Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Қашықтық пен бұрышты қамтитын координаттар
Coordinates comprising a distance and an angle
Математикада полярлық координаттар жүйесі – екі өлшемді координаттар жүйесі, онда жазықтықтағы әрбір нүкте эталондық нүктеден қашықтықпен және эталондық бағыттан бұрышпен анықталады. Эталондық нүкте (декарттық координаттар жүйесінің бастауына ұқсас) полюс деп аталады, ал полюстен эталондық бағыттағы сәуле полярлық ось болып табылады. Полюстен қашықтық радиалдық координата, радиалдық қашықтық немесе жай ғана радиус деп аталады, ал бұрыш бұрыштық координата, полярлық бұрыш немесе азимут деп аталады. Полярлық белгідегі бұрыштар әдетте градуспен немесе радианмен (2 радиан 360°-қа тең) көрсетіледі. Грегори де Сент-Винсент пен Бонавентура Кавальери тәуелсіз түрде 17 ғасырдың ортасында осы ұғымдарды енгізді, бірақ "полярлық координаттар" терминін Грегорио Фонтана 18 ғасырда қолданған. Полярлық жүйені енгізудің бастапқы себебі – дөңгелек және орбиталық қозғалысты зерттеу болды. Полярлық координаттар, егер қарастырылып отырған құбылыс жазықтықтағы орталық нүктеден бағыт пен ұзындыққа тікелей байланысты болса, мысалы спираль сияқты жағдайларда, ең қолайлы болып табылады. Орталық нүктеде қозғалатын денелері бар жазықты физикалық жүйелер немесе орталық нүктеден бастау алатын құбылыстарды полярлық координаттарды қолдану арқылы модельдеу көбінесе оңай және түсінікті болады. Полярлық координаттар жүйесі үш өлшемге екі тәсілмен кеңейтіледі: цилиндрлік және сфералық координаттар жүйесі.
In mathematics, the polar coordinate system is a two dimensional coordinate system in which each point on a plane is determined by a distance from a reference point and an angle from a reference direction. The reference point (analogous to the origin of a Cartesian coordinate system) is called the pole, and the ray from the pole in the reference direction is the polar axis. The distance from the pole is called the radial coordinate, radial distance or simply radius, and the angle is called the angular coordinate, polar angle, or azimuth. Angles in polar notation are generally expressed in either degrees or radians (2 rad being equal to 360°). Grégoire de Saint Vincent and Bonaventura Cavalieri independently introduced the concepts in the mid 17th century, though the actual term "polar coordinates" has been attributed to Gregorio Fontana in the 18th century. The initial motivation for the introduction of the polar system was the study of circular and orbital motion. Polar coordinates are most appropriate in any context where the phenomenon being considered is inherently tied to direction and length from a center point in a plane, such as spirals. Planar physical systems with bodies moving around a central point, or phenomena originating from a central point, are often simpler and more intuitive to model using polar coordinates. The polar coordinate system is extended to three dimensions in two ways: the cylindrical and spherical coordinate systems.
Тарих
Бұрыш пен радиус ұғымдарын б.з.б. бірінші мыңжылдықта ежелгі халықтар қолданған. Грек астрономы және астрологы Гиппарх (б.з.д. 190–120) әр бұрыш үшін хорданың ұзындығын беретін хорда функцияларының кестесін жасады, сондай-ақ оның жұлдыздық орналасуларды анықтауда полярлық координаттарды қолданғаны туралы мәліметтер бар. Архимед «Спиральдар туралы» еңбегінде радиусы бұрышқа байланысты болатын функцияны Архимед спиралі деп атады. Алайда, гректер толық координаттар жүйесін құра алмады. 8-шы ғасырдан бастап астрономдар Жер бетіндегі кез келген нүктеден Меккеге (қибла) дейінгі бағытты және оның қашықтығын есептеу әдістерін әзірледі. 9-шы ғасырдан бастап олар шарлық тригонометрия және карта проекциясы әдістерін осы шамаларды дәл анықтау үшін пайдаланды. Есептеудің мәні – Меккенің экваторлық полярлық координаттарын (яғни, оның бойлық және ендік координаталарын) берілген нүкте мен Жердің полюстері арқылы өтетін үлкен шеңберге қатысты полярлық координаттарына (яғни, оның қибласына және қашықтығына) түрлендіру болып табылады, ал полярлық осьі – берілген нүкте мен оның антиподальдық нүктесі арқылы өтетін түзу. Полярлық координаттардың ресми координаттар жүйесінің бөлігі ретінде енгізілуі туралы әртүрлі мәліметтер бар. Бұл тақырыптың толық тарихы Гарвард профессоры Джулиан Лоуэлл Кулидждің «Полярлық координаттардың пайда болуы» кітабында сипатталған. Грегор де Сент-Винсент және Бонавентура Кавальери 17-шы ғасырдың ортасында осы ұғымдарды тәуелсіз түрде енгізді. Сент-Винсент осы туралы 1625 жылы жеке жазбада қалдырды және 1647 жылы еңбегін жариялады, ал Кавальери өзінің еңбегін 1635 жылы жариялады, ал түзетілген нұсқасы 1653 жылы жарық көрді. Кавальери алғаш рет полярлық координаттарды Архимед спиралының ауданына қатысты мәселені шешу үшін қолданды. Блез Паскаль кейіннен параболалық доғалардың ұзындығын есептеу үшін полярлық координаттарды қолданды. «Флюкциялар әдісі» (1671 жылы жазылған, 1736 жылы жарық көрген) еңбегінде Исаак Ньютон полярлық координаттар арасындағы түрлендірулерді зерттеді, оларды ол «жетінші тәсіл; спиральдер үшін» және басқа тоғыз координаттық жүйе деп атады. 1691 жылғы «Acta Eruditorum» журналында Якоб Бернулли бір түзудегі нүктесі бар жүйені қолданды, оны тиісінше полюс және полярлық ось деп атады. Координаттар полюске дейінгі қашықтық және полярлық оське дейінгі бұрыш арқылы анықталды. Бернуллидің жұмысы осы координаттармен берілген қисықтардың қисықтық радиусын табуға дейін созылды. «Полярлық координаттар» термині Грегорио Фонтанаға тиесілі және оны 18-шы ғасырдың итальян жазушылары қолданды. Бұл термин 1816 жылы Джордж Пикоктың Лакруаның «Дифференциалдық және интегралдық есептеулер» атты еңбегінің аудармасында ағылшын тілінде пайда болды. Алексис Клер полярлық координаттарды үш өлшемде алғашқы болып қарастырды, ал Леонард Эйлер оларды алғаш рет әзірледі. φ бұрышы эталондық бағыттан 0°-тан басталады және сағат тілі бойынша (cw) немесе сағат тіліне қарсы (ccw) айналу кезінде өседі. Мысалы, математикада эталондық бағыт әдетте полюстен көлденең оңға қарай бағытталған сәуле ретінде бейнеленеді, ал полярлық бұрыш ccw айналулар үшін оң мәндерге дейін өседі, ал навигацияда (курс, бағыт) 0° бағыты тігінен жоғары көрсетіледі және cw айналулар үшін бұрыш өседі. Полярлық бұрыштар тиісінше кері бағыттардағы айналулар үшін теріс мәндерге қарай кемиді.
The concepts of angle and radius were already used by ancient peoples of the first millennium BC. The Greek astronomer and astrologer Hipparchus (190–120 BC) created a table of chord functions giving the length of the chord for each angle, and there are references to his using polar coordinates in establishing stellar positions. In On Spirals, Archimedes describes the Archimedean spiral, a function whose radius depends on the angle. The Greek work, however, did not extend to a full coordinate system. From the 8th century AD onward, astronomers developed methods for approximating and calculating the direction to Mecca (qibla)—and its distance—from any location on the Earth. From the 9th century onward they were using spherical trigonometry and map projection methods to determine these quantities accurately. The calculation is essentially the conversion of the equatorial polar coordinates of Mecca (i. e. its longitude and latitude) to its polar coordinates (i. e. its qibla and distance) relative to a system whose reference meridian is the great circle through the given location and the Earth's poles and whose polar axis is the line through the location and its antipodal point. There are various accounts of the introduction of polar coordinates as part of a formal coordinate system. The full history of the subject is described in Harvard professor Julian Lowell Coolidge's Origin of Polar Coordinates. Grégoire de Saint Vincent and Bonaventura Cavalieri independently introduced the concepts in the mid seventeenth century. Saint Vincent wrote about them privately in 1625 and published his work in 1647, while Cavalieri published his in 1635 with a corrected version appearing in 1653. Cavalieri first used polar coordinates to solve a problem relating to the area within an Archimedean spiral. Blaise Pascal subsequently used polar coordinates to calculate the length of parabolic arcs. In Method of Fluxions (written 1671, published 1736), Sir Isaac Newton examined the transformations between polar coordinates, which he referred to as the "Seventh Manner; For Spirals", and nine other coordinate systems. In the journal Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli used a system with a point on a line, called the pole and polar axis respectively. Coordinates were specified by the distance from the pole and the angle from the polar axis. Bernoulli's work extended to finding the radius of curvature of curves expressed in these coordinates. The actual term polar coordinates has been attributed to Gregorio Fontana and was used by 18th century Italian writers. The term appeared in English in George Peacock's 1816 translation of Lacroix's Differential and Integral Calculus. Alexis Clairaut was the first to think of polar coordinates in three dimensions, and Leonhard Euler was the first to actually develop them. The angle φ is defined to start at 0° from a reference direction, and to increase for rotations in either clockwise (cw) or counterclockwise (ccw) orientation. For example, in mathematics, the reference direction is usually drawn as a ray from the pole horizontally to the right, and the polar angle increases to positive angles for ccw rotations, whereas in navigation (bearing, heading) the 0° heading is drawn vertically upwards and the angle increases for cw rotations. The polar angles decrease towards negative values for rotations in the respectively opposite orientations.
Полярлық координаттардың бірегейлігі
Бұрыштық координатқа кез келген толық айналым санын (360°) қосу сәйкес бағытты өзгерте алмайды. Сол сияқты, кез келген полярлық координаттар теріс радиалдық компонентімен және қарама-қарсы бағытымен (полярлық бұрышқа 180° қосу арқылы) алынған координаттармен сәйкес келеді. Сондықтан, бір нүкте (r, φ) шексіз көп полярлық координаттармен (r, φ + n × 360°) және , мұндағы n – кез келген бүтін сан түрінде берілуі мүмкін. Сонымен қатар, полюстің өзі кез келген φ бұрышы үшін (0, φ) ретінде көрсетілуі мүмкін. Полюстен басқа кез келген нүкте үшін бірегей бейнелеу қажет болған жағдайда, r-ді оң сандармен (r > 0) және φ-ті немесе интервалдарымен шектеу қалыпты жағдай. Бұлар радиандармен немесе көрсетіледі. Арктангенс функциясының әдеттегі кодоменыне сәйкес, радиалдық компоненттің нөлден өзге кез келген нақты мәніне рұқсат ету және полярлық бұрышты шектеу де мүмкін. Барлық жағдайларда полюс үшін (r = 0) бірегей азимутты таңдау қажет, мысалы, φ = 0.
Adding any number of full turns (360°) to the angular coordinate does not change the corresponding direction. Similarly, any polar coordinate is identical to the coordinate with the negative radial component and the opposite direction (adding 180° to the polar angle). Therefore, the same point (r, φ) can be expressed with an infinite number of different polar coordinates (r, φ + n × 360°) and , where n is an arbitrary integer. Moreover, the pole itself can be expressed as (0, φ) for any angle φ. Where a unique representation is needed for any point besides the pole, it is usual to limit r to positive numbers (r > 0) and φ to either the interval or the interval , which in radians are or Another convention, in reference to the usual codomain of the arctan function, is to allow for arbitrary nonzero real values of the radial component and restrict the polar angle to In all cases a unique azimuth for the pole (r = 0) must be chosen, e. g., φ = 0.
Архимед спиралі
Архимед спиралі – Архимед ашқан спираль, оны қарапайым полярлық теңдеу түрінде де беруге болады. Ол мына теңдеумен көрсетіледі:
The Archimedean spiral is a spiral discovered by Archimedes which can also be expressed as a simple polar equation. It is represented by the equation
Параметр a-ны өзгерту спиральді бұрады, ал b спиральдың тармақтары арасындағы қашықтықты анықтайды, бұл берілген спираль үшін әрқашан тұрақты болады. Архимед спиралінің екі тармағы бар, біреуі φ > 0 үшін, екіншісі φ < 0 үшін. Екі тармақ полюсте тегіс түрде жалғасады. Егер a = 0 болса, бір тармақтың 90°/270° сызығына қатысты көрінісі екінші тармақты береді. Бұл қисық, коникалық қималардан кейін математикалық еңбекте сипатталған алғашқы қисықтардың бірі болып ерекшеленеді және полярлық теңдеу арқылы ең жақсы анықталатын қисықтың классикалық мысалы.
Changing the parameter a will turn the spiral, while b controls the distance between the arms, which for a given spiral is always constant. The Archimedean spiral has two arms, one for φ > 0 and one for φ < 0. The two arms are smoothly connected at the pole. If 1=a = 0, taking the mirror image of one arm across the 90°/270° line will yield the other arm. This curve is notable as one of the first curves, after the conic sections, to be described in a mathematical treatise, and as a prime example of a curve best defined by a polar equation.
Калькулус
Калькульді полярлық координаттармен жазылған теңдеулерге қолдануға болады. Бұл бөлімде бұрыштық координата φ әрқашан радианмен беріледі, бұл калькульді қолдану кезінде қабылданған стандартты тәсіл.
Calculus can be applied to equations expressed in polar coordinates. The angular coordinate φ is expressed in radians throughout this section, which is the conventional choice when doing calculus.
Интегралды есептеу (арка ұзындығы)
Полярлық функциямен анықталатын доға ұзындығы (сызық сегментінің ұзындығы) r(φ) қисығы бойынша интегралдау арқылы табылады. L әрпімен қисық бойымен А нүктесінен В нүктесіне дейінгі ұзындық белгіленсін, мұнда бұл нүктелер φ = a және φ = b сәйкес келеді, және 0 < b − a < 2π шарты орындалады. L ұзындығы келесі интеграл арқылы беріледі.
The arc length (length of a line segment) defined by a polar function is found by the integration over the curve r(φ). Let L denote this length along the curve starting from points A through to point B, where these points correspond to φ = a and φ = b such that 0 < b − a < 2π. The length of L is given by the following integral
Орталықтанбұру және Кориолис терминдері
Терминді кейде центрипеттік үдеу деп, ал терминді Кориолис үдеуі деп атайды. Мысалы, Шанкарды қараңыз. Ескерту: полюстік координаттарда өрнектелген кезде пайда болатын бұл терминдер дифференциалдаудың математикалық салдары болып табылады; олар полюстік координаттар қолданылғанда пайда болады. Жалғанақты бөлшектер динамикасында бұл үдеулер Ньютонның екінші қозғалыс заңын айналмалы анықтамалық жүйеде құру кезінде пайда болады. Мұнда осы қосымша терминдер көбінесе нақты емес күштер деп аталады; нақты емес, себебі олар жай ғана координаттар жүйесінің өзгеруінің нәтижесі. Бұл олардың жоқ екенін білдірмейді, керісінше олар айналмалы жүйеде ғана бар.
The term is sometimes referred to as the centripetal acceleration, and the term as the Coriolis acceleration. For example, see Shankar. Note: these terms, that appear when acceleration is expressed in polar coordinates, are a mathematical consequence of differentiation; they appear whenever polar coordinates are used. In planar particle dynamics these accelerations appear when setting up Newton's second law of motion in a rotating frame of reference. Here these extra terms are often called fictitious forces; fictitious because they are simply a result of a change in coordinate frame. That does not mean they do not exist, rather they exist only in the rotating frame.
3D кеңейтулері
Полярлық координаттар жүйесі цилиндрлік және сфералық координаттар жүйелері арқылы үш өлшемді кеңістікке ұзартылады.
The polar coordinate system is extended into three dimensions with two different coordinate systems, the cylindrical and spherical coordinate system.
Қолданбалар
Полярлық координаттар екі өлшемді, сондықтан оларды тек нүктелердің орналасуы бір екі өлшемді жазықтықта жатқан жағдайларда ғана қолдануға болады. Олар, егер қарастырылып отырған құбылыс орталық нүктеден бағыт пен қашықтыққа тікелей байланысты болса, тиімдірек болады. Мысалы, жоғарыдағы мысалдар элементарлық полярлық теңдеулердің архимед спиралі сияқты қисықтарды сипаттауға жеткілікті екенін көрсетеді, ал осы қисықтың Картезиандық координаталар жүйесіндегі теңдеуі әлдеқайда күрделі болар еді. Бұған қоса, көптеген физикалық жүйелер – орталық нүкте маңында қозғалатын денелерге немесе орталық нүктеден бастау алатын құбылыстарға қатысты – полярлық координаттарды қолдану арқылы оңайырақ және түсініктірек модельдеуге мүмкіндік береді. Полярлық жүйенің енгізілуінің бастапқы себебі – дөңгелек және орбиталық қозғалысты зерттеу болды.
Polar coordinates are two dimensional and thus they can be used only where point positions lie on a single two dimensional plane. They are most appropriate in any context where the phenomenon being considered is inherently tied to direction and length from a center point. For instance, the examples above show how elementary polar equations suffice to define curves—such as the Archimedean spiral—whose equation in the Cartesian coordinate system would be much more intricate. Moreover, many physical systems—such as those concerned with bodies moving around a central point or with phenomena originating from a central point—are simpler and more intuitive to model using polar coordinates. The initial motivation for the introduction of the polar system was the study of circular and orbital motion.
Орналасу және навигация
Полярлық координаттар көбінесе навигацияда қолданылады, себебі мақсат немесе қозғалыс бағыты қарастырылып отырған нысаннан бұрыш және қашықтық түрінде беріледі. Мысалы, ұшақтар навигация үшін полярлық координаттардың сәл өзгертілген түрін пайдаланады. Бұл жүйеде, кез келген навигация үшін қолданылатын 0° сәулесі әдетте 360 бағыт деп аталады, ал бұрыштар математикалық жүйедегідей сағат тіліне қарсы емес, сағат тілімен бағытта жалғасады. 360 градус магниттік солтүстікке сәйкес келеді, ал 90, 180 және 270 градус магниттік шығыс, оңтүстік және батысқа сәйкес келеді. Осылайша, шығысқа қарай 5 теңіз шақырымын ұшып бара жатқан ұшақ 90 бағыт бойынша 5 бірлік қашықтықты ұшып барады (әуе қозғалысын басқару қызметкерлері 0-9-0 деп оқиды).
Polar coordinates are used often in navigation as the destination or direction of travel can be given as an angle and distance from the object being considered. For instance, aircraft use a slightly modified version of the polar coordinates for navigation. In this system, the one generally used for any sort of navigation, the 0° ray is generally called heading 360, and the angles continue in a clockwise direction, rather than counterclockwise, as in the mathematical system. Heading 360 corresponds to magnetic north, while headings 90, 180, and 270 correspond to magnetic east, south, and west, respectively. Thus, an aircraft traveling 5 nautical miles due east will be traveling 5 units at heading 90 (read zero niner zero by air traffic control).
Модельдеу
Радиалдық симметрияны көрсететін жүйелер полярлық координаттар жүйесі үшін табиғи жағдай жасайды, мұнда орталық нүкте полюс ретінде қызмет етеді. Бұл қолданысқа жарқын мысал – радиалдық симметриялы ұңғымаларға қолданылғандағы жер асты су ағыны теңдеуі. Радиалдық күштерге ие жүйелер де полярлық координаттар жүйесін пайдалануға өте ыңғайлы. Мұндай жүйелерге кері квадрат заңына бағынатын гравитациялық өрістер, сондай-ақ радиоантенналар сияқты нүктелік көздері бар жүйелер жатады. Радиалдық асимметриялы жүйелерді де полярлық координаттармен модельдеу мүмкін. Мысалы, микрофонның сезімталдық диаграммасы белгілі бір бағыттан келетін дыбысқа пропорционалды жауабын көрсетеді, ал мұндай диаграммаларды полярлық қисықтар түрінде бейнелеуге болады. Ең көп қолданылатын, бір бағытты микрофон – стандартты кардиоидты микрофонның қисығын оның жобалық жиілігінде көрсетуге болады. Жиілік төмендегенде диаграмма толық бағыттылыққа қарай өзгереді.
Systems displaying radial symmetry provide natural settings for the polar coordinate system, with the central point acting as the pole. A prime example of this usage is the groundwater flow equation when applied to radially symmetric wells. Systems with a radial force are also good candidates for the use of the polar coordinate system. These systems include gravitational fields, which obey the inverse square law, as well as systems with point sources, such as radio antennas. Radially asymmetric systems may also be modeled with polar coordinates. For example, a microphone's pickup pattern illustrates its proportional response to an incoming sound from a given direction, and these patterns can be represented as polar curves. The curve for a standard cardioid microphone, the most common unidirectional microphone, can be represented as at its target design frequency. The pattern shifts toward omnidirectionality at lower frequencies.