Кіріспе

Алгебралық құрылымдар класы – полиномиялық теңдеулер жүйесінің шешімдері жиынтығы. Универсалды алгебрада алгебралардың немесе теңдеу класының әртүрлілігі – берілген қолтаңбадағы және берілген сәйкестіктер жиынтығын қанағаттандыратын барлық алгебралық құрылымдар класы. Мысалы, топтар, абельдік топтар, сақиналар, моноидтар және т.б. алгебралардың әртүрлілігін құрайды. Бірхофф теоремасы бойынша, егер алгебралық құрылымдар класы гомоморфты бейнелерге, субальгебраларға және (түзу) көбейтуге қатысты жабық болса, онда ол әртүрлілік болып табылады. Категориялар теориясы бойынша, алгебралардың әртүрлілігі және олардың гомоморфизмдері бірге категорияны құрайды; мұндай категориялар көбінесе шекті алгебралық категориялар деп аталады. Ковариети – берілген қолтаңбадағы барлық коалгебралық құрылымдар класы.

Терминология

Алгебраның әртүрлілігін алгебралық әртүрлілікпен шатастыруға болмайды, ол полиномдық теңдеулер жүйесінің шешімдері жиынтығын білдіреді. Бұл екеуі формальды түрде мүлдем бөлек және олардың теорияларында ортақ нәрсе шамалы. "Алгебраның әртүрлілігі" термині универсалды алгебраның жалпы мағынасындағы алгебраларды білдіреді; сонымен қатар, алгебраның ерекше мағынасы да бар, атап айтқанда, өріс үстіндегі алгебра, яғни билинейлі көбейтумен жабдықталған векторлық кеңістік.

Мысалдар

Барлық жарты топтардың класы (2) қолтаңбалы алгебралардың әртүрлілігін құрайды, яғни жарты топтың бір ғана бинарлық операциясы бар. Қажетті анықтамалық теңдеу – ассоциативтік заң:

Топтар класы (2,0,1) қолтаңбалы алгебралардың әртүрлілігін құрайды, мұнда үш операция тиісінше көбейту (бинарлық), бірлік элемент (нульдік, тұрақты) және кері операция (унарлық) болып табылады. Ассоциативтік, бірлік элемент және кері операция аксиомалары – сәйкестіктердің қолайлы жиынтығы:

Сақиналар класы да алгебралардың әртүрлілігін құрайды. Мұндағы қолтаңба (2,2,0,0,1) – екі бинарлық операция, екі тұрақты және бір унарлық операция. Егер біз нақты R сақинасын бекітсек, сол R модульдер класын қарастыра аламыз. R элементтерімен скалярлық көбейтуді көрсету үшін, R-дың әрбір элементі үшін бір унарлық операция қажет. Егер сақина шексіз болса, онда біз шексіз көп операцияларға ие боламыз, бұл әмбебап алгебрадағы алгебралық құрылымның анықтамасымен рұқсат етіледі. Сондай-ақ, модуль аксиомаларын көрсету үшін шексіз көп сәйкестіктер қажет болады, бұл алгебралардың әртүрлілігінің анықтамасымен рұқсат етіледі. Демек, сол R модульдер алгебралардың әртүрлілігін құрайды. Өрістер алгебралардың әртүрлілігін құрамайды, өйткені барлық нөлдік емес элементтердің инверттік болуын жалпыға ортақ қанағаттандырылатын сәйкестік ретінде көрсету мүмкін емес (төменде қараңыз). Жоюшы жарты топтар да алгебралардың әртүрлілігін құрамайды, өйткені жою қасиеті теңдеу емес, ол теңдеулер жиынтығына баламас импликация болып табылады. Алайда, олар квази-әртүрлілікті құрайды, себебі жою қасиетін анықтайтын импликация – квази-сәйкестіктің мысалы.

Бірхоффтың сандық теоремасы

Бір қолтаңбалы алгебралық құрылымдар класын қарастыра отырып, гомоморфизм, субальгебра және көбейтінді ұғымдарын анықтауға болады. Гаррет Бирхофф бір қолтаңбалы алгебралық құрылымдар класы гомоморфты бейнелер, субальгебралар және кез келген көбейтінділер бойынша жабық болса ғана әртүрлі екенін дәлелдеді. Бұл әмбебап алгебра үшін маңызды нәтиже және Бирхоффтың әртүрлілік теоремасы немесе HSP теоремасы ретінде белгілі. H, S және P әдепкі бойынша гомоморфизм, субальгебра және көбейтінді операцияларын білдіреді. Аталған эквиваленттіліктің бір жағы, атап айтқанда, белгілі бір теңдеулер жиынтығын қанағаттандыратын алгебралар класы HSP операциялары бойынша жабық болуы керек, бұл анықтамалардан тікелей шығады. HSP операциялары бойынша жабық алгебралар кластары теңдеулермен анықталады деген кері теореманы дәлелдеу қиынырақ. Бирхофф теоремасының оңай жағын пайдаланып, мысалы, жоғарыда айтылған талапты растауға болады: өріс аксиомаларын ешқандай теңдеулер жиынтығымен көрсету мүмкін емес, өрістердің көбейтіндісі өріс емес, сондықтан өрістер әртүрлілік құрамайды.

Ішкі сорттар

V алгебраларының бір түрінің ішкі түрі – V-мен бірдей қолтаңбасы бар және өзі де бір түрлілік болатын V классының ішкі жиыны, яғни ол сәйкестіктер жиынтығымен анықталады. Ескеріңіз, кез келген топ тұрақты ретінде сәйкестік алынғанда (немесе кері операция алынғанда) жартылай топқа айналады, бірақ топтар класы жартылай топтардың түрінің ішкі түрін құрамайды, себебі қолтаңбалар әртүрлі. Сол сияқты, топтар болатын жартылай топтар класы жартылай топтар түрінің ішкі түрі емес. Топтар болатын моноидтар класы өзінің ішкі алгебрасын (нақтырақ айтқанда, ішкі моноидын) қамтиды және қамтымайды. Дегенмен, абельдік топтар класы топтар түрінің ішкі түрі болып табылады, өйткені ол 1 = xy = yx шартын қанағаттандыратын топтардан тұрады, ал қолтаңба өзгермейді. Абельдің шекті топтары ішкі түрлілікті құрамайды, себебі Бирхофф теоремасы бойынша олар түрлілікті құрамайды, өйткені шекті топтардың кездейсоқ көбейтіндісі шекті түрде жасалмайды. V түрін және оның гомоморфизмдерін категория ретінде қарастырғанда, V-нің U ішкі түрі V-нің толық ішкі категориясы болып табылады, яғни кез келген a, b объектілері үшін U-дағы a-дан b-ға дейінгі гомоморфизмдер V-дегі a-дан b-ға дейінгі гомоморфизмдермен дәл сәйкес келеді.

Бос нысандар

V – алгебралардың тривиалды емес түрі, яғни V жиынында бір элементтен артық элементі бар алгебралар бар. Кез келген S жиыны үшін, V түрінде S жиынындағы FS еркін алгебрасы бар екенін көрсетуге болады. Бұл, келесі әмбебап қасиетті қанағаттандыратын инъективті жиындық бейнелеу i : S → FS бар дегенді білдіреді: V түріндегі кез келген A алгебрасы және кез келген k : S → A бейнелеуі үшін, 1 = f ∘ i = k шартын орындайтын, бірегей V гомоморфизмі f : FS → A бар.

Бұл, еркін топ, еркін абельдік топ, еркін алгебра, еркін модуль және т.б. ұғымдарын жалпылайды. Осының салдарынан, әрбір алгебралық түрдегі алгебра, еркін алгебраның гомоморфты бейнесі болып табылады.

Категориялық теория

Түрліліктерден басқа, категория теориясы олар сипаттайтын алгебра түрлеріне қатысты эквивалентті тағы екі құрылымды қолданады: шекті монадтар және Лаувере теориялары. Біз түрліліктен шекті монодқа келесідей өтуге болады. Алгебраның кейбір түрлерін нысандар ретінде және гомоморфизмдерді морфизмдер ретінде қамтитын категория шекті алгебралық категория деп аталады. Кез келген V шекті алгебралық категориясы үшін, ұмыту функторы G: V → Жинақ сол жаққа жалғаушы F: Жинақ → V-ке ие, атап айтқанда, әрбір жиынға сол жиынның еркін алгебрасын тағайындайтын функтор. Бұл жалғау монадтық болып табылады, яғни V категориясы 1=T = GF монады үшін Eilenberg–Moore категориясы SetT-ге эквивалентті. Сонымен қатар, T монады шекті, яғни ол сүзгіленген колимиттермен коммутациялайды. Осылайша, T: Жинақ → Жинақ монады шекті алгебралық категорияны қалпына келтіру үшін жеткілікті. Шындығында, шекті алгебралық категориялар дәл сол категориялар, олар шекті монадтардың Эйленберг–Мур категорияларына эквивалентті. Бұл екеуі де Лаувере теорияларының алгебраларының категорияларына эквивалентті. Монадтармен жұмыс істеу келесі жалпылауға мүмкіндік береді. Егер категория Жинаққа қарағанда монадтық болса, онда ол алгебралық категория деп аталады. Бұл "шекті алгебралық категорияға" қарағанда жалпы ұғым, өйткені ол CABA (толық атомдық Буль алгебралары) және CSLat (толық жартылай сызықтықтар) сияқты категорияларды қабылдайды, олардың қолтаңбаларында шексіз операциялар бар. Бұл екі жағдайда қолтаңба үлкен, яғни ол жиынды емес, нақты класты құрайды, өйткені оның операцияларының аргументтері шексіз. Сигма-алгебраның алгебралық категориясы да шексіз операцияларды қолданады, бірақ олардың аргументтері санаулы, сондықтан оның қолтаңбасы кішкентай (жиынды құрайды). Кез келген шекті алгебралық категория жергілікті түрде ұсынылатын категория болып табылады.

Шекті алгебралардың псевдотүрлілігі

Түрлер кездейсоқ тікелей көбейтулер бойынша жабық болғандықтан, барлық тривиальды емес түрлерде шексіз алгебралар кездеседі. Түрлер теориясының шекті аналогын жасауға әрекеттер жасалды. Бұл, мысалы, шекті жартылай топтардың алуандығы түсінігіне алып келді. Мұндай алуандықтарда тек қана шекті көбейтулер қолданылады. Дегенмен, олар көбірек жалпылама сәйкестіктерді пайдаланады. Псевдовариетет әдетте, гомоморфты бейнелер, субальгебралар және шекті тікелей көбейтулерді алу арқылы жабық болатын, белгілі бір қолтаңбаның алгебралар класы ретінде анықталады. Барлық авторлар псевдовариететтердің барлық алгебралары шекті деп есептемейді; егер осылай болса, кейде шекті алгебралардың алуандығы туралы айтылады. Псевдовариететтер үшін Бирхофф теоремасының жалпы шекті аналогы жоқ, бірақ көп жағдайда теңдеулердің күрделі түсінігін енгізу ұқсас нәтижелерге қол жеткізуге мүмкіндік береді. Псевдовариететтер шекті жартылай топтарды зерттеуде және, демек, формальді тілдер теориясында ерекше маңызға ие. Айленберг теоремасы, көбінесе алуандық теоремасы деп аталады, реттелген тілдердің алуандықтары мен шекті жартылай топтардың псевдовариететтері арасындағы табиғи сәйкестікті сипаттайды.