Квазидиэдральные и модульные максимальные циклические группы
Quasidihedral group
Квазидиэдрические группы: неабелевы группы порядка 2ⁿ (n≥4). Изучение изоморфизмов, обобщенных квартионов и групп максимального нильпотентности класса.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике квазидиэдрические группы, также называемые полудиэдрическими группами, — это определенные неабелевы группы порядка, являющегося степенью 2. Для каждого положительного целого числа n, большего или равного 4, существует ровно четыре класса изоморфизма неабелевых групп порядка 2n, имеющих циклическую подгруппу индекса 2. Две из них хорошо известны: обобщенная группа кватернионов и диэдрическая группа. Одна из оставшихся двух групп часто считается особенно важной, поскольку она представляет собой пример 2-группы максимального класса нильпотентности. В тексте Бертрама Хупперта «Endliche Gruppen» эта группа называется «Quasidiedergruppe». В тексте Дэниела Горенштейна «Finite Groups» эта группа называется «полудиэдрической группой». Даммит и Фут называют её «квазидиэдрической группой»; мы принимаем это название в данной статье. Все они приводят одно и то же представление для этой группы:
In mathematics, the quasi dihedral groups, also called semi dihedral groups, are certain non abelian groups of order a power of 2. For every positive integer n greater than or equal to 4, there are exactly four isomorphism classes of non abelian groups of order 2n which have a cyclic subgroup of index 2. Two are well known, the generalized quaternion group and the dihedral group. One of the remaining two groups is often considered particularly important, since it is an example of a 2 group of maximal nilpotency class. In Bertram Huppert's text Endliche Gruppen, this group is called a "Quasidiedergruppe". In Daniel Gorenstein's text, Finite Groups, this group is called the "semidihedral group". Dummit and Foote refer to it as the "quasidihedral group"; we adopt that name in this article. All give the same presentation for this group:
Другой неабелевой 2-группе с циклической подгруппой индекса 2 специального названия ни в одном из текстов не дается, она упоминается просто как G или Mm(2). Когда эта группа имеет порядок 16, Даммит и Фут называют её «модульной группой порядка 16», поскольку её решётка подгрупп является модулярной. В данной статье эта группа будет называться модульной максимальной циклической группой порядка. Её представление следующее:
The other non abelian 2 group with cyclic subgroup of index 2 is not given a special name in either text, but referred to as just G or Mm(2). When this group has order 16, Dummit and Foote refer to this group as the "modular group of order 16", as its lattice of subgroups is modular. In this article this group will be called the modular maximal cyclic group of order Its presentation is:
Обе эти группы и диэдрическая группа являются полупрямыми произведениями циклической группы <r> порядка 2n−1 и циклической группы <s> порядка 2. Такое неабелево полупрямое произведение однозначно определяется элементом порядка 2 в группе единиц кольца, и существует ровно три таких элемента, , , и , соответствующих диэдрической группе, квазидиэдрической и модульной максимальной циклической группе. Обобщенная группа кватернионов, диэдрическая группа и квазидиэдрическая группа порядка 2n имеют класс нильпотентности n − 1 и являются единственными классами изоморфизма групп порядка 2n с классом нильпотентности n − 1. Группы порядка pn и класса нильпотентности n − 1 стали началом классификации всех p-групп по коклассу. Модульная максимальная циклическая группа порядка 2n всегда имеет класс нильпотентности 2. Это делает модульную максимальную циклическую группу менее интересной, поскольку большинство групп порядка pn для больших n имеют класс нильпотентности 2 и их трудно понять непосредственно. Обобщенная группа кватернионов, диэдрическая группа и квазидиэдрическая группа — единственные 2-группы, у которых индекс производной подгруппы равен 4. Теорема Альперина — Брауэра — Горенштейна классифицирует простые группы и, в некоторой степени, конечные группы с квазидиэдрическими силовскими 2-подгруппами.
Both these two groups and the dihedral group are semidirect products of a cyclic group <r> of order 2n−1 with a cyclic group <s> of order 2. Such a non abelian semidirect product is uniquely determined by an element of order 2 in the group of units of the ring and there are precisely three such elements, , , and , corresponding to the dihedral group, the quasidihedral, and the modular maximal cyclic group. The generalized quaternion group, the dihedral group, and the quasidihedral group of order 2n all have nilpotency class n − 1, and are the only isomorphism classes of groups of order 2n with nilpotency class n − 1. The groups of order pn and nilpotency class n − 1 were the beginning of the classification of all p groups via coclass. The modular maximal cyclic group of order 2n always has nilpotency class 2. This makes the modular maximal cyclic group less interesting, since most groups of order pn for large n have nilpotency class 2 and have proven difficult to understand directly. The generalized quaternion, the dihedral, and the quasidihedral group are the only 2 groups whose derived subgroup has index 4. The Alperin–Brauer–Gorenstein theorem classifies the simple groups, and to a degree the finite groups, with quasidihedral Sylow 2 subgroups.