Лежандр теңдеуінің канондық шешімдері: қатысты Лежандр полиномдары, дәрежесі мен реті, шешімдердің жағдайлары. Математикалық анықтамалар мен формулалар.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Жалпы Лежендр теңдеуінің каноникалық шешімдері
Математикада, байланысты Лежендр көпшелері жалпы Лежендр теңдеуінің каноникалық шешімдері болып табылады
Canonical solutions of the general Legendre equation
In mathematics, the associated Legendre polynomials are the canonical solutions of the general Legendre equation
немесе, балама түрінде
or equivalently
мұндағы ℓ және m индекстері (бүтін сандар) тиісінше байланысты Лежендр көпшелерінің дәрежесі және реті деп аталады. Бұл теңдеудің нөлден өзге шешімдері тек ℓ және m 0 ≤ m ≤ ℓ шартын қанағаттандыратын бүтін сандар болғанда ғана, немесе эквивалентті теріс мәндері болғанда ғана жекешелікке ұшырамайды. Егер m жұп сан болса, онда функция көпшелік болады. Егер m нөлге тең болса және ℓ бүтін сан болса, бұл функциялар Лежендр көпшеліктерімен сәйкес келеді. Жалпы жағдайда, ℓ және m бүтін сандар болғанда, реттелген шешімдер кейде "байланысты Лежендр көпшеліктері" деп аталады, тіпті m тақ сан болғанда олар көпшеліктер болмаса да. ℓ және m-нің кез келген нақты немесе кешенді мәндері бар функциялардың толық жалпы класы Лежендр функциялары деп аталады. Мұндай жағдайда параметрлер әдетте грек әріптерімен белгіленеді. Лежендрдің қарапайым дифференциалдық теңдеуі физика және басқа да техникалық салаларда жиі кездеседі. Атап айтқанда, ол Лаплас теңдеуін (және оған байланысты дербес дифференциалдық теңдеулерді) сфералық координаттарда шешу кезінде пайда болады. Байланысты Лежендр көпшеліктері сфералық гармоникаларды анықтауда маңызды рөл атқарады.
where the indices ℓ and m (which are integers) are referred to as the degree and order of the associated Legendre polynomial respectively. This equation has nonzero solutions that are nonsingular on only if ℓ and m are integers with 0 ≤ m ≤ ℓ, or with trivially equivalent negative values. When in addition m is even, the function is a polynomial. When m is zero and ℓ integer, these functions are identical to the Legendre polynomials. In general, when ℓ and m are integers, the regular solutions are sometimes called "associated Legendre polynomials", even though they are not polynomials when m is odd. The fully general class of functions with arbitrary real or complex values of ℓ and m are Legendre functions. In that case the parameters are usually labelled with Greek letters. The Legendre ordinary differential equation is frequently encountered in physics and other technical fields. In particular, it occurs when solving Laplace's equation (and related partial differential equations) in spherical coordinates. Associated Legendre polynomials play a vital role in the definition of spherical harmonics.
Жалпылау
Лежандр полиномдары гипергеометриялық қатарлармен тығыз байланысты. Сфералық гармоникалар түрінде олар екі шардың SO(3) Ли тобының әрекеті астындағы симметриясын көрсетеді. SO(3)-тен басқа көптеген Ли топтары бар, және Лежандр полиномдарының ұқсас обобщениелері жартылай жай Ли топтары мен Риман симметриялық кеңістіктерінің симметриясын көрсететіндей жасалған. Шамамен айтқанда, симметриялық кеңістіктерде Лапласианды анықтауға болады; Лапласианның өзіндік функцияларын басқа жағдайларда сфералық гармоникалардың обобщениелері ретінде қарастыруға болады.
The Legendre polynomials are closely related to hypergeometric series. In the form of spherical harmonics, they express the symmetry of the two sphere under the action of the Lie group SO(3). There are many other Lie groups besides SO(3), and analogous generalizations of the Legendre polynomials exist to express the symmetries of semi simple Lie groups and Riemannian symmetric spaces. Crudely speaking, one may define a Laplacian on symmetric spaces; the eigenfunctions of the Laplacian can be thought of as generalizations of the spherical harmonics to other settings.
Ескертпелер мен сілтемелер
; 12.5-бөлім. (Басқа белгілер жүйесі қолданылады.) ; 3-тарау.
; Section 12.5. (Uses a different sign convention.) ; Chapter 3.
; 2-тарау. Шах, С. Р. (1973) Бұлыңғыр реті мен дәрежесі бар Легендрге байланысты функциялардың жаңа сәйкестіктері, Қолданбалы және өнеркәсіптік математика қоғамының математикалық талдау жөніндегі журналы, 1976, 7-том, 1-№. 59–69 беттер.
; Chapter 2. Schach, S. R. (1973) New Identities for Legendre Associated Functions of Integral Order and Degree , Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Mathematical Analysis, 1976, Vol. 7, No. 1 : pp. 59–69