Введение

В алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий, логарифмическая дифференциальная форма — это дифференциальная форма с полюсами определенного типа. Концепция была введена Пьером Делинем. Вкратце, логарифмические дифференциалы обладают наименее выраженными сингулярностями, необходимыми для получения информации об открытом подмногообразии (дополнении к делителю полюсов). (Эта идея конкретизируется несколькими вариантами теоремы де Рама, рассматриваемыми ниже.) Пусть X — комплексное многообразие, D ⊂ X — редуцированный делитель (сумма различных комплексных подпространств коразмерности 1), а ω — голоморфная p-форма на X−D. Если и ω, и dω имеют полюс порядка не выше 1 вдоль D, то говорят, что ω имеет логарифмический полюс вдоль D. ω также называют логарифмической p-формой. p-формы с логарифмическими полюсами вдоль D образуют подпучок мероморфных p-форм на X, обозначаемый как . Название происходит от того, что в комплексном анализе, ; это типичный пример 1-формы на комплексных числах C с логарифмическим полюсом в начале координат. Дифференциальные формы, подобные , имеют смысл и в чисто алгебраическом контексте, где нет аналога функции логарифма.

Логарифмический комплекс де Рам

Пусть X — комплексное многообразие, а D — редуцированный делитель на X. По определению и тому факту, что внешняя производная d удовлетворяет d² = 0, имеем

для каждого открытого подмножества U из X. Таким образом, логарифмические дифференциалы образуют комплекс пучков, известный как логарифмический комплекс де Рама, связанный с делителем D. Это подкомплекс прямого образа , где — включение, а — комплекс пучков голоморфных форм на X−D. Особый интерес представляет случай, когда D имеет нормальные пересечения: то есть, D локально является суммой комплексных подмногообразий коразмерности 1, пересекающихся поперечно. В этом случае, пучок логарифмических дифференциальных форм является подалгеброй, порожденной голоморфными дифференциальными формами вместе с 1-формами для голоморфных функций , которые ненулевые вне D. Отметим, что

Конкретно, если D — делитель с нормальными пересечениями на комплексном многообразии X, то каждая точка x имеет открытое окрестность U, на которой существуют голоморфные координатные функции , такие, что x является началом координат, а D определяется уравнением для некоторых . На открытом множестве U сечения задаются

Это описывает голоморфный векторный расслоение на . Тогда, для любого , векторное расслоение является k-й внешней степенью,

Логарифмическое тангенциальное расслоение означает двойное векторное расслоение к . Явно, сечение — это голоморфное векторное поле на X, касательное к D во всех гладких точках D.

Логарифмические дифференциалы и сингулярная кохомология

Пусть X — комплексное многообразие, а D — делитель с нормальными пересечениями на X. Делинь доказал голоморфный аналог теоремы де Рама в терминах логарифмических дифференциалов. А именно,

где левая часть обозначает когомологии X с коэффициентами в комплексе пучков, иногда называемые гиперкогомологиями. Это следует из естественного включения комплексов пучков

являющегося квазиизоморфизмом.

Пример остатка

Над комплексными числами остаток дифференциальной формы с логарифмическими полюсами вдоль делителя можно рассматривать как результат интегрирования по петлям вокруг этого делителя. В этом контексте остаток можно назвать остатком Пуанкаре. В качестве конкретного примера рассмотрим эллиптическую кривую D в комплексной проективной плоскости, заданную в аффинных координатах уравнением, где и – комплексное число. Тогда D – гладкая гиперповерхность степени 3 в , и, в частности, делитель с простыми нормальными пересечениями. Существует мероморфная 2-форма на , заданная в аффинных координатах выражением

которая имеет логарифмические полюса вдоль D. Поскольку канонический расслоение изоморфно линейному расслоению, делитель полюсов должен иметь степень 3. Следовательно, делитель полюсов состоит только из D (в частности, не имеет полюса вдоль прямой на бесконечности). Остаток ω вдоль D задается голоморфной 1-формой

Из этого следует, что ω продолжается до голоморфной 1-формы на проективной кривой D в , являющейся эллиптической кривой. Отображение остатков, рассматриваемое здесь, является частью линейного отображения, которое можно назвать "отображением Гизина". Оно является частью последовательности Гизина, связанной с любым гладким делителем D в комплексном многообразии X: