Декартова система координат: основные понятия и применение.

Введение

Наиболее распространенная система координат (геометрия)

В геометрии, декартова система координат (/UK//k//ɑːr/'/t//iː//zj//ə//n/, /US//k//a:r//'//t//i://ʒ//ə//n/) на плоскости — это система координат, которая однозначно определяет каждую точку парой действительных чисел, называемых координатами, представляющими собой расстояния до точки от двух фиксированных взаимно перпендикулярных ориентированных прямых, называемых координатными линиями, координатными осями или просто осями (множественное число от ось) системы. Точка их пересечения называется началом координат и имеет координаты (0, 0). Аналогично, положение любой точки в трехмерном пространстве можно определить тремя декартовыми координатами, которые представляют собой расстояния от точки до трех взаимно перпендикулярных плоскостей. В более общем виде, n декартовых координат определяют точку в n-мерном евклидовом пространстве для любого измерения n. Эти координаты представляют собой расстояния от точки до n взаимно перпендикулярных фиксированных гиперплоскостей. Декартовы координаты названы в честь Рене Декарта, изобретение которого в XVII веке произвело революцию в математике, позволив выражать геометрические задачи в терминах алгебры и математического анализа. Используя декартову систему координат, геометрические фигуры (например, кривые) можно описать уравнениями, включающими координаты точек фигуры. Например, окружность радиуса 2 с центром в начале координат можно описать как множество всех точек, координаты x и y которых удовлетворяют уравнению x² + y² = 4; площадь, периметр и касательная в любой точке могут быть вычислены из этого уравнения с помощью интегралов и производных, что применимо к любой кривой. Декартовы координаты являются основой аналитической геометрии и предоставляют наглядные геометрические интерпретации для многих других областей математики, таких как линейная алгебра, комплексный анализ, дифференциальная геометрия, многомерный анализ, теория групп и другие. Хорошо известный пример — понятие графика функции. Декартовы координаты также являются важным инструментом для большинства прикладных дисциплин, связанных с геометрией, включая астрономию, физику, инженерию и многие другие. Они являются наиболее распространенной системой координат, используемой в компьютерной графике, системах автоматизированного проектирования и других областях обработки геометрических данных.

In geometry, a Cartesian coordinate system (/UK//k//ɑːr/'/t//iː//zj//ə//n/, /US//k//a:r//'//t//i://ʒ//ə//n/) in a plane is a coordinate system that specifies each point uniquely by a pair of real numbers called coordinates, which are the signed distances to the point from two fixed perpendicular oriented lines, called coordinate lines, coordinate axes or just axes (plural of axis) of the system. The point where they meet is called the origin and has (0, 0) as coordinates. Similarly, the position of any point in three dimensional space can be specified by three Cartesian coordinates, which are the signed distances from the point to three mutually perpendicular planes. More generally, n Cartesian coordinates specify the point in an n dimensional Euclidean space for any dimension n. These coordinates are the signed distances from the point to n mutually perpendicular fixed hyperplanes. Cartesian coordinates are named for René Descartes, whose invention of them in the 17th century revolutionized mathematics by allowing the expression of problems of geometry in terms of algebra and calculus. Using the Cartesian coordinate system, geometric shapes (such as curves) can be described by equations involving the coordinates of points of the shape. For example, a circle of radius 2, centered at the origin of the plane, may be described as the set of all points whose coordinates x and y satisfy the equation 1=x^(2) + y^(2) = 4; the area, the perimeter and the tangent line at any point can be computed from this equation by using integrals and derivatives, in a way that can be applied to any curve. Cartesian coordinates are the foundation of analytic geometry, and provide enlightening geometric interpretations for many other branches of mathematics, such as linear algebra, complex analysis, differential geometry, multivariate calculus, group theory and more. A familiar example is the concept of the graph of a function. Cartesian coordinates are also essential tools for most applied disciplines that deal with geometry, including astronomy, physics, engineering and many more. They are the most common coordinate system used in computer graphics, computer aided geometric design and other geometry related data processing.

История

Прилагательное "картезианский" относится к французскому математику и философу Рене Декарту, который опубликовал эту идею в 1637 году, проживая в Нидерландах. Независимо от него её открыл Пьер де Ферма, который также работал в трех измерениях, хотя Ферма не опубликовал это открытие. Французский священник Николь Орем использовал конструкции, подобные картезианским координатам, задолго до Декарта и Ферма. И Декарт, и Ферма в своих работах использовали одну ось и переменную величину, измеряемую относительно этой оси. Концепция использования пары осей была введена позднее, после перевода труда Декарта "La Géométrie" на латынь в 1649 году Франсом ван Схоотеном и его учениками. Эти комментаторы внесли несколько новых концепций, стремясь прояснить идеи, содержащиеся в работе Декарта. Развитие картезианской системы координат сыграло фундаментальную роль в разработке математического анализа Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем. Позднее описание плоскости двумя координатами было обобщено до концепции векторных пространств. После Декарта было разработано множество других систем координат, таких как полярные координаты для плоскости и сферические и цилиндрические координаты для трехмерного пространства.

Одно измерение

Аффинная прямая с выбранной картезианской системой координат называется числовой прямой. Каждая точка на прямой имеет координату, являющуюся действительным числом, и каждое действительное число представляет некоторую точку на прямой. Выбор картезианской системы координат для прямой имеет две степени свободы, которые можно задать, выбрав две различные точки на прямой и сопоставив им два различных действительных числа (чаще всего ноль и единицу). Остальные точки могут быть однозначно сопоставлены числам посредством линейной интерполяции. Эквивалентно, можно сопоставить одну точку конкретному действительному числу, например, начало координат, соответствующее нулю, и выбрать ориентированную длину на прямой в качестве единицы измерения, при этом ориентация указывает на соответствие между направлениями на прямой и положительными или отрицательными числами. Каждая точка соответствует своей знаковой дистанции от начала координат (числу, модуль которого равен расстоянию, а знак – плюс или минус – выбирается в зависимости от направления). Геометрическое преобразование прямой может быть представлено функцией действительной переменной; например, сдвиг прямой соответствует сложению, а масштабирование – умножению. Любые две картезианские системы координат на прямой связаны друг с другом линейной функцией (функцией вида), которая отображает координату конкретной точки в одной системе в ее координату в другой системе. Выбор системы координат для каждой из двух различных прямых устанавливает аффинное отображение с одной прямой на другую, отображающее каждую точку на одной прямой в точку на другой прямой с той же координатой.

Евклидовые преобразования

Евклидовы преобразования или евклидовы движения — это (взаимно однозначные) отображения точек евклидовой плоскости на себя, сохраняющие расстояния между точками. Существует четыре типа таких отображений (также называемых изометриями): сдвиги, вращения, отражения и скользящие отражения.

Перевод

Перевод набора точек плоскости, сохраняющий расстояния и направления между ними, эквивалентен добавлению фиксированной пары чисел (a, b) к декартовым координатам каждой точки в наборе. То есть, если исходные координаты точки – (x, y), то после переноса они станут

Отражение скольжения

Отражение скольжения — это композиция отражения относительно прямой, за которым следует параллельный перенос в направлении этой прямой. Можно заметить, что порядок этих операций не имеет значения (параллельный перенос может выполняться первым, а затем отражение).

Аффиновые преобразования

Аффинные преобразования евклидовой плоскости — это преобразования, отображающие прямые в прямые, но при этом изменяющие расстояния и углы. Как было сказано в предыдущем разделе, они могут быть представлены расширенными матрицами:

Евклидовы преобразования — это аффинные преобразования, у которых 2×2 матрица является ортогональной. Расширенная матрица, представляющая композицию двух аффинных преобразований, получается умножением их расширенных матриц. Некоторые аффинные преобразования, не являющиеся евклидовыми, имеют собственные названия.

Масштабирование

Пример аффинного преобразования, не являющегося евклидовым, – это масштабирование. Увеличение или уменьшение фигуры эквивалентно умножению декартовых координат каждой точки на одно и то же положительное число m. Если (x, y) – координаты точки на исходной фигуре, то координаты соответствующей точки на масштабированной фигуре будут

Если m больше 1, фигура увеличивается; если m находится между 0 и 1, она уменьшается.

В двух измерениях

Фиксация или выбор оси x определяет ось y с точностью до направления. А именно, ось y обязательно перпендикулярна оси x и проходит через точку 0 на оси x. Однако есть выбор, какую из двух полупрямых на этой перпендикулярной линии обозначить как положительную, а какую как отрицательную. Каждый из этих двух выборов определяет различную ориентацию (также называемую "ручностью") декартовой плоскости. Обычно ориентация плоскости, при которой положительная ось x направлена вправо, а положительная ось y – вверх (при этом ось x считается "первой", а ось y – "второй"), рассматривается как положительная или стандартная ориентация, также называемая правосторонней. Распространенным мнемоническим правилом для определения положительной ориентации является правило правой руки. Если поместить слегка согнутую правую руку на плоскость так, чтобы большой палец был направлен вверх, то остальные пальцы будут указывать от оси x к оси y в положительно ориентированной системе координат. Другой способ ориентации плоскости – следовать правилу левой руки, поместив левую руку на плоскость так, чтобы большой палец был направлен вверх. Если направить большой палец от начала координат вдоль оси в положительном направлении, то направление загиба остальных пальцев будет указывать на положительное вращение вокруг этой оси. Независимо от используемого правила для ориентации плоскости, вращение системы координат сохраняет ориентацию. Изменение направления любой одной оси меняет ориентацию, но изменение направления обеих осей оставляет ориентацию неизменной.

В трех измерениях

После того, как оси x и y заданы, они определяют линию, вдоль которой должна лежать ось z, но существует две возможные ориентации для этой линии. Две возможные системы координат, которые получаются в результате, называются "правой" и "левой". Стандартная ориентация, при которой плоскость xy горизонтальна, а ось z направлена вверх (а оси x и y образуют положительно ориентированную двумерную систему координат в плоскости xy при наблюдении сверху), называется правой или положительной. Название происходит от правила правой руки. Если указательный палец правой руки направлен вперед, средний палец согнут внутрь под прямым углом к нему, а большой палец помещен под прямым углом к обоим, то три пальца указывают на относительную ориентацию осей x, y и z в правосторонней системе. Большой палец указывает на ось x, указательный палец – на ось y, а средний палец – на ось z. И наоборот, если то же самое сделать левой рукой, получится левая система координат. На рисунке 7 изображены левая и правая системы координат. Поскольку трехмерный объект представлен на двухмерном экране, возникают искажения и неоднозначность. Ось, указывающая вниз (и вправо), также должна быть направлена на наблюдателя, в то время как "средняя" ось должна быть направлена от наблюдателя. Красный круг параллелен горизонтальной плоскости xy и указывает на вращение от оси x к оси y (в обоих случаях). Следовательно, красная стрелка проходит перед осью z. На рисунке 8 предпринята еще одна попытка изобразить правостороннюю систему координат. Снова возникает неоднозначность, вызванная проекцией трехмерной системы координат на плоскость. Многие наблюдатели воспринимают рисунок 8 как "переключение" между выпуклым кубом и вогнутым "углом". Это соответствует двум возможным ориентациям пространства. Если рассматривать фигуру как выпуклую, то получается левая система координат. Таким образом, "правильный" способ восприятия рисунка 8 – представить, что ось x направлена на наблюдателя и, следовательно, видеть вогнутый угол.

Once the x and y axes are specified, they determine the line along which the z axis should lie, but there are two possible orientations for this line. The two possible coordinate systems, which result are called 'right handed' and 'left handed'. The standard orientation, where the xy plane is horizontal and the z axis points up (and the x and the y axis form a positively oriented two dimensional coordinate system in the xy plane if observed from above the xy plane) is called right handed or positive. The name derives from the right hand rule. If the index finger of the right hand is pointed forward, the middle finger bent inward at a right angle to it, and the thumb placed at a right angle to both, the three fingers indicate the relative orientation of the x , y , and z axes in a right handed system. The thumb indicates the x axis, the index finger the y axis and the middle finger the z axis. Conversely, if the same is done with the left hand, a left handed system results. Figure 7 depicts a left and a right handed coordinate system. Because a three dimensional object is represented on the two dimensional screen, distortion and ambiguity result. The axis pointing downward (and to the right) is also meant to point towards the observer, whereas the "middle" axis is meant to point away from the observer. The red circle is parallel to the horizontal xy plane and indicates rotation from the x axis to the y axis (in both cases). Hence the red arrow passes in front of the z axis. Figure 8 is another attempt at depicting a right handed coordinate system. Again, there is an ambiguity caused by projecting the three dimensional coordinate system into the plane. Many observers see Figure 8 as "flipping in and out" between a convex cube and a concave "corner". This corresponds to the two possible orientations of the space. Seeing the figure as convex gives a left handed coordinate system. Thus the "correct" way to view Figure 8 is to imagine the x axis as pointing towards the observer and thus seeing a concave corner.