Введение
Геометрическая точка, из которой строятся определенные типы кривых.
В геометрии фокусы (//'/f//əʊ//k//aɪ/; : focus) — это специальные точки, относительно которых строится множество различных кривых. Например, один или два фокуса используются для определения конических сечений, к которым относятся круг, эллипс, парабола и гипербола. Кроме того, два фокуса применяются для определения овала Кассини и овала Картезия, а для определения n-эллипса используется более двух фокусов.
Определение конических полей в терминах двух очагов
Эллипс можно определить как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных фокусов постоянна. Окружность является частным случаем эллипса, при котором оба фокуса совпадают. Таким образом, окружность можно определить проще как геометрическое место точек, каждая из которых находится на фиксированном расстоянии от единственного заданного фокуса. Окружность также может быть определена как окружность Аполлония, рассматриваемая через два различных фокуса, как геометрическое место точек, имеющих фиксированное отношение расстояний до этих двух фокусов. Парабола представляет собой предельный случай эллипса, в котором один из фокусов находится в бесконечности. Гиперболу можно определить как геометрическое место точек, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных фокусов постоянна.
Определение конических систем с точки зрения фокуса и директрисы
Также можно описать все конические сечения, используя один фокус и одну директрису – заданную прямую, не проходящую через фокус. Коническое сечение определяется как геометрическое место точек, для каждой из которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы является фиксированной положительной константой, называемой эксцентриситетом e. Если 0 < e < 1, то коническое сечение – эллипс, если e = 1, то коническое сечение – парабола, а если e > 1, то коническое сечение – гипербола. Если расстояние до фокуса постоянно, а директриса – прямая на бесконечности, то эксцентриситет равен нулю, и коническое сечение представляет собой окружность.
Определение конических полей с точки зрения фокуса и круга директрисы
Также можно описать все конические сечения как геометрические места точек, равноудалённых от одной фокусной точки и одной круговой директрисы. Для эллипса и фокус, и центр круга директрисы имеют конечные координаты, причём радиус круга директрисы больше расстояния между центром этого круга и фокусом; таким образом, фокус расположен внутри круга директрисы. Полученный эллипс имеет свой второй фокус в центре круга директрисы и целиком лежит внутри этого круга. Для параболы центр директрисы перемещается в точку на бесконечности (см. Проективную геометрию). Директриса, представляющая собой "круг", превращается в кривую с нулевой кривизной, неразличимую от прямой линии. Обе ветви параболы становятся всё более параллельными по мере их удаления, и "на бесконечности" становятся параллельными; применяя принципы проективной геометрии, эти две параллельные прямые пересекаются в точке на бесконечности, и парабола становится замкнутой кривой (эллиптическая проекция). Для получения гиперболы радиус круга директрисы выбирается меньше расстояния между центром этого круга и фокусом; таким образом, фокус расположен вне круга директрисы. Ветви гиперболы стремятся к асимптотическим прямым, и "правая ветвь" одной гиперболы встречается с "левой ветвью" другой гиперболы в точке на бесконечности; это основано на принципе, согласно которому в проективной геометрии одна прямая пересекает сама себя в точке на бесконечности. Таким образом, две ветви гиперболы представляют собой две (скрученные) половины кривой, замкнутой на бесконечности. В проективной геометрии все конические сечения эквивалентны в том смысле, что любое утверждение, справедливое для одного из них, справедливо и для остальных.
Астрономическое значение
В гравитационной задаче двух тел орбиты двух тел относительно друг друга описываются двумя перекрывающимися коническими сечениями, при этом один из фокусов одного из них совпадает с одним из фокусов другого в центре масс (барицентре) двух тел. Так, например, крупнейший спутник карликовой планеты Плутона Харон имеет эллиптическую орбиту, у которой один фокус находится в барицентре системы Плутон-Харон – точке в пространстве между двумя телами; и Плутон также движется по эллипсу, у которого один из фокусов расположен в том же барицентре между телами. Эллипс Плутона полностью заключен внутри эллипса Харона, как показано в этой анимации системы. Для сравнения, Луна Земли движется по эллипсу, у которого один из фокусов находится в барицентре системы Луна-Земля, расположенном внутри самой Земли, в то время как Земля (точнее, её центр) движется по эллипсу с одним фокусом в том же барицентре внутри Земли. Барицентр находится примерно на трех четвертях расстояния от центра Земли до её поверхности. Более того, система Плутон-Харон движется по эллипсу вокруг своего барицентра вместе с Солнцем, как и система Земля-Луна (и любая другая планетная система со спутниками или планета без спутников в Солнечной системе). В обоих случаях барицентр находится внутри тела Солнца. Две двойные звезды также движутся по эллипсам, имеющим общий фокус в их барицентре; анимацию можно посмотреть здесь.
Картезианские и Кассини овалы
Картезианский овал — это множество точек, для каждой из которых взвешенная сумма расстояний до двух заданных фокусов постоянна. Если веса равны, то получается частный случай эллипса. Овал Кассини — это множество точек, для каждой из которых произведение расстояний до двух заданных фокусов постоянно.
Обобщения
n-эллипс – это множество точек, все из которых имеют одинаковую сумму расстояний до n фокусов (случай n=2 соответствует обычной эллипсе). Понятие фокуса может быть обобщено на произвольные алгебраические кривые. Пусть C – кривая класса m, а I и J обозначают круговые точки в бесконечности. Проведем m касательных к C через каждую из точек I и J. Получаются два набора по m прямых, которые имеют m² точек пересечения, с некоторыми исключениями из-за особенностей кривой и т.п. Эти точки пересечения определяются как фокусы C. Иными словами, точка P является фокусом, если прямые PI и PJ касательны к C. Если C – вещественная кривая, то только пересечения сопряженных пар являются вещественными, поэтому существует m вещественных фокусов и m² − m мнимых фокусов. Если C – коническое сечение, то вещественные фокусы, определенные таким образом, совпадают с фокусами, используемыми в геометрическом построении C.