Введение

Класс алгебраических структур – это множество решений системы полиномиальных уравнений. В универсальной алгебре, разнообразие алгебр или уравнительный класс – это класс всех алгебраических структур заданной сигнатуры, удовлетворяющих заданному набору тождеств. Например, группы образуют разнообразие алгебр, как и абелевы группы, кольца, моноиды и т.д. Согласно теореме Бирхоффа, класс алгебраических структур с одинаковой сигнатурой является разнообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно гомоморфных образов, подалгебр и (прямых) произведений. В контексте теории категорий, разнообразие алгебр вместе с их гомоморфизмами образует категорию; такие категории обычно называют финитарными алгебраическими категориями. Ковариета – это класс всех коалгебраических структур заданной сигнатуры.

Терминология

Разнообразие алгебр не следует путать с алгебраическим многообразием, которое представляет собой множество решений системы полиномиальных уравнений. Они формально весьма различны, и их теории практически не пересекаются. Термин "разновидность алгебр" относится к алгебрам в общем смысле универсальной алгебры; существует также более узкое понятие алгебры, а именно алгебра над полем, то есть векторное пространство, снабжённое билинейным умножением.

Примеры

Класс всех полугрупп образует многообразие алгебр сигнатуры (2), что означает, что полугруппа имеет одну бинарную операцию. Достаточным определяющим уравнением является закон ассоциативности:

Класс групп образует многообразие алгебр сигнатуры (2,0,1), три операции – соответственно умножение (бинарное), тождество (нулевое, константа) и инверсия (унарное). Знакомые аксиомы ассоциативности, тождества и обратного элемента представляют собой один подходящий набор тождеств:

Класс колец также образует многообразие алгебр. Сигнатура здесь (2,2,0,0,1) (две бинарные операции, две константы и одна унарная операция). Если мы зафиксируем конкретное кольцо R, мы можем рассмотреть класс левых R-модулей. Для выражения скалярного умножения с элементами из R нам требуется одна унарная операция для каждого элемента R. Если кольцо бесконечно, у нас будет бесконечно много операций, что допустимо определением алгебраической структуры в универсальной алгебре. Затем нам также потребуется бесконечно много тождеств для выражения аксиом модуля, что допустимо определением многообразия алгебр. Таким образом, левые R-модули действительно образуют многообразие алгебр. Поля не образуют многообразие алгебр; требование, чтобы все ненулевые элементы были обратимыми, не может быть выражено как тождество, удовлетворяемое универсально (см. ниже). Отменимые полугруппы также не образуют многообразие алгебр, поскольку свойство отменимости не является уравнением, это следствие, не эквивалентное любому набору уравнений. Однако они образуют квазиразнообразие, поскольку следствие, определяющее свойство отменимости, является примером квазитождества.

Теорема разнообразия Бирхоффа

При наличии класса алгебраических структур с одинаковой сигнатурой мы можем определить понятия гомоморфизма, подалгебры и произведения. Гарретт Биркофф доказал, что класс алгебраических структур с одинаковой сигнатурой является сортом, если и только если он замкнут относительно гомоморфных образов, подалгебр и произвольных произведений. Это результат фундаментальной важности для универсальной алгебры, известный как теорема о сортах Биркоффа или как теорема HSP. Буквы H, S и P обозначают соответственно операции гомоморфизма, подалгебры и произведения. Одно из направлений упомянутой выше эквивалентности, а именно, что класс алгебр, удовлетворяющий некоторому набору тождеств, должен быть замкнут относительно операций HSP, следует непосредственно из определений. Доказательство обратного утверждения – что классы алгебр, замкнутые относительно операций HSP, должны быть заданы тождествами – более сложно. Используя простое направление теоремы Биркоффа, мы можем, например, проверить вышеупомянутое утверждение о том, что аксиомы поля не могут быть выражены никаким возможным набором тождеств: произведение полей не является полем, следовательно, поля не образуют сорт.

Подвиды

Подразновидность разновидности алгебр V – это подкласс V, имеющий ту же сигнатуру, что и V, и являющийся сам по себе разновидностью, то есть определяемый набором тождеств. Следует отметить, что хотя каждая группа становится полугруппой при исключении единичного элемента как константы (и/или операции взятия обратного), класс групп не образует подразновидность разновидности полугрупп, поскольку сигнатуры различны. Аналогично, класс полугрупп, являющихся группами, не является подразновидностью разновидности полугрупп. Класс моноидов, являющихся группами, содержит и не содержит свою подалгебру (точнее, подмоноид). Однако класс абелевых групп является подразновидностью разновидности групп, поскольку он состоит из групп, удовлетворяющих условию 1 = xy = yx, без изменения сигнатуры. Конечно порожденные абелевы группы не образуют подразновидность, так как по теореме Биркгофа они не образуют разновидность, поскольку произвольное произведение конечно порожденных абелевых групп не является конечно порожденным. Рассматривая разновидность V и её гомоморфизмы как категорию, подразновидность U разновидности V является полной подкатегорией V, что означает, что для любых объектов a, b в U гомоморфизмы из a в b в U совпадают с гомоморфизмами из a в b в V.

Свободные объекты

Предположим, что V – нетривиальное многообразие алгебр, то есть V содержит алгебры с более чем одним элементом. Можно показать, что для любого множества S, многообразие V содержит свободную алгебру FS над S. Это означает, что существует инъективное отображение множеств i : S → FS, удовлетворяющее следующему универсальному свойству: для любой алгебры A из V и любого отображения k : S → A существует единственный V-гомоморфизм f : FS → A такой, что k = f ∘ i.

Это обобщает понятия свободной группы, свободной абелевой группы, свободной алгебры, свободного модуля и т. д. Из этого следует, что каждая алгебра в многообразии является гомоморфным образом свободной алгебры.

Теория категорий

Помимо разновидностей, теоретики категорий используют две другие структуры, эквивалентные с точки зрения описываемых ими типов алгебр: конечные монады и теории Лоувера. Можно перейти от разновидности к конечной монаде следующим образом. Категория, объекты которой – алгебры некоторой разновидности, а морфизмы – гомоморфизмы, называется конечной алгебраической категорией. Для любой конечной алгебраической категории V забывчивый функтор G : V → Set имеет левое сопряжённое F : Set → V, а именно функтор, сопоставляющий каждому множеству свободную алгебру над этим множеством. Это сопряжение является монадическим, то есть категория V эквивалентна категории Эйленберга — Мура SetT для монады 1=T = GF. Более того, монада T является конечной, то есть коммутирует с фильтрованными колимитами. Таким образом, монады T : Set → Set достаточно для восстановления конечной алгебраической категории. Действительно, конечные алгебраические категории – это как раз те категории, которые эквивалентны категориям Эйленберга — Мура конечных монад. Обе эти, в свою очередь, эквивалентны категориям алгебр теорий Лоувера. Работа с монадами позволяет сделать следующее обобщение. Категорию называют алгебраической, если она монадична над Set. Это более общее понятие, чем «конечная алгебраическая категория», поскольку оно включает такие категории, как CABA (полные атомные булевы алгебры) и CSLat (полные полурешётки), сигнатуры которых содержат бесконечные операции. В этих двух случаях сигнатура является большой, то есть представляет собой не множество, а собственный класс, поскольку её операции имеют неограниченную арность. Алгебраическая категория сигма-алгебр также имеет бесконечные операции, но их арность счётна, поэтому её сигнатура мала (представляет собой множество). Каждая конечная алгебраическая категория является локально представимой категорией.

Псевдоразнообразие конечных алгебр

Поскольку разновидности замкнуты относительно произвольных прямых произведений, все нетривиальные разновидности содержат бесконечные алгебры. Предпринимались попытки разработать конечное подобие теории разновидностей. Это привело, например, к понятию разновидности конечных полугрупп. В этом случае используются только конечные произведения. Однако рассматриваются более общие виды тождеств. Псевдоразновидность обычно определяется как класс алгебр заданной сигнатуры, замкнутый относительно гомоморфных образов, подалгебр и конечных прямых произведений. Не все авторы предполагают, что все алгебры псевдоразновидности конечны; если это так, то иногда говорят о разновидности конечных алгебр. Для псевдоразновидностей не существует общего конечного аналога теоремы Бирхоффа, но во многих случаях введение более сложного понятия уравнений позволяет получить схожие результаты. Псевдоразновидности особенно важны при изучении конечных полугрупп и, следовательно, в теории формальных языков. Теорема Эйленберга, часто называемая теоремой о разновидностях, описывает естественное соответствие между разновидностями регулярных языков и псевдоразновидностями конечных полугрупп.