Введение

Математическое пространство

В математике, трёхмерное многообразие — это топологическое пространство, которое локально выглядит как трёхмерное евклидово пространство. Трёхмерное многообразие можно рассматривать как возможную форму Вселенной. Подобно тому, как сфера выглядит как плоскость (касательная плоскость) для достаточно маленького и близкого наблюдателя, все трёхмерные многообразия выглядят как наша Вселенная для достаточно маленького наблюдателя. Это уточняется в определении ниже.

Определение

Топологическое пространство является 3-многообразием, если оно является хаусдорфовым пространством со счетным базисом и для каждой точки в нем существует окрестность, гомеоморфная евклидову пространству размерности 3.

Математическая теория 3-многообразия

Топологические, кусочно-линейные и гладкие категории эквивалентны в трех измерениях, поэтому обычно не делают существенного различия между, скажем, топологическими 3-многообразиями и гладкими 3-многообразиями. Явления в трех измерениях могут резко отличаться от явлений в других измерениях, и поэтому широко распространены весьма специализированные методы, которые не обобщаются на измерения, большие трех. Эта особая роль привела к открытию тесных связей с разнообразными другими областями, такими как теория узлов, геометрическая теория групп, гиперболическая геометрия, теория чисел, теория Тейхмюллера, топологическая квантовая теория поля, теория калибровочных полей, гомологии Флоэра и уравнения в частных производных. Теория 3-многообразий рассматривается как часть низкоразмерной или геометрической топологии. Ключевая идея теории заключается в изучении 3-многообразия путем рассмотрения специальных поверхностей, вложенных в него. Можно выбирать поверхность, удобно расположенную в 3-многообразии, что приводит к понятию несжимаемой поверхности и теории многообразий Хакена, или можно выбирать дополнительные части так, чтобы они были максимально простыми, что приводит к структурам, таким как расслоения Хигаарда, которые полезны даже в не-Хакеновом случае. Вклад Тёрстона в теорию позволяет также рассматривать, во многих случаях, дополнительную структуру, задаваемую конкретной геометрией модели Тёрстона (которых существует восемь). Наиболее распространенной геометрией является гиперболическая геометрия. Использование геометрии в дополнение к специальным поверхностям часто оказывается плодотворным. Фундаментальные группы 3-многообразий сильно отражают геометрическую и топологическую информацию, присущую 3-многообразию. Таким образом, существует взаимодействие между теорией групп и топологическими методами.

Инварианты, описывающие 3-многообразие

3-многообразия представляют собой интересный частный случай низкомерной топологии, поскольку их топологические инварианты дают много информации об их структуре в общем случае. Если обозначить 3-многообразие через , а его фундаментальную группу через , то из них можно получить значительный объем информации. Например, используя дуальность Пуанкаре и теорему Гуревича, мы получаем следующие группы гомологии: где последние две группы изоморфны группе гомологии и группе когомологии соответственно; то есть, на основе этой информации можно получить базовую гомотопическую классификацию 3-многообразий. Из башни Постникова существует каноническое отображение. Если взять прямое изображение фундаментального класса в , то мы получим элемент. Оказывается, группа вместе с группой класса гомологии дают полное алгебраическое описание гомотопического типа .

Соединенные суммы

Одной из важных топологических операций является связная сумма двух трехмерных многообразий. На самом деле, из общих теорем в топологии следует, что для трехмерного многообразия, имеющего разложение на связные суммы, инварианты, упомянутые выше, для этого многообразия могут быть вычислены из инвариантов составляющих. В частности, трехмерное многообразие, которое нельзя представить в виде связной суммы двух трехмерных многообразий, называется простым.

Вторая гомотопическая группа

В случае 3-многообразия, заданного связной суммой простых 3-многообразий, оказывается, существует хорошее описание второй фундаментальной группы как модуля. Для частного случая, когда каждый из них бесконечен, но не является циклической группой, если мы возьмем базированные вложения 2-сферы, то вторая фундаментальная группа имеет следующее представление, позволяющее прямо вычислить эту группу.

Евклидово 3-пространство

Евклидово 3-мерное пространство является наиболее важным примером 3-многообразия, поскольку все остальные определяются по отношению к нему. Это просто стандартное трёхмерное векторное пространство над действительными числами.

3-сфера

Сфера 3 — это аналог сферы в более высоких измерениях. Она состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Подобно тому, как обычная сфера (или 2-сфера) является двумерной поверхностью, образующей границу шара в трёх измерениях, сфера 3 — это объект с тремя измерениями, образующий границу шара в четырёх измерениях. Многие примеры трёхмерных многообразий можно построить, беря факторпространства сферы 3 по конечному свободно действующему на ней посредством отображения группе, то есть .

Реальное проективное 3-пространство

Реальное проективное 3-пространство, или RP3, — это топологическое пространство прямых, проходящих через начало координат 0 в R4. Это компактное, гладкое многообразие размерности 3, являющееся частным случаем Gr(1, R4) грассманова пространства. RP3 диффеоморфно SO(3) и, следовательно, допускает групповую структуру; отображение накрытия S3 → RP3 является отображением групп Spin(3) → SO(3), где Spin(3) — группа Ли, являющаяся универсальным накрытием SO(3).

3-тор

Трехмерный тор — это произведение трех окружностей. То есть:

3-тор, T3, может быть описан как факторпространство R3 по действию целочисленных сдвигов по любой координате. То есть, 3-тор — это R3 по модулю действия целочисленной решетки Z3 (где действие рассматривается как сложение векторов). Эквивалентно, 3-тор получается из трехмерного куба путем склеивания противоположных граней. 3-тор в этом смысле является примером трехмерного компактного многообразия. Он также является примером компактной абелевой группы Ли. Это следует из того факта, что единичная окружность является компактной абелевой группой Ли (при отождествлении с единичными комплексными числами и умножением). Операция группового умножения на торе определяется как умножение покомпонентно.

Гиперболическое 3-пространство

Гиперболическое пространство — однородное пространство, которое может быть охарактеризовано постоянной отрицательной кривизной. Оно является моделью гиперболической геометрии. Оно отличается от евклидовых пространств с нулевой кривизной, определяющих евклидову геометрию, и моделей эллиптической геометрии (например, трёхмерной сферы), обладающих постоянной положительной кривизной. При вложении в евклидово пространство (большей размерности) каждая точка гиперболического пространства является седловой точкой. Другим характерным свойством является объём пространства, покрываемый трёхмерным шаром в гиперболическом трёхмерном пространстве: он возрастает экспоненциально относительно радиуса шара, а не полиномиально.

Понкаре, двенадцатигранное пространство

Гомологическая сфера Понкаре (также известная как пространство Понкаре-додекаэдра) является конкретным примером гомологической сферы. Будучи сферическим 3-многообразием, она является единственной гомологической 3-сферой (кроме самой 3-сферы) с конечной фундаментальной группой. Её фундаментальная группа известна как бинарная икосаэдрическая группа и имеет порядок 120. Это показывает, что гипотезу Понкаре нельзя сформулировать, используя только гомологические термины. В 2003 году отсутствие структуры в самых больших масштабах (более 60 градусов) в космическом микроволновом фоне, наблюдаемом в течение одного года космическим аппаратом WMAP, привело к предположению Жана-Пьера Люмине из Парижской обсерватории и его коллег о том, что форма Вселенной представляет собой сферу Понкаре. В 2008 году астрономы обнаружили наилучшую ориентацию на небе для данной модели и подтвердили некоторые её предсказания, используя трёхлетние наблюдения, полученные с помощью космического аппарата WMAP. Однако на данный момент нет достаточных оснований считать эту модель верной.

Сейферт Веберское пространство

В математике пространство Зейферта — Вебера (введённое Гербертом Зейфертом и Константином Вебером) является замкнутым гиперболическим 3-многообразием. Оно также известно как додекаэдрическое пространство Зейферта — Вебера и гиперболическое додекаэдрическое пространство. Это один из первых обнаруженных примеров замкнутых гиперболических 3-многообразий. Оно строится путём склеивания каждой грани додекаэдра с противоположной гранью таким образом, чтобы получить замкнутое 3-многообразие. Существует три способа выполнить это склеивание согласованно. Противоположные грани смещены на 1/10 оборота, поэтому для их совмещения их необходимо повернуть на 1/10, 3/10 или 5/10 оборота; поворот на 3/10 даёт пространство Зейферта — Вебера. Поворот на 1/10 даёт сферу гомологии Пуанкаре, а поворот на 5/10 даёт трёхмерное вещественное проективное пространство. При использовании схемы склеивания с поворотом на 3/10, рёбра исходного додекаэдра склеиваются друг с другом группами по пять. Таким образом, в пространстве Зейферта — Вебера каждое ребро окружено пятью пятиугольными гранями, а двугранный угол между этими пятиугольниками равен 72°. Это не соответствует двугранному углу в 117° правильного додекаэдра в евклидовом пространстве, но в гиперболическом пространстве существуют правильные додекаэдры с любым двугранным углом между 60° и 117°, и гиперболический додекаэдр с двугранным углом 72° может быть использован для придания пространству Зейферта — Вебера геометрической структуры гиперболического многообразия. Это фактор-пространство додекаэдрической соты порядка 5, регулярная замощение гиперболического 3-пространства додекаэдрами с этим двугранным углом.

Гизэкингский коллектор

В математике, многообразие Гизекинга — это куспенное гиперболическое 3-многообразие конечного объема. Оно не ориентируемо и имеет наименьший объем среди некомпактных гиперболических многообразий, равный приблизительно 1.01494161. Оно было открыто Гизекингом. Многообразие Гизекинга можно построить, удалив вершины из тетраэдра, а затем склеив грани попарно с помощью аффинных линейных преобразований. Пронумеруем вершины 0, 1, 2, 3. Склейте грань с вершинами 0, 1, 2 с гранью с вершинами 3, 1, 0 в этом порядке. Склейте грань 0, 2, 3 с гранью 3, 2, 1 в этом порядке. В гиперболической структуре многообразия Гизекинга этот идеальный тетраэдр является каноническим полиэдрическим разложением, предложенным Дэвидом Б. Эпштейном и Робертом Пеннером. Более того, угол между гранями… Триангуляция состоит из одного тетраэдра, двух граней, одного ребра и отсутствия вершин, поэтому все рёбра исходного тетраэдра склеены вместе.

Геометрия контактов

Контактная геометрия — это изучение геометрической структуры на гладких многообразиях, заданной распределением гиперплоскостей в тангентном расслоении и определяемой одной формой, причем оба эти объекта удовлетворяют условию "максимальной недегенеративности", называемому "полной неинтегрируемостью". Из теоремы Фробениуса следует, что это условие является противоположным условию полной интегрируемости распределения, то есть условию, при котором распределение определяется одномерным слоением на многообразии. Контактная геометрия во многом является нечетноразмерным аналогом симплектической геометрии, которая относится к четноразмерному миру. И контактная, и симплектическая геометрия мотивированы математическим формализмом классической механики, где можно рассматривать либо четноразмерное фазовое пространство механической системы, либо нечетноразмерное расширенное фазовое пространство, включающее переменную времени.

Коллектор Хакена

Многообразие Хакена — это компактное, P²-неприводимое трёхмерное многообразие, достаточно большое, то есть содержащее правильно вложенную двустороннюю несжимаемую поверхность. Иногда рассматриваются только ориентируемые многообразия Хакена, в этом случае многообразие Хакена — это компактное, ориентируемое, неприводимое трёхмерное многообразие, содержащее ориентируемую несжимаемую поверхность. Трёхмерное многообразие, конечно покрываемое многообразием Хакена, называется виртуально Хакеновым. Виртуально-Хакенова гипотеза утверждает, что каждое компактное, неприводимое трёхмерное многообразие с бесконечной фундаментальной группой является виртуально Хакеновым. Многообразия Хакена были введены Вольфгангом Хакеном. Хакеном было доказано, что многообразия Хакена имеют иерархию, и их можно разложить на 3-шары вдоль несжимаемых поверхностей. Хакеном также было показано, что существует конечный алгоритм для нахождения несжимаемой поверхности, если такое многообразие существует. Яко и Оэртель предложили алгоритм для определения, является ли трёхмерное многообразие Хакеновым.

Основные ламинации

Эссенциальная ламинация — это ламинация, в которой каждый лист несжимаем и концы несжимаемы, при условии, что дополнительные области ламинации ирредуцибельны, и если нет сферических листов. Эссенциальные ламинации обобщают несжимаемые поверхности, встречающиеся в многообразиях Хакена.

Разделение Heegaard

Разделение Хигарда — это разложение компактного ориентированного 3-многообразия, получаемое путем его разделения на два тела-ручки. Любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие можно получить таким образом; это следует из глубоких результатов о триангулируемости трехмерных многообразий, полученных Моизом. Это резко контрастирует с многообразиями более высокой размерности, которые не обязательно допускают гладкие или кусочно-линейные структуры. При условии гладкости существование разделения Хигарда также вытекает из работ Смаля о разложениях на ручки, основанных на теории Морзе.

Тонкая листва

Натянутая фолиация — это фолиация трехмерного многообразия с кодименсией 1, обладающая свойством, что существует единственный поперечный круг, пересекающий каждый лист. Под поперечным кругом понимается замкнутая петля, которая всегда пересекает тангенциальное поле фолиации в поперечном направлении. Эквивалентно, по результату Дениса Салливана, фолиация с кодименсией 1 является натянутой, если существует риманова метрика, при которой каждый лист является минимальной поверхностью. Натянутые фолиации получили известность благодаря работам Уильяма Терстона и Дэвида Габая.

Теорема Моиса

В геометрической топологии теорема Мойза, доказанная Эдвином Э. Мойзом, утверждает, что любое топологическое 3-многообразие имеет по существу единственную кусочно-линейную структуру и гладкую структуру. Как следствие, любое компактное 3-многообразие имеет расслоение Хигаарда.

Теорема о расщеплении простых чисел

Теорема о простом разложении для 3-многообразий утверждает, что каждое компактное, ориентируемое 3-многообразие является связной суммой уникального (с точностью до гомеоморфизма) набора простых 3-многообразий. Многообразие называется простым, если его нельзя представить в виде связной суммы более чем одного многообразия, ни одно из которых не является сферой той же размерности.

Кнессер Ограниченная конечность

Конечность Кнесера Хакена утверждает, что для каждого компактного трехмерного многообразия существует константа C, такая что любое множество непересекающихся несжимаемых погруженных поверхностей кардинальности больше C должно содержать параллельные элементы.

Теоремы Аннула и Тора

Теорема об аннулюсе утверждает, что если пара непересекающихся простых замкнутых кривых на границе трехмерного многообразия свободно гомотопны, то они образуют правильно вложенный аннулюс. Это не следует путать с теоремой о высоких размерностях с тем же названием. Теорема о торе формулируется следующим образом: Пусть M — компактное, неприводимое трехмерное многообразие с непустой границей. Если M допускает существенное отображение тора, то M допускает существенное вложение тора или аннулюса.

Теорема Скотта

Теорема о ядре Скотта — это теорема о конечной представимости фундаментальных групп трёхмерных многообразий, установленная Г. Питером Скоттом. Точная формулировка следующая:

Для любого трёхмерного многообразия (не обязательно компактного) с конечно порождённой фундаментальной группой существует компактное трёхмерное подмногообразие, называемое компактным ядром или ядром Скотта, такое что отображение включения индуцирует изоморфизм на фундаментальных группах. В частности, это означает, что конечно порождённая группа трёхмерного многообразия является конечно представимой. Упрощённое доказательство приводится в, а более сильное утверждение об единственности доказывается в.

Теорема Уоллеса

Теорема Ликкориша — Уоллеса утверждает, что любое замкнутое, ориентируемое, связное трёхмерное многообразие может быть получено выполнением хирургии Дена на обрамлённой зацепленной ссылке в трёхмерной сфере с коэффициентами хирургии. Более того, можно считать, что каждая компонента этой зацепленной ссылки является тривиальным узлом.

Теоремы Вальдхаузена о топологической жесткости

Теоремы Фридхельма Вальдхаузена о топологической жесткости утверждают, что определенные трехмерные многообразия (например, содержащие несжимаемую поверхность) гомеоморфны, если существует изоморфизм их фундаментальных групп, сохраняющий границу.

Гипотеза Вальдхаузена о расщеплениях Хигаарда

Вальдхаузен предположил, что каждое замкнутое ориентируемое 3-многообразие имеет лишь конечное число расслоений Хигаарда (с точностью до гомеоморфизма) заданного рода.

Предположение Смита

Предположение Смита (теперь доказано) утверждает, что если f — диффеоморфизм 3-сферы конечного порядка, то множество неподвижных точек f не может являться нетривиальным узлом.

Теорема циклической хирургии

Теорема о циклической хирургии утверждает, что для компактного, связного, ориентируемого, неприводимого трёхмерного многообразия M, границей которого является тор T, если M не является расслоенным пространством Сейферта и r, s – наклоны на T, такие что их заполнения Дена имеют циклическую фундаментальную группу, то расстояние между r и s (минимальное число пересечений двух простых замкнутых кривых на T, представляющих r и s) не превышает 1. Следовательно, существует не более трёх заполнений Дена многообразия M с циклической фундаментальной группой.

Теорема о гиперболической хирургии Дёна и теорема Джоргенсена Тёрстона

Теорема Тёрстона об гиперболической операции Дэн говорит: многообразие остаётся гиперболическим, если избегать конечного набора исключительных наклонов для i-го куспа для каждого i. Кроме того, сходится к M в H при всех , соответствующих непустым заполнениям Дена. Эта теорема принадлежит Уильяму Тёрстону и является фундаментальной для теории гиперболических 3-многообразий. Она показывает существование нетривиальных пределов в H. Дальнейшее исследование геометрической топологии, проведённое Троельсом Йоргенсеном, показывает, что все нетривиальные пределы возникают в результате заполнения Дена, как описано в теореме. Другим важным результатом Тёрстона является то, что объём уменьшается при гиперболическом заполнении Дена. Фактически, теорема утверждает, что объём уменьшается при топологическом заполнении Дена, при условии, конечно, что полученное многообразие после заполнения Дена является гиперболическим. Доказательство опирается на основные свойства нормы Громова. Йоргенсен также показал, что функция объёма на этом пространстве является непрерывной и собственной функцией. Таким образом, на основании предыдущих результатов, нетривиальные пределы в H переходят в нетривиальные пределы в множестве объёмов. Более того, как показал Тёрстон, можно заключить, что множество объёмов гиперболических 3-многообразий конечного объёма имеет порядковый тип . Этот результат известен как теорема Тёрстона — Йоргенсена. Дальнейшая работа по характеризации этого множества была выполнена Громовым. Кроме того, Габай, Мейерхофф и Милли показали, что многообразие Уикса имеет наименьший объём среди всех замкнутых ориентируемых гиперболических 3-многообразий.

Гипотеза Темнеса, также называемая гипотезой Мардена или гипотезой о прирученных концах

Теорема об укрощении гласит, что каждое полное гиперболическое 3-многообразие с конечно порожденной фундаментальной группой является топологически укрощенным, иными словами, гомеоморфно внутренней части компактного 3-многообразия. Теорема об укрощении была предсказана Марденом. Она была доказана Аголом и, независимо от него, Дэнни Калегари и Дэвидом Габаи. Это одно из фундаментальных свойств геометрически бесконечных гиперболических 3-многообразий, наряду с теоремой о плотности для групп Клейна и теоремой об оконечном ламинировании. Она также подразумевает гипотезу об альфорсовской мере.

Концовка ламинации

Теорема об оконечной ламинации, первоначально предложенная Уильямом Терстоном и впоследствии доказанная Джеффри Броком, Ричардом Канари и Яиром Мински, утверждает, что гиперболические 3-многообразия с конечно порожденными фундаментальными группами определяются своей топологией вместе с определенными "оконечными инвариантами", которые представляют собой геодезические ламинации на некоторых поверхностях в границе многообразия.

Гипотеза Понкаре

Сфера 3 является особенно важным трёхмерным многообразием благодаря доказанной гипотезе Пуанкаре. Изначально сформулированная Анри Пуанкаре, эта теорема описывает пространство, которое локально выглядит как обычное трёхмерное пространство, но при этом связно, конечно по размеру и лишено каких-либо границ (замкнутое трёхмерное многообразие). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что любую петлю в нём можно непрерывно стянуть в точку, то оно обязательно является трёхмерной сферой. Аналогичный результат известен для более высоких размерностей уже некоторое время. После почти столетия усилий математиков, Григорий Перельман представил доказательство гипотезы в трёх статьях, опубликованных на arXiv в 2002 и 2003 годах. Доказательство стало развитием программы Ричарда С. Гамильтона по использованию потока Риччи для решения этой задачи. Перельман предложил модификацию стандартного потока Риччи, названную потоком Риччи с хирургией, для систематического удаления сингулярных областей по мере их возникновения, контролируемым образом. Несколько групп математиков подтвердили корректность доказательства Перельмана.

Гипотеза геометризации Турстона

Гипотеза геометризации Турстона утверждает, что определенные трехмерные топологические пространства обладают уникальной геометрической структурой, которую можно с ними связать. Это аналог теоремы об униформизации для двухмерных поверхностей, утверждающей, что каждая односвязная поверхность Римана может быть наделена одной из трех геометрий (евклидовой, сферической или гиперболической). В трех измерениях не всегда возможно приписать единую геометрию всему топологическому пространству. Вместо этого гипотеза геометризации утверждает, что любое замкнутое трехмерное многообразие может быть канонически разложено на части, каждая из которых имеет один из восьми типов геометрической структуры. Гипотеза была предложена Уильямом Турстоном и влечет за собой ряд других гипотез, таких как гипотеза Пуанкаре и гипотеза Турстона об эллиптизации. Теорема гиперболизации Турстона подразумевает, что многообразия Хакена удовлетворяют гипотезе геометризации. Турстон объявил о доказательстве в 1980-х годах, и с тех пор несколько полных доказательств были опубликованы. Григорий Перельман представил эскиз доказательства полной гипотезы геометризации в 2003 году, используя поток Риччи с хирургическими вмешательствами. В настоящее время существует несколько различных рукописей (см. ниже), содержащих детали доказательства. Гипотеза Пуанкаре и гипотеза о сферической пространственной форме являются следствиями гипотезы геометризации, хотя существуют более короткие доказательства первой, которые не приводят к гипотезе геометризации.

Виртуально волокнистая гипотеза и Виртуально Хакенская гипотеза

Виртуально волокнистая гипотеза, сформулированная американским математиком Уильямом Турстоном, утверждает, что каждое замкнутое, неприводимое, нетороидальное 3-многообразие с бесконечной фундаментальной группой имеет конечное накрытие, являющееся расслоением поверхностей над окружностью. Гипотеза о виртуальной Haken-структуре утверждает, что каждое компактное, ориентируемое, неприводимое трехмерное многообразие с бесконечной фундаментальной группой является виртуально Haken. То есть, оно имеет конечное накрытие (покрывающее пространство с конечно-к-одному отображением покрытия), являющееся Haken-многообразием. В публикации на ArXiv от 25 августа 2009 года Дэниел Уайз косвенно намекнул (ссылаясь на более длинную, тогда еще неопубликованную рукопись), что он доказал виртуально волокнистую гипотезу для случая, когда 3-многообразие замкнуто, гиперболическо и Haken. За этим последовала обзорная статья в Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences. Затем последовали еще несколько препринтов, включая вышеупомянутую более длинную рукопись Уайза. В марте 2012 года, во время конференции в Институте Анри Пуанкаре в Париже, Иан Агол объявил, что он может доказать гипотезу о виртуальной Haken-структуре для замкнутых гиперболических 3-многообразий. Доказательство опирается на результаты Кана и Марковича в их доказательстве гипотезы о подгруппах поверхности и результаты Уайза в доказательстве теоремы о специальных ненормальных частных отношениях. При условии справедливости гипотезы геометризации, единственным нерешенным случаем оставались замкнутые гиперболические 3-многообразия. Доказательство этого случая было объявлено летом 2009 года Джереми Каном и Владимиром Марковичем и представлено в докладе 4 августа 2009 года на конференции FRG (Focused Research Group), организованной Университетом Юты. Препринт появился в архиве в октябре 2009 года. Их статья была опубликована в Annals of Mathematics в 2012 году. В июне 2012 года Кан и Маркович были удостоены Clay Research Awards от Института математики Клэя на церемонии в Оксфорде.

Предположение о кабелях

Предположение о проводках гласит, что если операция Дена на узле в 3-сфере приводит к редуцируемому 3-многообразию, то этот узел является проводкой на некотором другом узле, и операция должна была быть выполнена с использованием наклона .