Кіріспе
Алгебралық геометрияда және күрделі көптүрліліктер теориясында логарифмдік дифференциалдық форма — белгілі бір типтегі полюстері бар дифференциалдық форма. Бұл ұғымды Пьер Делинь енгізді. Қысқаша айтқанда, логарифмдік дифференциалдар ашық ішкі көптүрлілік туралы ақпарат беру үшін қажетті ең жұмсақ ерекшеліктерге ие (полюстердің бөлгішінің толықтығы). (Бұл идея де Рам теоремасының бірнеше нұсқаларымен нақтыланады, олар төменде талқыланады.) X — күрделі көптүрлілік, D ⊂ X — қысқартылған бөлгіш (әртүрлі кодименсиясы 1 болатын күрделі ішкі кеңістіктердің қосындысы), және ω — X−D-дегі голоморфты p форма болсын. Егер ω және dω-ның екеуі де D бойымен 1-ден аспайтын ретті полюске ие болса, онда ω-ның D бойымен логарифмдік полюсі бар делінеді. ω сондай-ақ логарифмдік p формасы деп аталады. D бойымен логарифмдік полюстері бар p формалары X-тегі мероморфтық p формаларының ішкі шоғын құрайды. Атауы күрделі талдаудан шыққан; мұнда — күрделі сандар C-дегі 1 формасының типік мысалы, бастапқы нүктеде логарифмдік полюсі бар. Логарифм функциясының аналогы жоқ таза алгебралық контексте де дифференциалдық формалар мағыналы.
The name comes from the fact that in complex analysis, ; here is a typical example of a 1 form on the complex numbers C with a logarithmic pole at the origin. Differential forms such as make sense in a purely algebraic context, where there is no analog of the logarithm function.
Логарифмдік де Рам кешені
X - күрделі көптік, ал D – X-тің азайтылған бөлгіші болсын. Анықтамасы бойынша және сыртқы туынды d, d² = 0 теңдеуін қанағаттандыратындықтан, X-тің кез келген ашық U ішкі жиыны үшін мына теңдік орындалады:
for every open subset U of X. Thus the logarithmic differentials form a complex of sheaves , known as the logarithmic de Rham complex associated to the divisor D. This is a subcomplex of the direct image , where is the inclusion and is the complex of sheaves of holomorphic forms on X−D. Of special interest is the case where D has normal crossings: that is, D is locally a sum of codimension 1 complex submanifolds that intersect transversely. In this case, the sheaf of logarithmic differential forms is the subalgebra of generated by the holomorphic differential forms together with the 1 forms for holomorphic functions that are nonzero outside D. Note that
Concretely, if D is a divisor with normal crossings on a complex manifold X, then each point x has an open neighborhood U on which there are holomorphic coordinate functions such that x is the origin and D is defined by the equation for some On the open set U, sections of are given by
This describes the holomorphic vector bundle on Then, for any , the vector bundle is the kth exterior power,
The logarithmic tangent bundle means the dual vector bundle to Explicitly, a section of is a holomorphic vector field on X that is tangent to D at all smooth points of D.
Осылайша, логарифмдік дифференциалдар D бөлгішіне қатысты логарифмдік де Рам кешені деп аталатын будамалар кешенін құрайды. Бұл, инклюзиясы бар, тікелей бейнеленудің ішкі кешені болып табылады, мұндағы – X\D-дегі голоморфтық формалардың будамалар кешені. D қалыпты қиылыстарға ие болған жағдай ерекше қызығушылық тудырады: яғни, D – көлденең қиылысатын кодименсиясы 1-ге тең күрделі субманолифолдардың жергілікті қосындысы. Бұл жағдайда логарифмдік дифференциалдық формалардың будамасы – D сыртында нөлден өзгеше голоморфтық функциялар үшін 1-формалармен бірге голоморфтық дифференциалдық формалар арқылы туындайтын субальгебра. Нақтырақ айтқанда, егер D – Х күрделі көпбұрышында қалыпты қиылыстарға ие бөлгіш болса, онда әрбір x нүктесі үшін U ашық маңайы бар, онда x нүктесі бастау нүктесі болады және D, кейбір теңдеуімен анықталады. U ашық жиынында, будамасының қималары мына арқылы беріледі:
for every open subset U of X. Thus the logarithmic differentials form a complex of sheaves , known as the logarithmic de Rham complex associated to the divisor D. This is a subcomplex of the direct image , where is the inclusion and is the complex of sheaves of holomorphic forms on X−D. Of special interest is the case where D has normal crossings: that is, D is locally a sum of codimension 1 complex submanifolds that intersect transversely. In this case, the sheaf of logarithmic differential forms is the subalgebra of generated by the holomorphic differential forms together with the 1 forms for holomorphic functions that are nonzero outside D. Note that
Concretely, if D is a divisor with normal crossings on a complex manifold X, then each point x has an open neighborhood U on which there are holomorphic coordinate functions such that x is the origin and D is defined by the equation for some On the open set U, sections of are given by
This describes the holomorphic vector bundle on Then, for any , the vector bundle is the kth exterior power,
The logarithmic tangent bundle means the dual vector bundle to Explicitly, a section of is a holomorphic vector field on X that is tangent to D at all smooth points of D.
Бұл голоморфтық векторлық будамасын сипаттайды. Содан кейін, кез келген саны үшін, векторлық будамасы – k-сыртқы қуаты болып табылады.
for every open subset U of X. Thus the logarithmic differentials form a complex of sheaves , known as the logarithmic de Rham complex associated to the divisor D. This is a subcomplex of the direct image , where is the inclusion and is the complex of sheaves of holomorphic forms on X−D. Of special interest is the case where D has normal crossings: that is, D is locally a sum of codimension 1 complex submanifolds that intersect transversely. In this case, the sheaf of logarithmic differential forms is the subalgebra of generated by the holomorphic differential forms together with the 1 forms for holomorphic functions that are nonzero outside D. Note that
Concretely, if D is a divisor with normal crossings on a complex manifold X, then each point x has an open neighborhood U on which there are holomorphic coordinate functions such that x is the origin and D is defined by the equation for some On the open set U, sections of are given by
This describes the holomorphic vector bundle on Then, for any , the vector bundle is the kth exterior power,
The logarithmic tangent bundle means the dual vector bundle to Explicitly, a section of is a holomorphic vector field on X that is tangent to D at all smooth points of D.
Логарифмдік жанама будамасы – будамасының қос будамасы. Атап айтқанда, будамасының қимасы – D-нің барлық тегіс нүктелерінде D-ге жанасатын X-тегі голоморфтық векторлық өріс.
for every open subset U of X. Thus the logarithmic differentials form a complex of sheaves , known as the logarithmic de Rham complex associated to the divisor D. This is a subcomplex of the direct image , where is the inclusion and is the complex of sheaves of holomorphic forms on X−D. Of special interest is the case where D has normal crossings: that is, D is locally a sum of codimension 1 complex submanifolds that intersect transversely. In this case, the sheaf of logarithmic differential forms is the subalgebra of generated by the holomorphic differential forms together with the 1 forms for holomorphic functions that are nonzero outside D. Note that
Concretely, if D is a divisor with normal crossings on a complex manifold X, then each point x has an open neighborhood U on which there are holomorphic coordinate functions such that x is the origin and D is defined by the equation for some On the open set U, sections of are given by
This describes the holomorphic vector bundle on Then, for any , the vector bundle is the kth exterior power,
The logarithmic tangent bundle means the dual vector bundle to Explicitly, a section of is a holomorphic vector field on X that is tangent to D at all smooth points of D.
Логарифмдік дифференциалдар және сингулярлы кохомология
X күрделі көптік және D – X-те нормальды қиылыстары бар бөлгіш болсын. Делинь логарифмдік дифференциалдар арқылы де Рэм теоремасының голоморфты аналогын дәлелдеді. Атап айтқанда,
where the left side denotes the cohomology of X with coefficients in a complex of sheaves, sometimes called hypercohomology. This follows from the natural inclusion of complexes of sheaves
being a quasi isomorphism.
сол жақ X-тің коэфиценттері шейхтер кешеніндегі кохомологиясын білдіреді, бұл кейде гиперкохомология деп аталады. Бұл, шейхтер кешендерінің табиғи түрде енуі квазиизоморфизм болатындығынан туындайды.
where the left side denotes the cohomology of X with coefficients in a complex of sheaves, sometimes called hypercohomology. This follows from the natural inclusion of complexes of sheaves
being a quasi isomorphism.
Қалдықтың үлгісі
Комплекс сандар бойынша дифференциалдық форманың қалдықтарын логарифмдік полюстері бар бөлгіш бойымен айналатын контурлардағы интегралдау нәтижесі ретінде қарастыруға болады. Мұндай жағдайда, қалдықтарды Пуанкаре қалдықтары деп атауға болады. Нақты мысал ретінде, күрделі проективтік жазықтықтағы D эллиптік қисығын қарастырайық, ол аффиндік координаттарда теңдеуімен анықталады, мұнда және – комплекс сандар. Онда D – 3-дәрежелі тегіс гипербет және, атап айтқанда, жай ғана қалыпты қиылыстары бар бөлгіш. Аффиндік координаттарда берілген мероморфтық 2-формасы бар:
ол D бойында логарифмдік полюстерге ие. Канондық түйіндеме сызықтық түйіндемеге изоморфты болғандықтан, полюстерінің бөлгіші 3-дәрежелі болуы керек. Сондықтан, полюстерінің бөлгіші тек D-ден тұрады (әсіресе, шексіздікте полюсі жоқ). D бойындағы ω қалдығы келесі голоморфтық 1-формамен беріледі:
Осыдан, проективтік D қисығындағы (эллиптік қисық) голоморфтық 1-формаға дейін жалғасады. Мұнда қарастырылып отырған қалдық операторы, «Гисин операторы» деп аталатын сызықтық оператордың бір бөлігі болып табылады. Бұл, күрделі көптік X-тегі кез келген тегіс бөлгіш D-ге байланысты Гисин тізбегінің бір бөлігі: