Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада квазидиэдрлік топтар, сондай-ақ жартылай диэдрлік топтар деп аталатындар, 2-нің дәрежесіне тең тәртіптегі белгілі бір абельдік емес топтар болып табылады. Кез келген оң бүтін n саны 4-тен үлкен немесе оған тең болғанда, 2n тәртіпті абельдік емес топтардың дәл төрт изоморфизм класы бар, олардың 2 индексті циклдік кіші тобы болады. Олардың екеуі – жалпыланған кватерниондық топ және диэдрлік топ. Қалған екі топтың бірі, көбінесе, ерекше маңызды деп есептеледі, себебі ол максималды нильпотенттік классы бар 2-топтың мысалы болып табылады. Бертрам Хупперттің "Endliche Gruppen" еңбегінде бұл топ "Quasidiedergruppe" деп аталады. Даниэль Горенштейннің "Finite Groups" еңбегінде бұл топ "жартылай диэдрлік топ" деп аталады. Даммит пен Фут оны "квазидиэдрлік топ" деп атайды; біз осы мақалада осы атауды қабылдаймыз. Олардың барлығы осы топқа бірдей ұсыныс береді:
In mathematics, the quasi dihedral groups, also called semi dihedral groups, are certain non abelian groups of order a power of 2. For every positive integer n greater than or equal to 4, there are exactly four isomorphism classes of non abelian groups of order 2n which have a cyclic subgroup of index 2. Two are well known, the generalized quaternion group and the dihedral group. One of the remaining two groups is often considered particularly important, since it is an example of a 2 group of maximal nilpotency class. In Bertram Huppert's text Endliche Gruppen, this group is called a "Quasidiedergruppe". In Daniel Gorenstein's text, Finite Groups, this group is called the "semidihedral group". Dummit and Foote refer to it as the "quasidihedral group"; we adopt that name in this article. All give the same presentation for this group:
Екінші абельдік емес 2-топ, 2 индексті циклдік кіші тобы бар, ешқайсы еңбектерде арнайы атау берілмейді, тек G немесе Mm(2) деп аталады. Бұл топ 16 тәртіпті болғанда, Даммит пен Фут оны «16 тәртіпті модульдік топ» деп атайды, себебі оның кіші топтар торы модульді болып табылады. Осы мақалада бұл топты «модульдік максималды циклдік топ» деп атаймыз. Оның ұсынысы:
The other non abelian 2 group with cyclic subgroup of index 2 is not given a special name in either text, but referred to as just G or Mm(2). When this group has order 16, Dummit and Foote refer to this group as the "modular group of order 16", as its lattice of subgroups is modular. In this article this group will be called the modular maximal cyclic group of order Its presentation is:
Осы екі топтың да, сондай-ақ диэдрлік топтың да, 2n-1 тәртіпті <r> циклдік тобының және 2 тәртіпті <s> циклдік тобының жартылай тура көбейтіндісі болып табылады. Мұндай абельдік емес жартылай тура көбейтінді, сақина бірліктері тобындағы 2 тәртіпті элементпен бірегей түрде анықталады және осындай үш элемент бар: , , және , олар диэдрлік топқа, квазидиэдрлік топқа және модульдік максималды циклдік топқа сәйкес келеді. Жалпыланған кватерниондық топ, диэдрлік топ және 2n тәртіпті квазидиэдрлік топтың барлығы n-1 нильпотенттік класына ие және 2n тәртіпті топтардың n-1 нильпотенттік класына ие жалғыз изоморфизм кластары болып табылады. pn тәртіпті және n-1 класты нильпотенттік топтар барлық p-топтарды коклас арқылы жіктеудің бастамасы болды. 2n тәртіпті модульдік максималды циклдік топтың нильпотенттік класы әрқашан 2-ге тең болады. Бұл модульдік максималды циклдік топты аз қызықтырады, себебі үлкен n үшін pn тәртіпті көптеген топтардың нильпотенттік класы 2-ге тең және оларды тікелей түсіну қиын болып шықты. Жалпыланған кватернион, диэдр және квазидиэдрлік топтар – 4 индексі бар туынды кіші тобы бар жалғыз 2-топтар. Алперин–Брауэр–Горенштейн теоремасы қарапайым топтарды және белгілі бір дәрежеде шекті топтарды квазидиэдрлік Силоу 2 кіші топтарымен жіктейді.
Both these two groups and the dihedral group are semidirect products of a cyclic group <r> of order 2n−1 with a cyclic group <s> of order 2. Such a non abelian semidirect product is uniquely determined by an element of order 2 in the group of units of the ring and there are precisely three such elements, , , and , corresponding to the dihedral group, the quasidihedral, and the modular maximal cyclic group. The generalized quaternion group, the dihedral group, and the quasidihedral group of order 2n all have nilpotency class n − 1, and are the only isomorphism classes of groups of order 2n with nilpotency class n − 1. The groups of order pn and nilpotency class n − 1 were the beginning of the classification of all p groups via coclass. The modular maximal cyclic group of order 2n always has nilpotency class 2. This makes the modular maximal cyclic group less interesting, since most groups of order pn for large n have nilpotency class 2 and have proven difficult to understand directly. The generalized quaternion, the dihedral, and the quasidihedral group are the only 2 groups whose derived subgroup has index 4. The Alperin–Brauer–Gorenstein theorem classifies the simple groups, and to a degree the finite groups, with quasidihedral Sylow 2 subgroups.