Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Геометриялық нүкте, одан белгілі бір түрдегі қисықтар салынады.
Geometric point from which certain types of curves are constructed
Геометрияда фокус немесе фокустар (фокус) – әр түрлі қисықтардың кез келгенін құрастыруға қатысты арнайы нүктелер. Мысалы, конустық қималарды анықтауда бір немесе екі фокус қолданылуы мүмкін, олардың төрт түрі – шеңбер, эллипс, парабола және гипербола. Бұған қоса, Кассини овалын және Картезиан овалын анықтау үшін екі фокус қолданылады, ал n-эллипсті анықтау үшін екіден астам фокус қолданылады.
In geometry, focuses or foci (//'/f//əʊ//k//aɪ/; : focus) are special points with reference to which any of a variety of curves is constructed. For example, one or two foci can be used in defining conic sections, the four types of which are the circle, ellipse, parabola, and hyperbola. In addition, two foci are used to define the Cassini oval and the Cartesian oval, and more than two foci are used in defining an n ellipse.
Конустарды екі ошақ тұрғысынан анықтау
Эллипс – екі берілген фокусқа дейінгі қашықтықтардың қосындысы тұрақты болатын нүктелердің геометриялық орны деп анықталады. Шеңбер – екі фокусы бір-бірімен беттесетін эллипстің ерекше жағдайы. Осылайша, шеңберді әрқайсысы бір берілген фокустан белгілі бір қашықтықтағы нүктелердің геометриялық орны деп қарастыруға болады. Шеңберді Аполлоний шеңбері ретінде, екі түрлі фокусқа қатысты, екі фокусқа дейінгі қашықтықтардың тұрақты қатынасын сақтайтын нүктелердің геометриялық орны ретінде де анықтауға болады. Парабола – эллипстің бір фокусы шексіздікте орналасқан шектік жағдайы. Гипербола – екі берілген фокусқа дейінгі қашықтықтардың айырмасының абсолюттік мәні тұрақты болатын нүктелердің геометриялық орны деп анықталады.
An ellipse can be defined as the locus of points for which the sum of the distances to two given foci is constant. A circle is the special case of an ellipse in which the two foci coincide with each other. Thus, a circle can be more simply defined as the locus of points each of which is a fixed distance from a single given focus. A circle can also be defined as the circle of Apollonius, in terms of two different foci, as the locus of points having a fixed ratio of distances to the two foci. A parabola is a limiting case of an ellipse in which one of the foci is a point at infinity. A hyperbola can be defined as the locus of points for which the absolute value of the difference between the distances to two given foci is constant.
Конусты фокус пен директрица тұрғысынан анықтау
Сонымен қатар, барлық конустық қималарды бір фокус және бір директриса арқылы сипаттау мүмкін, директриса – бұл фокусты қамтымайтын берілген түзу. Коника – бұл әрбір нүкте үшін фокусқа дейінгі қашықтықтың директрисаға дейінгі қашықтыққа бөлінуінің нәтижесінде шығатын оң тұрақты сан, бұл сан эксцентриситет e деп аталады. Егер 0 < e < 1 болса, коника эллипс, егер e = 1 болса, коника парабола, ал егер e > 1 болса, коника гипербола болады. Егер фокусқа дейінгі қашықтық тұрақты болса және директриса шексіздіктегі түзу болса, эксцентриситет нөлге тең болады, онда коника шеңбер болып табылады.
It is also possible to describe all conic sections in terms of a single focus and a single directrix, which is a given line not containing the focus. A conic is defined as the locus of points for each of which the distance to the focus divided by the distance to the directrix is a fixed positive constant, called the eccentricity e. If 0 < e < 1 the conic is an ellipse, if 1=e = 1 the conic is a parabola, and if e > 1 the conic is a hyperbola. If the distance to the focus is fixed and the directrix is a line at infinity, so the eccentricity is zero, then the conic is a circle.
Конусты фокус пен директрикс шеңберінің тұрғысынан анықтау
Сонымен қатар, барлық конустық қималарды бір фокустан және бір шеңберлік директрисадан бірдей қашықтықтағы нүктелердің геометриялық орны ретінде сипаттауға болады. Эллипстің фокусы мен директриса шеңберінің ортасының координаттары шекті, ал директриса шеңберінің радиусы осы шеңбердің ортасы мен фокус арасындағы қашықтықтан үлкен; демек, фокус директриса шеңберінің ішінде орналасқан. Осылайша құрылған эллипстің екінші фокусы директриса шеңберінің ортасында болады, ал эллипс толығымен шеңбердің ішінде жатады. Парабола үшін директрисаның орталығы шексіз нүктеге жылжиды (проективтік геометрияны қараңыз). Директриса "шеңбері" нөлдік қисықтығы бар қисыққа айналады, ол тура сызықтан ажыратылмайды. Параболаның екі тармағы кеңейген сайын бір-біріне жақындап, "шексіздікте" параллель болады; проективтік геометрия принциптерін қолдана отырып, екі параллель түзу шексіз нүктеде қиылысады және парабола жабық қисыққа (эллипстік проекцияға) айналады. Гипербола құру үшін директриса шеңберінің радиусы осы шеңбердің ортасы мен фокус арасындағы қашықтықтан кішірек етіп таңдалады; демек, фокус директриса шеңберінің сыртында орналасқан. Гиперболаның тармақтары асимптоталық түзулерге жақындасады, ал гиперболаның бір тармағының "оң жағы" екінші тармағының "сол жағымен" шексіз нүктеде кездеседі; бұл проективтік геометрияда бір түзудің өзімен шексіз нүктеде қиылысатындығы қағидасына негізделген. Гиперболаның екі тармағы – шексіздікте жабылатын қисықтың екі (бұрылған) жартысы болып табылады. Проективтік геометрияда барлық конустық қималар эквивалентті, яғни біреуі үшін айтылатын әрбір теорема басқалары үшін де айтылуы мүмкін.
It is also possible to describe all the conic sections as loci of points that are equidistant from a single focus and a single, circular directrix. For the ellipse, both the focus and the center of the directrix circle have finite coordinates and the radius of the directrix circle is greater than the distance between the center of this circle and the focus; thus, the focus is inside the directrix circle. The ellipse thus generated has its second focus at the center of the directrix circle, and the ellipse lies entirely within the circle. For the parabola, the center of the directrix moves to the point at infinity (see Projective geometry). The directrix "circle" becomes a curve with zero curvature, indistinguishable from a straight line. The two arms of the parabola become increasingly parallel as they extend, and "at infinity" become parallel; using the principles of projective geometry, the two parallels intersect at the point at infinity and the parabola becomes a closed curve (elliptical projection). To generate a hyperbola, the radius of the directrix circle is chosen to be less than the distance between the center of this circle and the focus; thus, the focus is outside the directrix circle. The arms of the hyperbola approach asymptotic lines and the "right hand" arm of one branch of a hyperbola meets the "left hand" arm of the other branch of a hyperbola at the point at infinity; this is based on the principle that, in projective geometry, a single line meets itself at a point at infinity. The two branches of a hyperbola are thus the two (twisted) halves of a curve closed over infinity. In projective geometry, all conics are equivalent in the sense that every theorem that can be stated for one can be stated for the others.
Астрономиялық мәні
Гравитациялық екі дене мәселесінде екі дененің бір-біріне қатысты орбиталары екі шоқ қимамен сипатталады, олардың екеуі де екі дененің массалық орталығында (барицентрде) орналасқан, және біреуінің фокусы екіншісінің фокусымен беттеседі. Мысалы, Плутонның ең үлкен серігі Харонның эллипстік орбитасы бар, оның бір фокусы Плутон-Харон жүйесінің барицентрінде орналасқан, бұл екі дене арасындағы кеңістіктегі нүкте; ал Плутон да эллипс бойынша қозғалады, оның бір фокусы денелер арасындағы сол барицентрде. Плутонның эллипсі Харонның эллипсінің ішінде орналасқан, бұл жүйе анимациясында көрсетілгендей. Қарама-қарсылығын айтқанда, Жердің Ай серігі Жер мен Айдың барицентрінде орналасқан бір фокусы бар эллипс бойынша қозғалады, бұл барицентр Жердің ішінде, ал Жер (дәлірек айтқанда, оның ортасы) сол барицентрде орналасқан бір фокусы бар эллипс бойынша қозғалады. Барицентр Жердің ортасынан оның бетіне дейінгі қашықтықтың шамамен үштен екі бөлігін құрайды. Сонымен қатар, Плутон-Харон жүйесі Жер-Ай жүйесі сияқты (және Күн жүйесіндегі басқа да планета-серік жүйелері немесе серігі жоқ планеталар) Күнмен бірге эллипс бойынша барицентрдің айналасында қозғалады. Екі жағдайда да барицентр Күннің ішінде орналасқан. Екі жұлдыздан тұратын жүйелер де барицентрде ортақ фокусы бар эллипс бойынша қозғалады; анимацияны мына жерде қараңыз.
In the gravitational two body problem, the orbits of the two bodies about each other are described by two overlapping conic sections with one of the foci of one being coincident with one of the foci of the other at the center of mass (barycenter) of the two bodies. Thus, for instance, the minor planet Pluto's largest moon Charon has an elliptical orbit which has one focus at the Pluto Charon system's barycenter, which is a point that is in space between the two bodies; and Pluto also moves in an ellipse with one of its foci at that same barycenter between the bodies. Pluto's ellipse is entirely inside Charon's ellipse, as shown in this animation of the system. By comparison, the Earth's Moon moves in an ellipse with one of its foci at the barycenter of the Moon and the Earth, this barycenter being within the Earth itself, while the Earth (more precisely, its center) moves in an ellipse with one focus at that same barycenter within the Earth. The barycenter is about three quarters of the distance from Earth's center to its surface. Moreover, the Pluto Charon system moves in an ellipse around its barycenter with the Sun, as does the Earth Moon system (and every other planet moon system or moonless planet in the solar system). In both cases the barycenter is well within the body of the Sun. Two binary stars also move in ellipses sharing a focus at their barycenter; for an animation, see here.
Картезиандық және Кассинилік овалдар
Картезиандық овал – әрбір нүкте үшін екі берілген фокусқа дейінгі қашықтықтардың салмақталған қосындысы тұрақты болатын нүктелер жиынтығы. Егер салмақтар тең болса, эллипс ерекше жағдай болып табылады. Кассини овалы – әрбір нүкте үшін екі берілген фокусқа дейінгі қашықтықтардың көбейтіндісі тұрақты болатын нүктелер жиынтығы.
A Cartesian oval is the set of points for each of which the weighted sum of the distances to two given foci is constant. If the weights are equal, the special case of an ellipse results. A Cassini oval is the set of points for each of which the product of the distances to two given foci is constant.
Жалпылау
n эллипсі – n фокусқа дейінгі арақашықтықтардың қосындысы бірдей болатын нүктелер жиынтығы (дәстүрлі эллипс 1=n=2 жағдайы). Фокус тұжырымы кез келген алгебралық қисықтарға жалпыланады. C қисығы m класында болсын, ал I және J нүктелері шексіздіктегі дөңгелек нүктелер болсын. I және J арқылы C қисығына m жанама сызық жүргізіңіз. Екі жиынталған m түзудің қиылысу нүктелері m^(2) болады, бірақ кейбір жағдайларда ерекшеліктерге байланысты бұл сан өзгеруі мүмкін. Осы қиылысу нүктелері C қисығының фокустары деп анықталады. Яғни, P нүктесі фокус болып есептеледі, егер PI және PJ түзулері екеуі де C қисығына жанасатын болса. Егер C нақты қисық болса, тек қоссақтас жұптардың қиылысулары ғана нақты болады, сондықтан m нақты фокус және m^(2) − m жорамал фокус болады. Егер C коника болса, осылай анықталған нақты фокустар C геометриялық құрылымында қолданылатын фокустар болып табылады.
An n ellipse is the set of points all having the same sum of distances to n foci (the 1=n = 2 case being the conventional ellipse). The concept of a focus can be generalized to arbitrary algebraic curves. Let C be a curve of class m and let I and J denote the circular points at infinity. Draw the m tangents to C through each of I and J. There are two sets of m lines which will have m^(2) points of intersection, with exceptions in some cases due to singularities, etc. These points of intersection are the defined to be the foci of C. In other words, a point P is a focus if both PI and PJ are tangent to C. When C is a real curve, only the intersections of conjugate pairs are real, so there are m in a real foci and m^(2) − m imaginary foci. When C is a conic, the real foci defined this way are exactly the foci which can be used in the geometric construction of C.