын үш өлшемді кеңістік болса және оның шекарасы T торы болса, ал M – Сейферт талшықты кеңістігі болмаса, және r, s – T торындағы еңістер болса, олардың Дехн толтырулары циклдік негізгі топқа ие болса, онда r мен s арасындағы қашықтық (r мен s-ті көрсететін T торындағы екі жай ғана жабық қисықтың қиылысуының ең аз саны) 1-ден аспайды. Салдарынан, M-нің циклдік негізгі тобына ие болатын ең көп дегенде үш Дехн толтыруы бар.

Турстонның гиперболикалық Дена хирургиясы теоремасы және Йоргенсен-Турстон теоремасы

Терстонның гиперболалық Дена операциясы туралы теоремасы: i-ші құйрық үшін ерекше еңістердің шекті жиынтығынан аулақ болғанда, кез келген i үшін гиперболалық болып табылады. Сонымен қатар, M, H-дағы барлық бос емес Дена толтыруларына сәйкес келетін барлық үшін конвергенцияланады. Бұл теорема Уильям Терстонға тиесілі және гиперболалық 3-көптүрліліктер теориясының негізгі теоремасы болып табылады. Ол H-да тривиальды емес шектердің бар екенін көрсетеді. Троэльс Йоргенсеннің геометриялық топологияны зерттеуі тривиальды емес шектердің теоремадағы Дена толтыру арқылы туындайтынын көрсетті. Терстонның тағы бір маңызды нәтижесі – гиперболалық Дена толтыру кезінде көлемнің азаюы. Шындығында, теорема топологиялық Дена толтыру кезінде көлемнің азаятынын айтады, әрине, Дена толтырылған көптүрлілік гиперболалық болса. Дәлел Громов нормасының негізгі қасиеттеріне сүйенеді. Йоргенсен сондай-ақ бұл кеңістіктегі көлем функциясы үздіксіз және дұрыс функция екенін көрсетті. Осылайша, бұрынғы нәтижелерге сәйкес, H-дағы тривиальды емес шектер көлемдер жиынтығындағы тривиальды емес шектерге айналады. Шындығында, Терстон сияқты, шекті көлемді гиперболалық 3-көптүрліліктердің көлемдер жиынтығы ординалдық типке ие деген қорытынды жасауға болады. Бұл нәтиже Терстон-Йоргенсен теоремасы деп аталады. Громов осы жиынтықты сипаттау бойынша қосымша жұмыстар жасады. Сонымен қатар, Габай, Мейерхофф және Милли Уикс көптүрлілігінің кез келген жабық бағдарланған гиперболалық 3-көптүрліліктің ең кіші көлеміне ие екенін көрсетті.

Таменесс болжамы, сонымен қатар Марден болжамы немесе қолға қол жетімділік болжамы деп аталады

Тенменс теоремасы бойынша, шекті түрде туындаған негізгі тобы бар әрбір толық гиперболалық 3-көптеуір топологиялық тұрғыдан жайлы болады, яғни ықшам 3-көптеуірдің ішкі бөлігіне гомеоморфты. Бұл теореманы Марден болжаған. Оны Агол және тәуелсіз түрде Дэнни Калегари мен Дэвид Габаи дәлелдеді. Бұл, Клейниан топтарының тығыздық теоремасы және аяқталу ламинациясы теоремасымен бірге, геометриялық шексіз гиперболалық 3-көптеуірлердің негізгі қасиеттерінің бірі болып табылады. Сондай-ақ, ол Альфорс өлшемі туралы болжамды да куәландырады.

Ламинацияны аяқтау болжамы

Уильям Турстон бастапқыда болжаған, кейін Джеффри Брок, Ричард Канари және Яир Мински дәлелдеген аяқтау ламинация теоремасы, шекті түрде туындаған негізгі топтары бар гиперболалық 3-көптемелердің топологиясы және көптеменің шекарасындағы кейбір беттердегі геодезиялық ламинациялар болып табылатын "шекара инварианттары" арқылы анықталады.

Пуанкаре болжамы

3 сферасы қазір дәлелденген Пуанкаре болжамының арқасында ерекше маңызды 3-көптүрлілік болып табылады. Алғашында Анри Пуанкаре ұсынған теорема, жергілікті түрде қарапайым үш өлшемді кеңістікке ұқсас, бірақ байланысты, шекті өлшемді және шекарасы жоқ кеңістік туралы (жабық 3-көптүрлілік). Пуанкаре болжамы, егер мұндай кеңістіктегі кез келген контурды үздіріссіз түрде бір нүктеге дейін қысқартса болады, онда ол міндетті түрде үш өлшемді сфера болып табылады деп мәлімдейді. Жоғары өлшемдердегі ұқсас нәтиже бұрыннан белгілі. Математиктердің шамамен бір ғасырлық тыранынан кейін, Григорий Перельман 2002 және 2003 жылдары arXiv-те жарияланған үш мақалада болжамды дәлелдеді. Дәлел, Рихард С. Гамильтонның Риччи ағынын қолданып мәселені шешу жоспарынан туындады. Перельман стандартты Риччи ағынына өзгеріс енгізді, оны хирургиялық Риччи ағыны деп атады, ол даму келе жатқан ерекше аймақтарды жүйелі түрде және бақыланатын жолмен жоюға мүмкіндік береді. Бірнеше математиктер тобы Перельманның дәлелінің дұрыс екенін тексерді.

Турстонның геометриялық болжамы

Турстонның геометриялық болжамы белгілі бір үш өлшемді топологиялық кеңістіктердің әрқайсысымен байланыстырыла алатын бірегей геометриялық құрылымы бар екенін айтады. Бұл екі өлшемді беттер үшін біркелкілік теоремасының аналогы болып табылады, онда әрбір жай байланысқан Риман бетіне үш геометрияның бірі (Евклидтік, сфералық немесе гиперболалық) берілуі мүмкін. Үш өлшемде топологиялық кеңістіктің бәріне бір геометрияны тағайындау әрқашан мүмкін емес. Оның орнына, геометриялық болжам бойынша, әрбір жабық 3-көптүрлілік канондық түрде геометриялық құрылымның сегіз түрінің біріне ие бөлшектерге бөлінеді. Бұл болжам Уильям Турстон ұсынған және Поанкаре болжамы және Турстонның эллиптизациялық болжамы сияқты басқа да бірнеше болжамдарды қамтиды. Турстонның гиперболизация теоремасы Хакен көптүрліліктері геометриялық болжамды қанағаттандырады дегенді көрсетеді. Турстон 1980 жылдары дәлелдеме жариялаған, содан бері бірнеше толық дәлелдемелер жарық көрді. Григорий Перельман 2003 жылы Риччи ағынымен хирургия қолданып, толық геометриялық болжамның дәлелін жасады. Дәлелдің толық сипаттамасы бар бірнеше қолжазбалар бар (төменде қараңыз). Поанкаре болжамы мен сфералық кеңістік пішіні болжамы геометриялық болжамның салдары болып табылады, бірақ бұрынғысының геометриялық болжамға әкелмейтін қысқа дәлелдемелері де бар.

Шын мәнінде талшықты болжам және Шын мәнінде Хакен болжам

Американдық математик Уильям Турстон тұжырымдаған «Виртуалды талшықты болжам» бойынша, әрбір жабық, азайтылмайтын, 3-ге тең емес 3-өлшемді кеңістік, шексіз негізгі топқа ие болса, шеңбер үстіндегі беттік түйін болатын шекті жабындыға ие болады. «Виртуалды Хакен болжамы» шексіз негізгі топқа ие әрбір тығыз, бағдарланатын, азайтылмайтын үш өлшемді кеңістік – виртуалды Хакен екенін айтады. Яғни, оның шекті жабындысы (бірге шекті қақпақпен жабылған кеңістік) Хакен кеңістігі болады. 2009 жылдың 25 тамызында ArXiv-те жарияланған хабарламасында Дэниел Уайз (осы кезде жарияланбаған ұзын қолжазбаға сілтеме жасай отырып) 3-өлшемді кеңістік жабық, гиперболалық және Хакен болған жағдайда «Виртуалды талшықты болжамды» дәлелдегенін мәлімдеді. Бұдан кейін математикалық ғылымдардағы электрондық зерттеулер туралы хабарландырулар жинағында мақала жарияланды. Содан кейін, Уайздың аталған ұзын қолжазбасының ішінде, тағы бірнеше алдын ала басылымдар жарық көрді. 2012 жылдың наурыз айында Париждегі Анри Пуанкаре институтында өткен конференцияда Иан Агол жабық гиперболалық 3-өлшемді кеңістіктер үшін «Виртуалды Хакен болжамын» дәлелдей алатынын хабарлады. Дәлел Кахн мен Марковичтің «Беттік субтоптар болжамын» дәлелдеудегі нәтижелеріне және Уайздың «Ерекше коэффициент теоремасын» дәлелдеудегі нәтижелеріне негізделген. Геометриялық болжамды қабылдағанда, жалғыз шешілмеген мәселе жабық гиперболалық 3-өлшемді кеңістіктер болды. Осы мәселенің шешімін 2009 жылдың жазында Джереми Кан мен Владимир Маркович жариялады және 2009 жылдың 4 тамызында Юта университеті ұйымдастырған FRG (фокустық зерттеу тобы) конференциясында баяндама жасады. 2009 жылдың қазан айында arxivте алдын ала басылым түрінде пайда болды. Олардың жұмысы 2012 жылы «Математика анналында» жарияланды. 2012 жылдың маусым айында Кан мен Марковичке Оксфордта өткен салтанатта Клей математика институты Клей зерттеу сыйлығын табыс етті.

Кабельді құрылғылар болжамы

Кабельдеу болжамы бойынша, егер 3 сферадағы түйінге Дехн операциясы редукцияланатын 3-көптікке әкелсе, онда бұл түйін басқа бір түйінге қатысты кабель болып табылады, және операция белгілі бір еңіс бойынша орындалуы тиіс.